第三章靜態(tài)最優(yōu)化問題的最優(yōu)控制

靜態(tài)最優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)是一個(gè)多元普通函數(shù)，其最優(yōu)解可以通過古典微分法對普通函數(shù)求極值的途徑解決。動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)是一個(gè)泛函數(shù)，確定其最優(yōu)解要涉及古典變分法求泛函極值的問題。1

這門課的重點(diǎn)在后邊，但考慮到變分法與微分法在求極值問題上有相似之處，為收到觸類旁通的功效，這章對較熟悉的普通函數(shù)求極值問題作一回顧。2一、一元函數(shù)的極值設(shè)J=f(u)為定義在閉區(qū)間[a,b]上的單值連續(xù)可微函數(shù)，則存在極值點(diǎn)u*的必要條件是(3-1)3u*為極小值點(diǎn)充要條件是

f

'(u)=0,f''(u)>0(3-2)u*為極大值點(diǎn)充要條件是

f

'(u)=0,f''(u)<0(3-3)

因?yàn)閒(u)的極小值和-f(u)的極大值等效，所以今后所有推倒和結(jié)論，均以極小值為準(zhǔn)。4

由式(3-1)求得的極值點(diǎn)u*為駐點(diǎn)，其性質(zhì)是：當(dāng)f''

(u*)<0，u*為極大值點(diǎn)；當(dāng)f''

(u*)=0，u*為拐點(diǎn)；當(dāng)f''

(u*)>0，u*為極小值點(diǎn)。而且，這些極值f(u*)只是相對于u*左右鄰近的f(u)而言的，故具有局部性質(zhì)，稱為相對極值。5

它在定義域上可以不止一個(gè)，如果將整個(gè)定義域[a,b]上所有的極小值進(jìn)行比較，找出最小的極小值，稱為最小值。它具有全局性質(zhì)，而且是唯一的。一般地記為(3-4)6二、多元函數(shù)的極值設(shè)n元函數(shù)f=f(u)，這里u=[u1

u2…un]T為n維列向量。它取極值的必要條件是或函數(shù)的梯度為零矢量。(3-5)(3-6)7至于取極小值的充要條件，尚需滿足即下列海賽矩陣為正定矩陣。(3-7)(3-8)8例1：設(shè)試求的極值點(diǎn)及其極小值點(diǎn)。解：由極值必要條件得9

聯(lián)立解得極值點(diǎn)為x*=[11-2]T。又從得海賽矩陣

故x=[11-2]T為極小值點(diǎn)x*，f的極小值f*=f(x*)=0。正定10三、具有等式約束條件的極值

上面講的是無約束條件極值問題的求解方法。對于具有等式約束條件的極值問題，則要通過等效變換，化為無約束條件的極值問題來求解。11

例如用一定面積的鐵皮作罐頭桶，要求罐頭桶容積為最大幾何尺寸的問題，就是個(gè)具有等式約束的極值問題。設(shè)罐頭桶的幾何尺寸：高為l，半徑為r，則容積為

J=v(r,l)=πr2l(3-9)

給定鐵皮面積常量。要使罐頭桶容積為最大，必然要受條件

g(r,l)=(2πr2+2πrl)-A=0(3-10)的約束。解此類問題的方法有多種，如嵌入法(消元法)和拉格朗日乘子法(增元法)等。12(1)嵌入法先從約束條件式(3-10)解出一個(gè)變量，例如然后代入目標(biāo)函數(shù)式(3-9)這樣就變成一個(gè)沒有約束條件的函數(shù)式。(3-11)13顯然，式(3-11)取極值的條件為可解出極值點(diǎn)：(3-12)(3-13)14故上述極值點(diǎn)為極大值點(diǎn)。罐頭桶的最大容積為(3-14)又因?yàn)?5(2)拉格朗日乘子法將約束條件式(3-10)乘以乘子λ，與目標(biāo)函數(shù)式(3-9)相加，構(gòu)成一個(gè)新的可調(diào)整函數(shù)H

這是一個(gè)沒有約束條件的三元函數(shù)。(3-15)16它的極值條件為(3-16)17聯(lián)解上式的極值點(diǎn)：結(jié)構(gòu)與嵌入法相同。將式(3-17)代入式(3-15)，容易確認(rèn)λg(r,l)=0，故新函數(shù)的極值就是目標(biāo)函數(shù)J的極值。(3-17)18

嵌入法只適用于簡單情況，而拉格朗日乘子法具有普遍意義?，F(xiàn)把式(3-15)寫成更為一般的形式。設(shè)連續(xù)可微的目標(biāo)函數(shù)為

J=f(x,u)(3-18)

等式約束條件為

g(x,u)=0(3-19)式中x——n維列矢量；

u——r維列矢量；

g——n維矢量函數(shù)。

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在拉格朗日乘子法中，用乘子矢量λ乘等式約束條件并與目標(biāo)函數(shù)相加，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)

式中λ——與g同維的列矢量。這樣，就可按無約束條件的多元函數(shù)極值的方法求解。(3-20)20目標(biāo)函數(shù)存在極值的必要條件是(3-21)(3-22)21即：式中(3-23)22例2：