第十五講大數(shù)定律和中心極限定理大數(shù)定律中心極限定理一、大數(shù)定律大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)頻率字母使用頻率生產(chǎn)過(guò)程中的廢品率定義1

設(shè)Y1，Y2，…Yn，…是一隨機(jī)變量序列，a是一常數(shù)，若對(duì)任意正數(shù)ε有,則稱序列Y1，Y2，…Yn，依概率收斂Y，記為定義2

設(shè){Xn}為一隨機(jī)變量序列,記則稱{Xn}服從大數(shù)定律。

若存在常數(shù)列，使得對(duì)任意正數(shù)ε，有

設(shè)隨機(jī)變量X有期望E(X)和方差D(X)

，則對(duì)于任給>0,或切比雪夫不等式幾個(gè)常見(jiàn)的大數(shù)定律定理1（切比雪夫大數(shù)定律）

設(shè)X1,X2,…是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，它們都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即D(Xi)≤K，i=1,2,…，切比雪夫則對(duì)任意的ε>0，推論（獨(dú)立同分布下的大數(shù)定律）

設(shè)X1,X2,…是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且E(Xi)=，D(Xi)=，i=1,2,…,則對(duì)任給

>0,貝努里

設(shè)Sn是n重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，引入i=1,2,…,n則是事件A發(fā)生的頻率

設(shè)Sn是n重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，則對(duì)任給的ε>0，定理2（貝努里大數(shù)定律）貝努里

設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2,…獨(dú)立同分布，具有有限的數(shù)學(xué)期E(Xi)=μ,i=1,2,…，則對(duì)任給ε>0，定理3（辛欽大數(shù)定律）辛欽例1設(shè)X1,X2,…是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且E(Xi)=，D(Xi)=，i=1,2,…,，證明例2設(shè)X,Y的數(shù)學(xué)期望分別為-2和2，方差分別為1和4，相關(guān)系數(shù)為-0.5，由切比雪夫不等式估計(jì)不超過(guò)多少？二、中心極限定理定理1（獨(dú)立同分布下的中心極限定理）設(shè)X1,X2,…是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且E(Xi)=，D(Xi)=，i=1,2,…，則近似服從推論1近似服從推論2近似服從例:20個(gè)0-1分布的和的分布幾個(gè)(0,1)上均勻分布的和的分布0123xfgh定理2(棣莫佛－拉普拉斯定理）

設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)n,p(0<p<1)的二項(xiàng)分布，則對(duì)任意x，有近似服從下面的圖形表明:正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的逼近.某保險(xiǎn)公司的老年人壽保險(xiǎn)有1萬(wàn)人參加,每人每年交200元.若老人在該年內(nèi)死亡,公司付給家屬1萬(wàn)元.設(shè)老年人死亡率為0.017,試求保險(xiǎn)公司在一年內(nèi)的這項(xiàng)保險(xiǎn)中虧本的概率.解設(shè)X為一年中投保老人的死亡數(shù),由德莫佛－拉普拉斯定理知,例3保險(xiǎn)公司虧本的概率

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一船舶在某海區(qū)航行,已知每遭受一次海浪的沖擊,縱搖角大于3o的概率為1/3,若船舶遭受了90000次波浪沖擊,問(wèn)其中有29500～30500次縱搖角大于3o的概率是多少？解將船舶每遭受一次海浪的沖擊看作一次試驗(yàn),并假設(shè)各次試驗(yàn)是獨(dú)立的,在90000次波浪沖擊中縱搖角大于3o的次數(shù)為X,則X是一個(gè)隨機(jī)變量,例所求概率為分布律為直接計(jì)算很麻煩，利用德莫佛－拉普拉斯定理例5.(供電問(wèn)題)某車(chē)間有同型車(chē)床200臺(tái),設(shè)每臺(tái)開(kāi)動(dòng)的概率為0.7,且開(kāi)關(guān)是相互獨(dú)立的并設(shè)每臺(tái)的耗電量為15kw,問(wèn)最少需耗多少電力，才能以95%的把握滿足車(chē)間生產(chǎn)