第二節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)一、空間直角坐標(biāo)系二、向量的坐標(biāo)及向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)的表示三、向量的模、方向角和投影一、空間直角坐標(biāo)系

1、空間直角坐標(biāo)系的基本概念ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系.

坐標(biāo)原點(diǎn)

O

.

坐標(biāo)軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z

軸(豎軸)過(guò)空間一定點(diǎn)

O,

坐標(biāo)面

卦限(八個(gè))zox面Ⅰ向徑坐標(biāo)軸上的點(diǎn)

P,Q,R;坐標(biāo)面上的點(diǎn)

A,B,C.點(diǎn)M特殊點(diǎn)的坐標(biāo):有序數(shù)組(稱(chēng)為點(diǎn)

M

的坐標(biāo))原點(diǎn)

O(0,0,0);在直角坐標(biāo)系下坐標(biāo)面:坐標(biāo)軸:

八個(gè)卦限上點(diǎn)M(x,y,z)的特點(diǎn):第I卦限上：第II卦限上：第III卦限上：第IV卦限上：

第V、VI、VII、VIII卦限上的點(diǎn)依次把第I、II、III、IV卦限中z改為：2、空間兩點(diǎn)間的距離設(shè)M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)為空間上的兩點(diǎn),

空間兩點(diǎn)間距離公式解到y(tǒng)軸；到z軸；到原點(diǎn)；例1

求點(diǎn)M(2,3,2)到x軸的距離.例求點(diǎn)M(x,y,z)到各坐標(biāo)軸、各坐標(biāo)面的距離.思考

求點(diǎn)M(x,y,z)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)、各坐標(biāo)軸、各坐標(biāo)面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).例求點(diǎn)M(x,y,z)到各坐標(biāo)軸、各坐標(biāo)面的距離.到x

軸的距離：到y(tǒng)

軸的距離：到z

軸的距離：到xoy

平面的距離：到y(tǒng)oz

平面的距離：到zox

平面的距離：思考

求點(diǎn)M(x,y,z)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)、各坐標(biāo)軸、各坐標(biāo)面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).x0zyM點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)關(guān)于xoy面:(x,y,z)(x,y,-z)關(guān)于x軸:(x,y,z)(x,-y,-z)Q0關(guān)于原點(diǎn):(x,y,z)(-x,-y,-z)M(x,y,z)xRP(x,y,-z)(x,-y,-z)(-x,-y,-z)解設(shè)所求點(diǎn)為M(0,y,0),故所求點(diǎn)為M解得例2

在y軸上求與點(diǎn)A(1,2,3)和點(diǎn)B(2,3,2)等距離的點(diǎn)坐標(biāo).∵|MA|=|MB|,

(1)在

xoy

面上求與點(diǎn)A(1,2,3)和點(diǎn)B(2,3,2)等距離的點(diǎn)的軌跡方程?(2)在空間中求與點(diǎn)A(1,2,3)和點(diǎn)B(2,3,2)等距離的點(diǎn)的軌跡方程

?思考題:(1)

設(shè)動(dòng)點(diǎn)為M(x,y,0),利用|MA|=|MB|,得提示:(2)

設(shè)動(dòng)點(diǎn)為M(x,y,z),利用|MA|=|MB|,得證明原結(jié)論成立.例3

求證以A(2,1,9)、B(8,1,6)、C(0,4,3)三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是一個(gè)等腰直角三角形.二、向量的坐標(biāo)及向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)的表示在空間直角坐標(biāo)系下,則設(shè)點(diǎn)

M的坐標(biāo)為

M(ax,ay,az),任意向量

可用向徑

OM

表示.此式稱(chēng)為向量

的標(biāo)準(zhǔn)分解式,稱(chēng)為向量沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量.1.向量的坐標(biāo)表示坐標(biāo).(coordinates)坐標(biāo)表示式.若點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y,z),則向徑：

向量的分解表達(dá)式說(shuō)明：任何向量可以表示為的線性組合，組合系數(shù)就是該向量的坐標(biāo).2.向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)的表示平行向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例:解例1

設(shè)M1

(1,3,4),

M2(2,1,3),求

例例2

已知兩點(diǎn)A(x1,y1,z1),

B(x2,y2,z2)及實(shí)數(shù)1,在直線AB上求一點(diǎn)M,使解

設(shè)

M

的坐標(biāo)為(x,y,z),

如圖所示得即說(shuō)明

由得定比分點(diǎn)公式:點(diǎn)

M為AB

的中點(diǎn),于是得中點(diǎn)公式:三、向量的模、方向角和投影

1.向量的模向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示式例1設(shè)求以向量的平行四邊形的對(duì)角線的長(zhǎng)度.

為邊故對(duì)角線的長(zhǎng)度分別為

對(duì)角線的長(zhǎng)為解2.方向角與方向余弦與三坐標(biāo)軸正向所成的夾角

,,稱(chēng)為的方向角.方向角的余弦稱(chēng)為其方向余弦.

方向余弦的坐標(biāo)表達(dá)式方向余弦通常用來(lái)表示向量的方向.方向余弦的性質(zhì)特殊地：與同向的單位向量

當(dāng)已知的模與方向角時(shí),由可求出其坐標(biāo).非零向量的方向角

,,和的模、方向余弦和方向角.計(jì)算向量例1

已知兩點(diǎn)解解注意：與已知向量平行的單位向量有兩個(gè),一個(gè)與同向,一個(gè)反向．或解設(shè)點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(x,y,z),故點(diǎn)P2的坐標(biāo)為

例4依次為求點(diǎn)A

的坐標(biāo).設(shè)點(diǎn)A

位于第一卦限,向徑OA

與x

、y軸的夾角解因點(diǎn)A

在第一卦限,故點(diǎn)A

的坐標(biāo)為3.向量的投影1)空間一點(diǎn)在軸上的投影

過(guò)點(diǎn)

A

作軸

u

的垂直平面,交點(diǎn)

A

即為點(diǎn)

A

在軸

u

上的投影.

2)空間一向量在軸上的投影關(guān)于向量投影的定理定理1定理1的說(shuō)明：投影為正；投影為負(fù)；投影為零；(4)相等向量在同一軸上投影相等；，3)向量在向量上的投影在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分