保險的數(shù)理基礎(chǔ)現(xiàn)代保險學(xué)是建立在概率論和大數(shù)定律基礎(chǔ)上的，為以下三個方面提供了科學(xué)依據(jù)：保險經(jīng)營的穩(wěn)定性、費率厘定的科學(xué)性、保險風(fēng)險的集合與分散的可行性風(fēng)險事故：是否發(fā)生？怎么發(fā)生？發(fā)生后損失的程度？

→沒有風(fēng)險就沒有保險。保險的數(shù)理基礎(chǔ)一、概率統(tǒng)計和相關(guān)概念

隨機現(xiàn)象、概率及頻率、概率分布及數(shù)字特征二、大數(shù)定律及其在保險中的應(yīng)用

貝努利大數(shù)定律、泊松大數(shù)定律、契比雪夫大數(shù)定律三、保險費率厘定構(gòu)成、分類、保險費率、特點、厘定原則、厘定方法第一節(jié)概率統(tǒng)計的相關(guān)概念一、隨機現(xiàn)象、隨機試驗隨機現(xiàn)象：在個別試驗中其結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性而在大量重復(fù)試驗中，其結(jié)果又具有統(tǒng)計規(guī)律性的現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象。隨機現(xiàn)象是通過隨機試驗來研究的。隨機試驗特征：（扔硬幣）（1）可以在相同條件下重復(fù)進行；（2）每次試驗的結(jié)果不止一個，而且所有可能的結(jié)果是事先知道的；（3）進行一次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn)。二、概率與頻率概率：衡量隨機事件發(fā)生可能性大小的尺度，概率大表示隨機事件出現(xiàn)的可能性就大，反之，概率小表示隨機事件出現(xiàn)的可能性就小。在實際應(yīng)用中，一種廣為接受的確定隨機事件概率的方法是概率的頻率解釋。當(dāng)試驗次數(shù)很大時，頻率也將越趨近于某一數(shù)值，這時可以來表示事件發(fā)生的概率。對于概率的頻率解釋，在大數(shù)定律中將給出嚴格的理論證。（貝努利大數(shù)定律）

保險實務(wù)中，常常用頻率來表示風(fēng)險事件的損失概率。在人壽保險中，確定每個年齡段的死亡率的依據(jù)是生命表。生命表是以人口普查資料為依據(jù)，根據(jù)一定時期某一國家或地區(qū)的特定人群有關(guān)生存、死亡的統(tǒng)計資料，加以分析整理而成的一種表格。它是人壽保險測定危險的工具，是壽險精算的數(shù)理基礎(chǔ)。三、概率分布與數(shù)字特征

對于保險而言，隨機變量的取值通常是損失的各種不同數(shù)額，此時隨機變量的數(shù)學(xué)期望就是損失期望值，即未來危險事故產(chǎn)生損失的均值。對于保險人：只有知道了損失期望值，才能確保純保費。對于投保人：把預(yù)期損失金額與保險費比較，然后做出是否購買保險的決定。0*0.5+500*0.3+1000*0.1+5000*0.06+10000*0.04=950（期望損失）若保費1500元，就不投保。保險的數(shù)理基礎(chǔ)一、概率統(tǒng)計和相關(guān)概念

隨機現(xiàn)象、概率及頻率、概率分布及數(shù)字特征二、大數(shù)定律及其在保險中的應(yīng)用

貝努利大數(shù)定律、泊松大數(shù)定律、契比雪夫大數(shù)定律三、保險費率厘定構(gòu)成、分類、保險費率、特點、厘定原則、厘定方法第二節(jié)大數(shù)定律及其在保險中的應(yīng)用保險人分散風(fēng)險、分攤損失的功能是通過集合大量的具有相同性質(zhì)的經(jīng)濟單位或個人來實現(xiàn)的。一個深層次的問題是，為什么保險人通過這種風(fēng)險匯聚的方式能夠?qū)崿F(xiàn)分攤損失、降低風(fēng)險的目的，其理論依據(jù)是什么？

大數(shù)定律將對這個問題作出科學(xué)地回答和解釋。大數(shù)定律是用來說明大量重復(fù)的隨機現(xiàn)象往往呈現(xiàn)必然規(guī)律的一系列定理的統(tǒng)稱，它是保險經(jīng)營的重要數(shù)理基礎(chǔ)。當(dāng)N足夠大，可以用損失頻率代替實際損失概率，從而可以確定純保費。當(dāng)N足夠大，可以在平均的意義上求出相同的損失概率。所以，把性質(zhì)相同的標的集中起來，可以算出平均費率。當(dāng)n足夠大時，反映了保險的本質(zhì)：分擔(dān)風(fēng)險（純保費：u）

