第六章信號與系統(tǒng)的時域和頻域特性2/3/20231虛指數(shù)信號ejwt(-<t<)通過連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)其中2/3/20232h(t)結(jié)論：在頻率為ω的正弦信號作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)仍為同頻率的正弦信號，2/3/20233任意非周期信號通過連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

若信號x(t)的Fourier存在，則可由虛指數(shù)信號ejwt(-<t<)的線性組合表示，即

由系統(tǒng)的線性時不變特性，可推出信號x(t)作用于系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs

(t)。2/3/20234任意非周期信號通過連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)由積分特性(P20)由均勻性即Yzs

(jw)2/3/202356.2LTI系統(tǒng)頻率響應(yīng)的模和相位連續(xù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(jw)的定義與物理意義:幅度響應(yīng)相位響應(yīng)

H(jw)的物理意義：

系統(tǒng)把頻譜為X(jw)

的輸入改變成頻譜為H(jw)

X(jw)的響應(yīng)，改變的規(guī)律完全由H(jw)

決定。H(jw)反映了系統(tǒng)對輸入信號不同頻率分量的傳輸特性。

H(jw)稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，定義為或2/3/20236H(jw)與h(t)的關(guān)系即H(jw)等于系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的Fourier變換由H(jw)的定義，顯然有求H(jw)的方法

由系統(tǒng)的微分方程式直接計算；

由系統(tǒng)的沖激響應(yīng)的傅里葉變換計算；

由電路的零狀態(tài)頻域電路模型計算。2/3/20237解：利用Fourier變換的微分特性，微分方程的頻域表示式為由定義可求得例1

已知某LTI系統(tǒng)的動態(tài)方程為

y"(t)+3y'(t)+2y(t)=x(t)，

求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(jw)。2/3/20238連續(xù)系統(tǒng)的頻率特性分析2/3/20239波特圖2/3/2023106.2.1線性與非線性相位

若輸入信號為x(t)，則無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的輸出信號y(t)應(yīng)為K為常數(shù)，td是輸入信號通過系統(tǒng)后的延遲時間。

時域特性

頻域特性其幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)分別為2/3/202311無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的幅度和相位響應(yīng)

無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)應(yīng)滿足兩個條件：1)

系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)|H(jw)|在整個頻率范圍內(nèi)應(yīng)為常數(shù)K，即系統(tǒng)的帶寬為無窮大；K=1時即為：全通系統(tǒng)。2)

系統(tǒng)的相位響應(yīng)f(w)在整個頻率范圍內(nèi)應(yīng)與成線性關(guān)系。它表示每個頻率分量的延遲情況；當(dāng)其為常數(shù)時，就是表示每個頻率分量的延遲相同。群延時：2/3/202312例1

已知一LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為

(1)求系統(tǒng)的幅度響應(yīng)|H(jw)|和相位響應(yīng)f(w)，

并判斷系統(tǒng)是否為無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)。(2)

當(dāng)輸入為f(t)=sint+sin3t(-<t<)時，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。解：(1)因為所以系統(tǒng)的幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)分別為

系統(tǒng)的幅度響應(yīng)|H(jw)|為常數(shù)，但相位響應(yīng)f(w)不是w的線性函數(shù)，所以系統(tǒng)不是無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)。2/3/202313(2)

當(dāng)輸入為f(t)=sint+sin3t(-<t<)時，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。顯然，輸出信號相對于輸入信號產(chǎn)生了失真。輸出信號的失真是由于系統(tǒng)的非線性相位引起的。輸入和輸出信號的波形2/3/2023146.3理想濾波器的頻響特性

濾波器是指能使信號的一部分頻率通過，而使另一部分頻率通過很少的系統(tǒng)。

理想低通

理想高通

理想帶通

理想帶阻2/3/202315理想低通濾波器截止角頻率幅頻響應(yīng)|H(jw)|在通帶0~wc

恒為1，在通帶之外為0。相頻響應(yīng)f(w)在通帶內(nèi)與成線性關(guān)系(保證信號傳輸不失真)2/3/202316零相位理想低通濾波器的沖激響應(yīng)2/3/202317具有線性相位理想低通濾波器的沖激響應(yīng)2/3/202318理想低通濾波器的沖激響應(yīng)分析1)

h(t)的波形是一個取樣函數(shù)，不同于輸入信號d(t)的波形，有失真。

原因：理想低通濾波器是一個帶限系統(tǒng)，而沖激信號d(t)的頻帶寬度為無窮大。

減小失真方法：增加理想低通截頻wc。

h(t)的主瓣寬度為2p/wc，wc越小，失真越大。當(dāng)wc

時，理想低通變?yōu)闊o失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)，

h(t)也變?yōu)闆_激函數(shù)。2/3/202319理想低通濾波器的沖激響應(yīng)分析2)

h(t)主峰出現(xiàn)時刻

t=td

比輸入信號d(t)

作用時刻t=0延遲了一段時間td

。td是理想低通濾波器相位特性的斜率。

3)

h(t)在

t<0的區(qū)間也存在輸出，可見理想低通濾波器是一個非因果系統(tǒng)，因而它是一個物理不可實現(xiàn)的系統(tǒng)。2/3/202320理想低通濾波器的階躍響應(yīng)2/3/202321理想低通濾波器的階躍響應(yīng)分析1)階躍響應(yīng)g(t)比輸入階躍信號u(t)延遲td

。td是理想低通濾波器相位特性的斜率。

2)

階躍響應(yīng)的建立需要一段時間。

階躍響應(yīng)從最小值上升到最大值所需時間稱為階躍響應(yīng)的上升時間tr。tr=2p/wc，即上升時間tr與理想低通截頻wc成反比。wc越大，上升時間就越短，當(dāng)wc

時，tr

0。2/3/202322理想低通濾波器的階躍響應(yīng)分析：3)存在

Gibbs現(xiàn)象

即在間斷點的前后出現(xiàn)了振蕩，其振蕩的最大峰值約為階躍突變值的9%左右，且不隨濾波器帶寬的增加而減小。2/3/202323結(jié)論1.

輸出響應(yīng)的延遲時間td取決于理想低通濾波器的相位特性的斜率。2.

輸入信號在通過理想低通濾波器后，輸出響應(yīng)在輸入信號不連續(xù)點處產(chǎn)生逐漸上升或下降的波形，上升或下降的時間與理想低通濾波器的通頻帶寬度成反比。3.

理想低通濾波器的通帶寬度與輸入信號的帶寬不相匹配時，輸出就會失真。系統(tǒng)的通帶寬度越大于信號的帶寬，則失真越小，反之，則失真越大。2/3/202324例

求帶通信號f(t)=Sa(t)cos2t，-<

t<，通過線性相位理想低通濾波器

的響應(yīng)。解：因為利用Fourier變換的頻移特性，可得2/3/202325y(t)=f(t-td)=Sa(t-td)cos[2(

t-td)]，

-<t<

2)

當(dāng)wc

<1時，輸入信號的所有頻率分量都不能通過系統(tǒng)