二項分布例1

設生男孩的概率為p,生女孩的概率為q=1-p，令X表示隨機抽查出生的4個嬰兒中“男孩”的個數(shù).貝努利概型和二項分布一、我們來求X的概率分布.X的概率函數(shù)是：男女X表示隨機抽查的4個嬰兒中男孩的個數(shù)，生男孩的概率為p.X=0X=1X=2X=3X=4X可取值0,1,2,3,4.例2

將一枚均勻骰子拋擲10次，令X表示3次中出現(xiàn)“4”點的次數(shù)X的概率函數(shù)是：不難求得，

擲骰子：“擲出4點”，“未擲出4點”

一般地，設在一次試驗中我們只考慮兩個互逆的結果：A或，或者形象地把兩個互逆結果叫做“成功”和“失敗”.

新生兒：“是男孩”，“是女孩”

抽驗產(chǎn)品：“是正品”，“是次品”

這樣的n次獨立重復試驗稱作n重貝努利試驗，簡稱貝努利試驗或貝努利概型.

再設我們重復地進行n次獨立試驗(“重復”是指這次試驗中各次試驗條件相同)，

每次試驗成功的概率都是p，失敗的概率都是q=1-p.

用X表示n重貝努利試驗中事件A（成功）出現(xiàn)的次數(shù)，則（2）不難驗證：（1）稱r.vX服從參數(shù)為n和p的二項分布，記作X~B(n,p)當n=1時，P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1稱X服從0-1分布例3

已知100個產(chǎn)品中有5個次品，現(xiàn)從中有放回地取3次，每次任取1個，求在所取的3個中恰有2個次品的概率.解:因為這是有放回地取3次，因此這3次試驗的條件完全相同且獨立，它是貝努利試驗.依題意，每次試驗取到次品的概率為0.05.設X為所取的3個中的次品數(shù)，于是，所求概率為：則X~B(3,0.05)，注：若將本例中的“有放回”改為”無放回”，那么各次試驗條件就不同了，不是貝努里概型，此時，只能用古典概型求解.二項分布描述的是n重貝努里試驗中出現(xiàn)“成功”次數(shù)X的概率分布.可以簡單地說，例4

某類燈泡使用時數(shù)在1000小時以上的概率是0.2，求三個燈泡在使用1000小時以后最多只有一個壞了的概率.解:設X為三個燈泡在使用1000小時已壞的燈泡數(shù).X~B(3,0.8)，把觀察一個燈泡的使用時數(shù)看作一次試驗,“使用到1000小時已壞”視為“成功”.每次試驗“成功”的概率為0.8

P(X1)=P(X=0)+P(X=1)=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2=0.104

對于固定n及p，當k增加時,概率P(X=k)先是隨之增加直至達到最大值,隨后單調(diào)減少.二項分布的圖形特點：X~B(n,p)當(n+1)p不為整數(shù)時，二項概率P(X=k)在k=[(n+1)p]達到最大值；([x]表示不超過

x

的最大整數(shù))n=10,p=0.7nPk

對于固定n及p，當k增加時,概率P(X=k)先是隨之增加直至達到最大值,隨后單調(diào)減少.二項分布的圖形特點：X~B(n,p)當(n+1)p為整數(shù)時，二項概率P(X=k)在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1處達到最大值.n=13,p=0.5Pkn0

想觀看二項分布的圖形隨參數(shù)n,p的具體變化，請看演示二項分布例5

為保證設備正常工作，需要配備適量的維修工人.設共有300臺設備，每臺的工作相互獨立，發(fā)生故障的概率都是0.01.若在通常的情況下，一臺設備的故障可由一人來處理.問:(1)若只配備一名工人，則設備發(fā)生故障而不能及時維修的概率是多少？

(2)若配備兩名工人，則設備發(fā)生故障而不能及時維修的概率是多少？(3)若使設備發(fā)生故障時不能及時維修的概率小于0.01，至少應配備多少工人?我們先對題目進行分析：300臺設備，獨立工作，出故障概率都是0.01.一臺設備故障一人來處理.