伯努利大數(shù)定律、泊松大數(shù)定律、契比雪夫大數(shù)定律這三個大數(shù)定律應(yīng)用于保險得出的最有意義的結(jié)論是：保險人承保的同質(zhì)危險單位越多，則通過以往統(tǒng)計數(shù)據(jù)估算出來的損失頻率與實際概率的偏差就越?。槐ｋU機制分攤損失和分散風(fēng)險的效率就越高；保險費率的厘定就越科學(xué)；保險人的財務(wù)穩(wěn)定性也越強。大數(shù)定律在保險中應(yīng)用的雙重性：

要準確估計事件發(fā)生的概率，保險公司必須掌握大量的經(jīng)驗數(shù)據(jù)；

概率估計值必須運用到大量的危險單位中才能對未來損失有較準確的估計；

假設(shè)前提：

1.過去事件發(fā)生的概率和未來事件發(fā)生的概率相同；

2.對過去事件發(fā)生概率的估計是準確的。保險的數(shù)理基礎(chǔ)一、概率統(tǒng)計和相關(guān)概念

隨機現(xiàn)象、概率及頻率、概率分布及數(shù)字特征二、大數(shù)定律及其在保險中的應(yīng)用

貝努利大數(shù)定律、泊松大數(shù)定律、契比雪夫大數(shù)定律三、保險費率厘定構(gòu)成、分類、保險費率、特點、厘定原則、厘定方法第三節(jié)

保險費率厘定一、保險費率的構(gòu)成保險費：投保人為了獲得經(jīng)濟保障而向保險人繳納的費用。保險費又稱為毛保費、營業(yè)保費，保險費=純保險費+附加保費。純保費：根據(jù)風(fēng)險概率計算而得，是發(fā)生保險事故時進行保險金賠付的資金來源。附加保費：經(jīng)營保險業(yè)務(wù)所必需的的各項營業(yè)支出和預(yù)期利潤，包括營業(yè)稅、代理手續(xù)費、企業(yè)管理費、工資及工資附加費、固定資產(chǎn)折舊費、稅金以及企業(yè)盈利等。二、保險費的分類按繳費方式，分為：躉繳保費、期繳保費按繳費時間，分為：期初繳費、期末繳費按承擔(dān)的風(fēng)險大?。鹤匀槐ＹM、均衡保費均衡保費：是指保險人將人的不同年齡的自然保險費結(jié)合利息因素，均勻地分配在各個年度，使投保人按期交付的保險費整齊劃一，處于相同的水平，這種保險費即為均衡保險費。均衡保險費避免了被保險人到了晚年因保險費的上升而無力續(xù)保的不足，因此適合長期性的人壽保險。

三、保險費率保險費率是保險費與保險金額的比例，又稱為保險價格。保險費率一般也由純費率與附加費率兩部分組成，即：毛費率=純費率+附加費率。純費率又稱凈費率，它是用來支付賠款或保險金的費率，其計算依據(jù)因險種的不同而不同。依據(jù)：財產(chǎn)保險純費率：損失率，人壽保險純費率：利率和生命表。附加費率是附加保費與保險金額的比率。四、保險費率的特點預(yù)測性單個保險合同：保險費率≠保險金同一類保險業(yè)務(wù)：總純保險費=總的保險金支出保險費率受政府的管制較嚴。五、保險費率厘定的基本原則公平合理原則（對保險人和投保人）保證償付原則（充分原則）相對穩(wěn)定原則促進防災(zāi)防損原則防災(zāi)防損：保險人與被保險人盡可能減少事故以及盡可能減少損失。（防止道德風(fēng)險）好處:減少保險人的賠付；減少整個社會的財富損失（無賠款優(yōu)待）六、保險費率厘定的方法

毛保費率=純費率+附加費率分類法增減法個案法1.分類法：基于風(fēng)險分類來計算保險費率的方法。（最常用、最主要）在具體承保時，先找出保險標的所在的風(fēng)險類別，再據(jù)以確定其適用的費率水平。運用于財產(chǎn)保險、健康保險和大部分人身意外傷害保險。這一方法有時也被叫做手冊法，因為各種分類費率平常印在手冊之上，保險人只需查閱手冊，便可決定費率。財產(chǎn)保險：一般根據(jù)標的物的使用性質(zhì)分為不同的類別，每一類又可以分為若干等級。人身保險：一般按照性別、年齡、健康狀況、職業(yè)等分類。要求：一要分類適當(dāng)，二要各類保險標的都有足夠的數(shù)量。決定每類費率時，主要考慮相同的標的類型，相同的風(fēng)險，相同的保險期限等因素。優(yōu)點：便于運用，適用費率可迅速查到缺點：不盡公平。分類費率可通過兩種方法來計算：純保險費率法和損失比率法。1、純保險費率法（以損失經(jīng)驗為計算基礎(chǔ)）。集合→頻率→概率→純費率2、損失比率法（以整個行業(yè)的實際損失為計算基礎(chǔ)）。

