第四章

受彎截面彈塑性全過程分析30Oct,20061AdvancedConcreteStructures

§4.1彈性分析4.1.1第Ⅰ階段（開裂前）計算圖式：30Oct,20062AdvancedConcreteStructures

（一）基本方程1.平衡條件（4-1）（4-2）2.變形條件（4-3）（4-4）根據(jù)平截面假定：30Oct,20063AdvancedConcreteStructures

3.物理條件（4-5）（4-6）

6個獨立方程，13個參數(shù)，即如果已知其中的任意7個，便可解出其余6個未知數(shù)。30Oct,20064AdvancedConcreteStructures

（二）中性軸位置將式(4-3)、(4-4)分別代入式(4-5)、(4-6)得：再將式(4-7)、(4-8)代入式(4-1)得：（4-7）（4-8）即：（4-9）由式（4-9）即可求得x的值，也即確定了中性軸的位置。30Oct,20065AdvancedConcreteStructures

特別地,對于矩形截面，b為常數(shù)，則由式（4-9）可得：即：（4-10）（4-10a）式中：(縱向配筋率)30Oct,20066AdvancedConcreteStructures

式(4-10a）說明：①在第Ⅰ階段，中性軸位置與M無關,且為常數(shù)。②值略大于而接近于0.5，中性軸偏于受拉區(qū)，若為純砼截面，則

（三）換算截面（4-12）（4-13）其中：x按（4-10）式確定。30Oct,20067AdvancedConcreteStructures

（四）彎矩曲率關系（即內(nèi)力與變形的關系）將式（4-7）、式（4-8）代入（4-2）式得：（4-14）曲率的單位是：或者，且，為曲率半徑。30Oct,20068AdvancedConcreteStructures

（五）抗彎剛度定義式：

將（4-14）式代入上式得：B的單位為：或(4-15)30Oct,20069AdvancedConcreteStructures

（六）彎矩與應力的關系

將式（4-14）變形得φ的表達式，再代入（4-7）式得：（4-16）由物理條件，變形條件及（4-14）式得：（4-17）30Oct,200610AdvancedConcreteStructures

4.1.2第Ⅰ階段末（即將開裂）

在第Ⅰ階段末，截面即將開裂，也就是說，受拉邊緣的砼拉應力達到其抗拉強度，裂縫即將出現(xiàn)，此時的彎矩稱為RC開裂彎矩，記為，可由式（4-16）確定：則（4-18）其中：由（4-10）式確定。30Oct,200611AdvancedConcreteStructures

4.1.3第Ⅱ階段（開裂后）計算圖式與第Ⅰ階段相比有所變化:（受拉區(qū)砼退出工作）30Oct,200612AdvancedConcreteStructures

（一）基本方程1、平衡條件（4-19）（4-20）2、變形條件（4-3）（4-4）3、物理條件（4-5）（4-6）30Oct,200613AdvancedConcreteStructures

（二）中性軸的位置將變形條件，物理條件代入式（4-19）得：（4-21）由式（4-21）即可求得中性軸的位置x。可知：x仍為常數(shù)，與M無關。由式(4-22)求得的x遠小于式（4-10a）求得的x，說明受拉區(qū)砼開裂時，中性軸突然上升，往受壓區(qū)移動，使得x減小，這是一個非常重要的物理現(xiàn)象。對于矩形截面，b為常數(shù)，則由式（4-21）可得：（4-22）30Oct,200614AdvancedConcreteStructures

（三）換算截面（4-23）（4-24）對于矩形截面，b為常數(shù)，則（4-24a）

其中，x按（4-22）確定。（四）

與前式（4-14）、（4-15）、（4-16）、（4-17）相同，只不過式中I0應按式（4-24）計算。30Oct,200615AdvancedConcreteStructures

4.1.4第Ⅱ階段末（縱筋屈服）（4-25）其中：按式（4-21）計算。30Oct,200616AdvancedConcreteStructures

§4.2受彎截面彈塑性分析平衡條件，變形條件與彈性分析時相同，物理關系不用虎克定律的線彈性模型，而采用與實驗結果較為吻合的本構關系，即砼本構關系（拉、壓）采用非線性模式（二次拋物線）。30Oct,200617AdvancedConcreteStructures

4.2.1第Ⅰ階段（開裂前）計算圖式：30Oct,200618AdvancedConcreteStructures

（一）基本方程1.平衡條件（4-1）（4-2）2、變形條件（4-3）（4-4）30Oct,200619AdvancedConcreteStructures

3.物理條件

a．砼受壓—二次拋物線(4-26)30Oct,200620AdvancedConcreteStructures

b．砼受拉—二次拋物線

(4-27)30Oct,200621AdvancedConcreteStructures

c．鋼筋受拉（壓）（理想彈塑性）30Oct,200622AdvancedConcreteStructures

（二）中性軸位置將變形（相容）條件代入物理條件得：壓區(qū)砼：

拉區(qū)砼：拉區(qū)鋼筋：（4-28）（4-29）（4-30）30Oct,200623AdvancedConcreteStructures

再將式（4-28、4-29、4-30）代入式（4-1）得：（4-31）上式為x的一元三次方程，已知材料性能幾何尺寸b、h、h0、As，曲率

，則可求解受壓區(qū)高度。30Oct,200624AdvancedConcreteStructures

（三）

關系將變形條件代入物理條件，再代入式（4-2）得：（4-32）式中：由式（4-31）確定。由式（4-32）可知：為非線性關系。30Oct,200625AdvancedConcreteStructures

