實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的相似對(duì)角化第一頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日一、對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值和特征向量

希望找使激光美容網(wǎng)第二頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日關(guān)鍵：求A的n個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交的特征向量。定理實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)。定理實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的屬于不同特征值的特征向量是正交的。

證明

A，實(shí)對(duì)陣矩陣；、，A的兩個(gè)不同的特征值；X、Y，A的分別對(duì)應(yīng)于、的特征向量。則

激光美容網(wǎng)第三頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日于是又-≠

0，所以，即由此得X與Y正交。

▌激光美容網(wǎng)第四頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日二、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的相似對(duì)角化定理設(shè)是n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的任一特征值，p、q分別為的代數(shù)重?cái)?shù)和幾何重?cái)?shù)，則p=

q。推論實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣可相似對(duì)角化。

激光美容網(wǎng)第五頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日例已知矩陣

有特征值1(二重)和3，對(duì)應(yīng)的特征向量為容易驗(yàn)證，是正交向量組。令激光美容網(wǎng)第六頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日則是標(biāo)準(zhǔn)正交的特征向量。

令

則Q是正交矩陣且

激光美容網(wǎng)第七頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日例已知矩陣

有特征值2(二重)和-7，對(duì)應(yīng)的特征向量為容易驗(yàn)證，但與不正交。激光美容網(wǎng)第八頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)與進(jìn)行Schmidt正交化：

則與也是A對(duì)應(yīng)特征值2的特征向量。這樣，(=)是兩兩正交的特征向量。再令

激光美容網(wǎng)第九頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日則是標(biāo)準(zhǔn)正交的特征向量。令激光美容網(wǎng)第十頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日則

Q是正交矩陣且

定理對(duì)任一n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A，存在n階正交矩陣Q，使得其中為矩陣A的全部特征值。激光美容網(wǎng)第十一頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日第十二頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量

是兩兩正交的特征向量

是標(biāo)準(zhǔn)正交的特征向量

激光美容網(wǎng)第十三頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日若令

則Q是正交矩陣且

激光美容網(wǎng)第十四頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日例求正交矩陣Q，使為對(duì)角矩陣，解∵∴

A的特征值為2(三重)和-2激光美容網(wǎng)第十五頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)，解得基礎(chǔ)解系正交化：激光美容網(wǎng)第十六頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日單位化：激光美容網(wǎng)第十七頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)，解得基礎(chǔ)解系

令取激光美容網(wǎng)第十八頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日則▌激光美容網(wǎng)第十九頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日例設(shè)A是3階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，特征值為1(二重)和2，且已知A屬于2的一個(gè)特征向量。求A。解設(shè)是A屬于1的特征向量，則，即解出它的一組基礎(chǔ)解系為

激光美容網(wǎng)第二十頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日可證，恰為A屬于1的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量。令，則線(xiàn)性無(wú)關(guān)。取則

激光美容網(wǎng)第二十一頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日由此得（另法）把正交化、單位化，得激光美容網(wǎng)第二十二頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日令則Q是正交矩陣且

激光美容網(wǎng)第二十三頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日由此得▌激光美容網(wǎng)第二十四頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日小結(jié)：1．特征值與特征向量計(jì)算特征值與特征向量，特征值與特征向量的性質(zhì)

2．矩陣的對(duì)角化

可對(duì)角化的判別，對(duì)角化的進(jìn)行

3．實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣用正交矩陣對(duì)角化

激光美容網(wǎng)第二十五頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日例設(shè)n階方陣A有特征值。(1)可否對(duì)角化？

(2)求。

解(1)設(shè)是A的特征值，則是的特征值，由此知：有特征值。所以，可對(duì)角化。(2)由(1)得

▌激光美容網(wǎng)第二十六頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日

例設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣且，證明：存在n階正交矩陣Q，使激光美容網(wǎng)第二十七頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日證明設(shè)是A的特征值，對(duì)應(yīng)特征向量為X，則。由此得

因，故。由此得或激光美容網(wǎng)第二十八頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)是A對(duì)應(yīng)0的極大標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量組，是A對(duì)應(yīng)1的極大標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量組。因A是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，可對(duì)角化，所以A應(yīng)有n個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交的特征向量。于是，。令，則Q是正交矩陣且

▌激光美容網(wǎng)第二十九頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日這就要求A的特征值2的幾何重?cái)?shù)等于其代數(shù)重?cái)?shù)2，亦即要求齊次方程組的基礎(chǔ)解系包含兩個(gè)解向量。例設(shè)矩陣

已知A有3個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，2是A的二重特征值。試求可逆矩陣P，使為對(duì)角矩陣。

解因?yàn)锳是3階方陣，有3個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，故A可對(duì)角化。于是，只需使激光美容網(wǎng)第三十頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日因?yàn)?/p>

故解得。因，故A的特征值為2（二重）和6。

激光美容網(wǎng)第三十一頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)，解得基礎(chǔ)解系

對(duì)，解得基礎(chǔ)解系

令

激光美容網(wǎng)第三十二頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日則

▌激光美容網(wǎng)第三十三頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日

例某試驗(yàn)性生產(chǎn)線(xiàn)每年一月份進(jìn)行熟練工與非熟練工的人數(shù)統(tǒng)計(jì)，然后將的熟練工支援其它生產(chǎn)部門(mén)，產(chǎn)生的缺額由新招收的非熟練工補(bǔ)齊。假設(shè)新、老非熟練工經(jīng)過(guò)培訓(xùn)與實(shí)踐，到年底考核時(shí)有的人成為熟練工。設(shè)第n年一月份統(tǒng)計(jì)的熟練工與非熟練工所占百分比分別為和，（1）求矩陣和的關(guān)系；（2）當(dāng)時(shí)，求。激光美容網(wǎng)第三十四頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日解（1）根據(jù)已知條件，由此得

激光美容網(wǎng)第三十五頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日（2）令，則激光美容網(wǎng)第三十六頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日下面求：因?yàn)?，故A的特征值為1和。對(duì)，解