若分類過多，每一類標的過少，不符合大數(shù)定律的親體。因此，需要結(jié)合其他類似風(fēng)險的損失資料。2、增減法（修正法）：在同一類保險標的中，在分類法確定基本費率的基礎(chǔ)上，再依據(jù)個別保險標的的實際風(fēng)險狀況進行適當(dāng)修正，得出最終適用的費率。優(yōu)點：增減法能結(jié)合標的的實際風(fēng)險程度的差異，有利于實現(xiàn)費率的公平合理，還有促進防災(zāi)防損的作用。增減法主要分為三種做法：表定法、經(jīng)驗法、追溯法。3、個案法（觀察法）七、財產(chǎn)保險費率計算過程純費率→附加費率→毛費率（1）計算純費率與損失率相關(guān)的基本指標有6個:A:保險標的件數(shù)B:總保險金額

C:保險事故次數(shù)D:受損標的件數(shù)

E:受損標的總保額F:總賠款金額分別組成了4個影響因素

1、保險事故發(fā)生的頻率=C/A=保險事故次數(shù)/保險標的件數(shù)

2、保險事故的毀損率=D/C=受損標的件數(shù)/保險事故次數(shù)

3、保險標的損毀程度=F/E=總賠款金額/受損標的總保額

4、受損保險標的平均保額與總平均保額的比率

=（E/D）/（B/A）四個因素的乘積為保額損失率=F/B=總賠款金額/總保險金額假設(shè)某保險公司過去5年保額損失率統(tǒng)計資料如下：年份20012002200320042005保額損失率（Xi）2%2.5%3.4%3.1%2.8%純費率=保額損失率×（1+穩(wěn)定系數(shù)）純費率=平均保額損失率×（1+穩(wěn)定系數(shù)）

純費率=平均保額損失率+均方差實務(wù)中：對于損失率較穩(wěn)定的，一般附加1個σ，適合比較穩(wěn)定的險種，如火災(zāi)保險；對損失率不夠穩(wěn)定的險種，如機動車輛保險、飛機保險等，附加2個σ；對于損失率很不穩(wěn)定的高風(fēng)險險種，如衛(wèi)星發(fā)射保險，可附加3個σ。

本案例中，由于穩(wěn)定系數(shù)小于20%（18.12%），是低風(fēng)險險種。純費率=2.76%+0.5%=3.26%（2）計算附加費率附加費率=附加費/保險金額

附加費率=純費率×附加費與純保費比例（3）計算毛費率

毛費率=純費率+附加費率毛費率=保額損失率×（1+穩(wěn)定系數(shù)）+附加費率毛費率=（保額損失率+均方差）+附加費率毛費率=純費率×（1+附加比例）本案例中，若附加費與純保費的比例為20%，則：

附加費率=3.26%×20%=0.652%

毛保費率=3.26%+0.652%=3.912%八、人壽保險費率的厘定（一）概述人壽保險費=純保費+附加保費純保險費包括：

危險保險費（風(fēng)險保費）：用于當(dāng)年保險費的支付儲蓄保險費：累計用于彌補未來的赤字純保費計算必須以死亡率和預(yù)定利率為基礎(chǔ)；附加保費則用于保險公司經(jīng)營費用，包括：新契約費用（原始費用）、維持費用、收費費用，以預(yù)定費用率為基礎(chǔ)注：現(xiàn)金價值—被保險人年輕時，死亡概率低，投保人交納的保費比實際需要的多，多交的保費將由保險公司逐年積累；被保險人年老時，死亡概率高，投保人當(dāng)期交納的保費不足以支付當(dāng)期賠款，不足的部分將正好由被保險人年輕時多交的保費予以彌補。這部分多交的保費連同其產(chǎn)生的利息，每年累積起來，就是保單的現(xiàn)金價值。（二）利息

單利，復(fù)利，終值，現(xiàn)值，年金（三）生命表生命表：根據(jù)一定的調(diào)查時期，一定的國家或地區(qū)范圍，一定的人群類別（如性別分類）等實際而完整的統(tǒng)計資料，經(jīng)過分析整理，反映某一國家或地區(qū)一定人群的生死狀況。生命表的直觀形式是：折算成以10萬、100萬或1000萬同齡人為基數(shù)的逐年生存或死亡數(shù)字，反映的是在封閉人口條件下，一批人從出生后陸續(xù)死亡的全部過程中，從而可以計算每個年齡人群的生存和死亡概率。年齡x年初生存人數(shù)lx年死亡人數(shù)dx生存率px死亡率qx3536373897239697138697025596904310281113121213240.9989430.9988540.9987510.9985030.0010510.0011460.0012490.001366生命表的內(nèi)容有：

1、x:當(dāng)年生存者的年齡；

2、lx:年齡為x歲的人的生存人數(shù)；

3、dX：一年內(nèi)的死亡人數(shù)，即在lX人中，從x歲到x+1歲的一年內(nèi)的死亡人數(shù)；

4、pX：生存率，x歲的人到x+1歲時仍然生存的概率；

5、qx：死亡率，x歲的人在達到x+1歲前的死亡概率；

6、ex:平均余命。（四）純保險費計算

基本原理：收付平衡原則，精算現(xiàn)值相等（