設X為300臺設備同時發(fā)生故障的臺數(shù)，300臺設備，獨立工作，每臺出故障概率p=0.01.可看作n=300的貝努利概型.X~B(n,p)，n=300,p=0.01可見，“若只配備一名工人”那么只要同時發(fā)生故障的設備的臺數(shù)X大于1，其中的X-1臺設備就會得不到及時維修。即所求為

問(1)若只配備一名工人，則設備發(fā)生故障而不能及時維修的概率是多少？

同理，“若只配備兩名工人”那么只要同時發(fā)生故障的設備的臺數(shù)X大于2即可。所求為300臺設備，獨立工作，出故障概率都是0.01.一臺設備故障一人來處理.

問(3)需配備多少工人，若使設備發(fā)生故障時不能及時維修的概率小于0.01?設X為300臺設備同時發(fā)生故障的臺數(shù)，X~B(n,p)，n=300,

p=0.01設需配備N個工人，所求的是滿足的最小的N.P(X>N)<0.01或P(X

N)0.99解：設X為300臺設備同時發(fā)生故障的臺數(shù)，X~B(n,p)，n=300,p=0.01下面給出正式求解過程：

由此結果知，配備一名工人，設備發(fā)生故障而不能及時維修的概率很大，故配備一名工人不合理。

可見，配備兩名工人，設備發(fā)生故障而不能及時維修的概率仍然很大，故配備兩名工人仍不合理。(3)設需配備N個維修工人，使得設備發(fā)生故障而不能及時維修的概率小于0.01，有

P(X>N)通過計算可知，

則要使設備發(fā)生故障而不能及時維修的概率小于0.01，只需配備8名工人，平均每人負責38臺。若將該例改為：

(1)若由一人負責20臺設備，求這20臺設備發(fā)生故障而不能及時維修的概率；

解：(1)設隨機變量X表示20臺設備在同一時刻發(fā)生故障的臺數(shù)，則(2)若由3人共同負責維修80臺設備，求這80臺設備發(fā)生故障而不能及時維修的概率。

解：設隨機變量X表示80臺設備在同一時刻發(fā)生故障的臺數(shù)，則由(1)(2)結果，可看出后者的管理經(jīng)濟效益要好得多。例6

某人去一服務單位辦事，排隊等候的時間(分鐘)為一隨機變量，設其概率密度為：若此人等候時間超過15分鐘則憤然離去。假設此人一個月要到該服務單位辦事10次，則

(1)此人恰好有2次憤然離去的概率；

(2)此人至少有2次憤然離去的概率；

(3)此人多數(shù)會憤然離去的概率。解：

設隨機變量Y表示“此人來服務單位辦事10次中憤然離去的次數(shù)”，則(1)此人恰好有2次憤然離去的概率；(2)此人至少有2次憤然離去的概率；(3)此人多數(shù)會憤然離去的概率。二、二項分布的泊松近似

我們先來介紹二項分布的泊松近似，下一講中，我們將介紹二項分布的正態(tài)近似.或諸如此類的計算問題，必須尋求近似方法.

當試驗次數(shù)n很大時，計算二項概率變得很麻煩，若要計算

定理的條件意味著當

n很大時，p

必定很小.因此，泊松定理表明，當n

很大，p

很小時有以下近似式：泊松定理設是一個正整數(shù)，，則有其中(證明見下一頁).證明：n100,np10時近似效果就很好

請看演示二項分布的泊松近似實際計算中，其中例5

為保證設備正常工作，需要配備適量的維修工人.設共有300臺設備，每臺的工作相互獨立，發(fā)生故障的概率都是0.01.若在通常的情況下，一臺設備的故障可由一人來處理.問:(1)若只配備一名工人，則設備發(fā)生故障而不能及時維修的概率是多少？

(2)若配備兩名工人，則設備發(fā)生故障而不能及時維修的概率是多少？解：設X為300臺設備同時發(fā)生故障的臺數(shù)，X~B(n,p)，n=300﹥10,p=0.01﹤0.1(3)若使設備發(fā)生故障時不能及時維修的概率小于0.01，至少應配備多少工人?查表可得：