（四）抗彎剛度由，將式（4-32）代入該式得（4-33）B不再是常數(shù)，與及有關，且為的非線性式。30Oct,200626AdvancedConcreteStructures

（五）鋼筋和砼的應力按（4-28～30）進行計算。壓區(qū)砼：

拉區(qū)砼：拉區(qū)鋼筋：（4-28）（4-29）（4-30）30Oct,200627AdvancedConcreteStructures

4.2.2第Ⅰ階段末（即將開裂）計算圖式：30Oct,200628AdvancedConcreteStructures

1.曲率：（4-34）2.中性軸位置將式（4-31）類比變形，用代替式（4-31）中的，代替式（4-31）中的得：（4-35）由式（4-35）可解得到。（迭代解x的三次方程）30Oct,200629AdvancedConcreteStructures

可由式（4-32）變形改寫得到，用代替,代替得：

3.(4-36)4.抗彎剛度B(4-37)30Oct,200630AdvancedConcreteStructures

4.2.3第Ⅱ階段（開裂后）

（不計中性軸以下受拉砼的作用）30Oct,200631AdvancedConcreteStructures

（一）基本方程1.平衡條件（4-38）（4-39）2、變形條件（4-3）（4-4）30Oct,200632AdvancedConcreteStructures

3、物理條件

a．受壓區(qū)砼：

b．受拉鋼筋：30Oct,200633AdvancedConcreteStructures

（二）中性軸的位置（三）關系（4-40）（4-41）30Oct,200634AdvancedConcreteStructures

4.2.4第Ⅱ階段末（縱筋屈服）計算圖式：30Oct,200635AdvancedConcreteStructures

1.曲率：2、中性軸位置將式（4-31）中用代替得：（4-43）（4-42）30Oct,200636AdvancedConcreteStructures

3、彎矩（縱筋屈服彎矩）

4、抗彎剛度

（4-44）（4-45）30Oct,200637AdvancedConcreteStructures

4.2.5第Ⅲ階段（縱筋屈服后）計算圖式：30Oct,200638AdvancedConcreteStructures

（一）基本方程1.平衡條件（4-38）（4-39）2、變形條件（4-3）縱筋屈服，只有砼：30Oct,200639AdvancedConcreteStructures

3、物理條件（砼受壓）

a．受壓區(qū)砼：

b．受拉鋼筋：（4-46）（4-47）30Oct,200640AdvancedConcreteStructures

（二）中性軸位置（4-48）求解x的一個一元三次方程。（三）關系（4-49）30Oct,200641AdvancedConcreteStructures

4.2.5第Ⅲ階段末（砼壓壞）計算圖式：30Oct,200642AdvancedConcreteStructures

1.曲率：2.中性軸位置（4-50）（4-51）30Oct,200643AdvancedConcreteStructures

3.截面破壞時所承受的彎矩（4-52）將式（4-51）代入（4-52），并整理得：（4-52a）30Oct,200644AdvancedConcreteStructures

3.截面破壞時所承受的彎矩如?。?0.002，=0.0033，代入（4-51）、（4-52）得（4-51b）（4-52b）4.剛度（4-53）30Oct,200645AdvancedConcreteStructures

§4.3受彎截面的延性概念：截面的延性是指從縱筋屈服直到砼壓壞，截面的變形能力。定義式：即受彎截面的延性等于第Ⅲ階段末與第Ⅱ階段末的曲率的比值，為一無量綱的數(shù)。討論：延性大就是塑性大，延性小表示脆性大，延性在超靜定結構的內(nèi)力重分布及結構的抗震設計中有重要的意義。（抗震的延性設計倒塌分析）30Oct,200646AdvancedConcreteStructures

§4.4受彎截面的塑性分析計算圖式：30Oct,200647AdvancedConcreteStructures

1.物理條件受拉區(qū)鋼筋：受壓區(qū)砼：4.4.1基本公式2.平衡條件（4－54）（4－55）30Oct,200648AdvancedConcreteStructures

將式（4-56）代入式（4-55）得3.中性軸位置由式（4-54）得或：（4-56）（4-56a）（4-57）30Oct,200649AdvancedConcreteStructures

（4-10）（4-13）（4-18）§4.5塑性系數(shù)法（針對即將開裂截面）該法為另一種即將開裂時的簡化計算方法。方法原理：對受彎截面作彈性分析，然后乘以塑性系數(shù)rm，即得開裂彎矩Mcr。公式：按彈性分析得：式中xcr和I0分別按式（4-10）、（4-13）計算，則有:30Oct,200650AdvancedConcreteStructures

由于式（4-18）沒有考慮截面受拉區(qū)的塑性，故按式（4-18）計算的Mcr值偏小，而實際的Mcr應乘以塑性系數(shù)rm，且式中：按式（4-10）計算。（4-58）則對于矩形截面：一般可取rm

=1.7530Oct,200651AdvancedConcreteStructures

精確值:評述：可見塑性系數(shù)法具有一定的精度，且簡便實用。求：考慮塑性系數(shù)的Mcr。例：已知：其余同例3.2。，誤差：7.2%30Oct,200652AdvancedConcreteStruct