第二講角分線模型的造

3月

M

M角平分

(l)定義：如，如果∠AOB＝∠BOC，那么∠AOC=2∠AOB=2∠像這樣，從一個角

P

的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫作這個角的角平分線．

(c)

(d)

Nαα

圖2

(4)若P點(diǎn)∥ONOM點(diǎn)Q2-2(d)，可以構(gòu)造△POQ是等腰三角形，可記為“角分線十平線，等腰三形必呈．例1(1)如，在△中，C=90分∠CAB，，BD=4cm，那么點(diǎn)到直線AB的距離是（）角平分線的性質(zhì)定理如果一條射線是一個角的平分線么它把這個角分成兩個相等的角，在角的平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等．角平分線的判定定理

D

B在角的內(nèi)部果一條射線的端點(diǎn)與角的頂點(diǎn)重合且把一個角分成兩個等角么這條射線是這個角的平分線，在角的內(nèi)部一個角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個角的平分線上，與角平分線有關(guān)的常用輔助線作法角平分線的四大基本模型，

圖2-3（a）(2)如2-3(b)，已知：∠∠，∠3=∠4，求證：AP平分∠BAC．A已知∠MON平分線上一點(diǎn)，(l)若⊥OM于點(diǎn)A如圖2-2(a)以過點(diǎn)作

B1

2

3

4

C⊥ON于點(diǎn)B，則PB=PA.可記為“中有角平分線，向兩邊作垂

P2bM

A

MP

(a)

(b)

B若點(diǎn)A是射線OM上任意一點(diǎn)，如圖2-2(b)，可以在ON上截取連接PB構(gòu)造△OPB∽△可記為圖中有角平線，可將圖對折看，稱以后關(guān)系若AP⊥OP于點(diǎn)如圖，可以延長交ON于點(diǎn)B構(gòu)造△等腰三角形是底邊AB中點(diǎn)可記為角平線加垂，線合一試試1例2如圖2-4(a)Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D.AF平分∠，交點(diǎn)，交于點(diǎn)⑴求證：CE=

例3閱讀下列學(xué)習(xí)材料：如圖2-5(a)所，平分∠，AOM上點(diǎn)，C為上一點(diǎn)，連接AC，在射線ON上截取OB=OA，連接如圖2-5(b))，易證△≌△F

M

M

2-4（a）

O

-5（a

AC圖2b）

N

請根據(jù)上面的學(xué)習(xí)材料，解答下列各題：(l)如圖2-5(c)所示在△ABC中AD是△的外角平分線PAD上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)試比較與的小，并說明理由．⑵將圖2-4(a)中的△ADE沿AB向右平移到△AD，E的位置，使點(diǎn)E落在BC邊上，其它條件不變?nèi)鐖D2-4(b)所示．試猜想與怎樣的數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論．CFE'E

-5（）

A

D

A'

D'

B圖（）

(2)如2-5(d)所示，AD是△ABC內(nèi)角平分線，其它條件不變試比較PC－與－的大小，并說明理由．P

D圖-5（d）

2例4如圖2-6(a)，已知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°AB=ACBD平分∠ABCCEBD，垂足為點(diǎn)E求證：BD=2CE.

(2)如2-7(b)，BD、分別是△ABC的內(nèi)角平分線，其它條件不變；AA

ED

FD

E

B

（b）

C(3)如2-7(c)，BD為△的內(nèi)角平分線，B

圖2（a

C

為△ABC的外角平分線，其它條件變，則在圖圖種情況下DE與平行嗎？它與△ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜測，并對其中的一種情況進(jìn)行證明。AD

EB

圖2（）

FC如圖，BD、CE分別是△ABC的外角平分線，過點(diǎn)A作上、AE⊥CE，垂足分別為D、E，連接DE.1求證：DE∥BC，DE=(AB+BC+AC)；2ADB

2-7（a）

C3變式如圖2-8，在ABC，AB=3AC,∠BAC平分線交于點(diǎn)D，過點(diǎn)BBE⊥AD，垂足為E，求證：AD=DEA

(4)如2-9(d)，平分∠，平分外角∠ACG.∥交AB點(diǎn)，交AC于點(diǎn)線段與BE、CF什么關(guān)系？并說明理由．AEFDB

2（

CGB

-8

E例6如圖2-9(a)，BD，CD別平分∠ABC∠ACB.問：(l)圖中有幾個等腰三角形？

(5)如2-9(e)，BD、為外角∠CBM、∠BCN的平分線，DE∥交延長線于點(diǎn)E，交AC延長線于點(diǎn)F，直接寫出線段EF與、CF有什么關(guān)系？AA

B

CD

E

D

F

M

D圖2-9（）

NB

圖2-9（a）

C

圖2-9（）

例如圖所示，已知△中，，∠C=90°，AD平分∠CAB，過D點(diǎn)作EF∥BC圖2-9(b)于點(diǎn)，交AC點(diǎn)，圖中又增加了幾個等腰三角形？如圖2-9(c)，若將題中的△ABC改為不等邊三

求證：角形其他條件不變圖中有幾個等腰三角形？直接寫出線段、CF有什么關(guān)系？

DA

圖（）

D

FB

圖2c）

C4變式如圖所示，已知△中，AB=AC，∠A=108°，平分∠ABC.求證：BC=ABCD.A

例8如圖2-13(a)，OP是∠的平分線，請你利用該圖形畫一對OP所在直線為對稱軸的全等三角形，MPB

圖

C

O

圖2

N變式如圖已知ABCAB=AC∠A=IOO°，BD分∠ABC，

請你參考上圖構(gòu)造全等三角形的方法下列問題：(1)如2-13(b)在△ABC∠ACB是角∠B=60°，AD、分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、相交于點(diǎn)請你判斷寫出與之間的數(shù)量關(guān)系；BEFD求證：BC=BD＋AD.

A

圖2

CAB

圖

C

(2)如2-13(c)在△ABC如果∠不直角，而(l)的其他條件不變，請問，你在1中所得結(jié)論是否依然成立？若成立請證明；若不成立，請說明理由．BE

F

DA

圖2-13c）

C5牛刀小(l)如圖(a)，在△ABC，∠與∠的角平分線相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作∥交AB點(diǎn)D交于點(diǎn)，BD+CE=9則線段DE之長為（）A

3、已知圖2-16，四邊形ABCD中，B+＝°，求證：AC平分∠

F

2-16

B

圖-14(a)

C如圖，在△，、分別平分∠ABC和∠ACB，DE∥AB，∥AC.，，求△DEF的周長，D

EF圖2-14(b)

4.如圖2-17，△ABC的外角/ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC的平分線交于點(diǎn)連接APCP，若∠∠的度數(shù)．2.已知：如圖，∠CAD，AB>AC，⊥AD于點(diǎn)D.HBC中點(diǎn)．1求證：DH＝AC).2A

P

圖CB

H圖2

C65.已知圖2-18四邊形中BC>ABAD=CD，BD分∠ABC.求證：∠∠C=180°

(2)若°是EF的中點(diǎn)如圖直接寫出∠BDG的度數(shù)；DA

D

圖

FB

圖

C6.在平行四邊形ABCD中，∠的平分線交直線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)F.

(3)若∠ABC=°，CE，F(xiàn)G=CE，分別連接DB、DG(如圖2-19（c∠BDG的度數(shù)．在圖2-19(a)中證明CE＝；D

DE

圖-19(a)

F

圖2-19(c)

F77.已知：如圖，在△中，