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第十章積分學(xué)定積分二重積分三重積分積分域區(qū)間平面空間曲線積分曲線曲面曲線積分曲面積分對弧長的曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分對面積的曲面積分對坐標(biāo)的曲面積分曲面積分曲線積分一、問題的提出實(shí)例:曲線形物體的質(zhì)量勻質(zhì)之質(zhì)量分割求和取極限近似值準(zhǔn)確值有平面上的曲線形物體，曲線弧為L

,線密度為近似二、對弧長的曲線積分的概念1.定義被積函數(shù)積分弧段積分和式曲線形物體的質(zhì)量2.存在條件：3.推廣注：思考:(1)若在

L

上f(x,y)≡1,(2)定積分是否可看作對弧長曲線積分的特例?否!

對弧長的曲線積分要求ds

0,但定積分中dx

可能為負(fù).4.性質(zhì)三、對弧長的曲線積分的計算基本思路:計算定積分轉(zhuǎn)化定理:且上的連續(xù)函數(shù),是定義在光滑曲線弧則曲線積分求曲線積分(注意到說明:因此積分限必須滿足注:2.上述計算公式相當(dāng)于“換元法”.推廣:例1.

計算其中L是拋物線與點(diǎn)

B(1,1)之間的一段弧.解:上點(diǎn)O(0,0)例2解例4.計算曲線積分

其中為螺旋的一段弧.解:

線四、幾何與物理意義例.計算半徑為R,中心角為的圓弧L

對于它的對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量I(設(shè)線密度

=1).解:

建立坐標(biāo)系如圖,則五、小結(jié)1.對弧長曲線積分的概念2.對弧長曲線積分的計算3.對弧長曲線積分的應(yīng)用思考與練習(xí)1.已知橢圓周長為a,求提示:原式=利用對稱性注：若平面曲線弧具

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