有限覆蓋定理：使得證明：用反證法.被開(kāi)區(qū)間系若閉區(qū)間則存在有限子系覆蓋（即）,假設(shè)不然，即不能被將區(qū)間等分為兩半,中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋，必至少有一半不能被將這樣的一半記作（如果兩半都如此，任取其一）.也有一半不能被中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋.將此記作依此類推.中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋.等分為兩半，再將其中至少這樣我們得到區(qū)間套存在唯一點(diǎn)由區(qū)間套定理知，因?yàn)楦采w區(qū)間所以使得因?yàn)樗允沟门c區(qū)間套的構(gòu)做方式矛盾.開(kāi)區(qū)間被開(kāi)區(qū)間系覆蓋①存在有限子系使得例如,令則被開(kāi)區(qū)間系覆蓋,但不能被其任意一個(gè)有限子系覆蓋.閉區(qū)間被閉區(qū)間系覆蓋②存在有限子系使得例如,令則被閉區(qū)間系覆蓋,但不能被其任意一個(gè)有限子系覆蓋.1.非空實(shí)數(shù)集若有上(下)界則必有上(下)確界.2.單調(diào)有界數(shù)列必收斂.3.區(qū)間套定理.4.有界數(shù)列必有收斂子列.5.數(shù)列收斂當(dāng)且僅當(dāng)它是Cauchy列.6.有限覆蓋定理.以上六條等價(jià)！已經(jīng)證過(guò)的結(jié)論：?jiǎn)握{(diào)有界必有極限(2)有上界必有上確界(1)設(shè)A是一個(gè)非空實(shí)數(shù)集，某個(gè)元素不是自己的上界.有上界.不妨設(shè)A的將此元素記作A的一個(gè)上界記作則令否則令令若是A

的一個(gè)上界,令Ⅰ如此我們得到一個(gè)數(shù)列有下界記易知其每一項(xiàng)都是A的一個(gè)上界，數(shù)列單調(diào)減少、所以收斂.由保序性,所以s是上確界.因?yàn)橐驗(yàn)椴皇茿的上界,所以有限覆蓋定理(6)假設(shè)數(shù)列有界，因?yàn)闆](méi)有收斂子列，存在有限個(gè)使得Bolzano定理(4)分別是其一個(gè)下界，一個(gè)上界，但沒(méi)有收斂子列.所以開(kāi)區(qū)間中只含中有限項(xiàng).由有限覆蓋定理，Ⅱ因?yàn)槊總€(gè)開(kāi)區(qū)間只含中有限項(xiàng)，中有限項(xiàng)，矛盾！中只含所以中有限項(xiàng)，中中只含所以Ⅲ有限覆蓋定理(6)但中的任意有限個(gè)中至少有一個(gè)記這樣找到有界數(shù)列存在收斂子列假設(shè)開(kāi)區(qū)間都不能覆蓋中記作至少有一個(gè)不能被中的有限個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋，不能被中的有限個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋，由例題的結(jié)論，Bolzano定理(4)記則且有因?yàn)樗允沟靡驗(yàn)槭情_(kāi)集，所以與區(qū)間列的構(gòu)作方式矛盾.且Cauchy收斂準(zhǔn)則(5)單調(diào)有界必收斂(2)Ⅳ設(shè)數(shù)列單調(diào)增加且有上界,但發(fā)散.由Cauchy收斂準(zhǔn)則知,對(duì)于存在對(duì)于存在對(duì)于存在因?yàn)閱握{(diào)增加,所以使得使得使得從而數(shù)列無(wú)界,矛盾！123456有上(下)界則必有上(下)確界Cauchy收斂準(zhǔn)則Bolzano定理區(qū)間套定理單調(diào)有界必收斂有限覆蓋定理鄰域點(diǎn)的鄰域是指與點(diǎn)距離小于的點(diǎn)的集合即開(kāi)區(qū)間聚點(diǎn)設(shè)集合若對(duì)于任意正數(shù)的鄰域中都含有A

中無(wú)窮多個(gè)點(diǎn),則稱是A

的一個(gè)聚點(diǎn).例如,A

中每個(gè)點(diǎn)都是A

的聚點(diǎn),也都是A

的聚點(diǎn).例如則A只有一個(gè)聚點(diǎn)而集合沒(méi)有聚點(diǎn).是A

的一個(gè)聚點(diǎn)的充要條件是命題的鄰域中都含有A

中異于的點(diǎn).數(shù)列有界,從而有收斂子列,記下證是A

的一個(gè)聚點(diǎn).7.有界無(wú)窮集必有聚點(diǎn).證明任取設(shè)A是有界無(wú)窮集.是有界無(wú)窮集,任取是有界無(wú)窮集,任取含有A中無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)即的鄰域設(shè)是有界數(shù)列.記1)A是有限集.此時(shí)中有無(wú)窮多項(xiàng)相等,這些項(xiàng)組成的子列是常數(shù)列,收斂.2)A是無(wú)限集.此時(shí)A有聚點(diǎn),記a

是A的一個(gè)聚點(diǎn).任取的一項(xiàng),記作令在a的鄰域中取中標(biāo)號(hào)大于n1的一項(xiàng),記作這樣得到的子列收斂到a.因?yàn)閺亩?令中標(biāo)號(hào)大于n2的一項(xiàng),記作在a的鄰域中取1