如果沒有個人的進(jìn)步，就不可能有社會的進(jìn)步，而如果沒有自由，就不可能有個人的進(jìn)步?！薈H4無限期界與世代交疊模型1本章概要與索洛模型相似：本章的這兩個模型依舊把勞動與知識當(dāng)作外生的。與索洛模型不同：模型從競爭性市場的最大化家庭與廠商的相互作用中引出資本存量的演化，因而，儲蓄不再是外生的。在這兩個模型中，經(jīng)濟總量的動態(tài)學(xué)由微觀層次的決策決定。2/dx//dx/150710/4654031.html/dx/150710/4654032.html/dx/150710/4654036.html/dx/150710/4654039.html/dx/150710/4654072.html/dx/150710/4654077.html/dx/150711/4654617.html/dx/150711/4654618.html/dx/150711/4654619.html/dx/150712/4654757.html/dx/150712/4654758.html/dx/150712/4654759.html/dx/150712/4654760.html/dx/150712/4654761.html/dx/150712/4654762.html/dx/150712/4654776.html/dx/150713/4655289.html/dx/150713/4655302.html/dx/150713/4655314.html/dx/150713/4655320.html永久生存且數(shù)目固定的家庭供給勞動、持有資本并進(jìn)行消費和儲蓄。又稱無限期界模型。拉姆齊－凱斯－庫普曼斯模型3一、假設(shè)1、廠商存在大量的廠商，生產(chǎn)函數(shù)：Y=F(K,AL)A以g的速率外生地增長家庭擁有企業(yè)，因此，企業(yè)產(chǎn)生的利潤歸于家庭。42、家庭存在大量相同的家庭（H），家庭的規(guī)模以n的速率增長。家庭擁有K（0）/H的初始資本。假設(shè)沒有折舊。在每個時點上，家庭將其收入在消費與儲蓄之間進(jìn)行分配，以便最大化其終身效用。家庭的效用函數(shù)為：

式中，C(t)表示t時刻家庭每個成員的消費。u()是瞬時效用函數(shù)。L(t)是經(jīng)濟中的總?cè)丝冢虼?，L/H等于每個家庭的人口。u(C(t))L(t)/H是t時刻家庭的總瞬時效用。ρ是時間偏好率，表示獲得效用越晚價值越低。

ρ越大，則相對于現(xiàn)期消費，家庭對未來的消費估價越小。5瞬時效用函數(shù)采取如下形式：由于該函數(shù)的消費替代彈性為1/θ，因此被稱為不變跨期替代彈性效用函數(shù)。邊際效用彈性：消費每增加1％，邊際效用下降的百分比。θ越高，隨著消費的增加，邊際效用就下降的越快，家庭就越不愿意消費的波動。6二、家庭與廠商的行為1、廠商競爭性廠商獲得零經(jīng)濟利潤。在競爭市場，且假設(shè)沒有折舊，因此資本報酬率等于其邊際產(chǎn)品：勞動的真實工資等于其邊際產(chǎn)品：每單位有效勞動的真實工資：72、家庭的預(yù)算約束家庭的預(yù)算約束是其終生消費的貼現(xiàn)值不能超過其初始的財富與其終身勞動收入的現(xiàn)值之和。連續(xù)計息的終值的貼現(xiàn)（貼現(xiàn)率為常數(shù)）：當(dāng)貼現(xiàn)率隨時間變化時的貼現(xiàn)值：家庭的預(yù)算約束可以表示為：8非蓬齊博弈：將任意時刻s的財富貼現(xiàn)到當(dāng)前，應(yīng)為非負(fù)。93、家庭最優(yōu)化家庭在預(yù)算約束限制下，選擇消費的路徑來最大化其終身效用(通過構(gòu)造拉格朗日函數(shù)計算)。每單位有效勞動消費的最優(yōu)增長率：每個工人的消費C(t)等于A(t)c(t)，其增長率為：歐拉方程該式意味著，如果實際報酬超過了家庭用于貼現(xiàn)未來消費的速率，每個工人的消費將上升。10三、經(jīng)濟的動態(tài)學(xué)消費的動態(tài)學(xué)資本的動態(tài)學(xué)kck*c與k的動態(tài)學(xué)：系統(tǒng)是鞍點路徑穩(wěn)定k*小于資本的黃金律水平：由ρ-n-(1-θ)g>0得到：ρ+θg>n+g穩(wěn)定臂練習(xí)：推導(dǎo)相位圖和上述結(jié)論。非穩(wěn)定臂穩(wěn)態(tài)kGc*11四、平衡增長路徑經(jīng)濟行為一旦收斂于穩(wěn)態(tài)點，它就等同于處于平衡增長路徑上的索洛經(jīng)濟的行為。每單位有效勞動的資本、產(chǎn)出與消費不變；總量以n+g的速率增長；每工人產(chǎn)出、資本與消費以g的速率增長。索洛模型與拉姆齊－凱斯－庫普曼斯模型的平衡增長路徑之間的惟一顯著的差異是，在后者不可能出現(xiàn)動態(tài)無效率。12五、貼現(xiàn)率下降ρ表示家庭對現(xiàn)期與未來消費之間的偏好。ρ下降意味著k*上升。kcEE’ρ下降與索洛模型中的儲蓄率上升相似。

c在沖擊時刻發(fā)生向下跳躍，然后與k一起逐漸上升到其初始水平之上。與索洛模型不同的是，在該模型中，儲蓄在調(diào)整過程中將發(fā)生變化。k*13六、調(diào)整速度在平衡增長路徑（c*,k*）附近進(jìn)行線性近似：系數(shù)矩陣的特征根為

根號內(nèi)的表達(dá)式為正，因此得到兩個不等實根，系統(tǒng)為鞍點路徑穩(wěn)定。其中的負(fù)根即為變量c、k向穩(wěn)態(tài)收斂的速率。模型的動態(tài)方程：14

代蒙德模型與拉姆齊－凱斯－庫普曼斯模型的核心差異是存在人口的新老交替，而非一個數(shù)量固定的永久性生存的家庭。代蒙德世代交疊模型15一、假設(shè)由于存在新老交替，因此，假設(shè)時間是間斷的而非連續(xù)的。該模型假設(shè)每個人只活兩個時期。Lt表示t時期出生的個人。人口增長率為n，因此，Lt=Lt-1（1＋n）。由于人均生活兩個時期，因此，在t時期，存在Lt個處于他們生命第一時期的個人，并且存在Lt-1個處于他們生命第二時期的個人。每個人在年輕的時候供給1單位的勞動，并且將勞動收入在第一期的消費和儲蓄之間進(jìn)行分配；在第二時期，個人只是消費其儲蓄和利息。16在t時期出生的一個人的效用取決于兩時期的消費。效用函數(shù)為不變相對風(fēng)險厭惡效用函數(shù)：該假設(shè)確保第二個時期的消費權(quán)數(shù)為正。

在t時期，由老年人擁有的資本與由年輕人供給的勞動結(jié)合起來進(jìn)行生產(chǎn)。老年人消費其資本收入與現(xiàn)存財富。年輕人將勞動收入wtAt分配在消費和儲蓄上。他們把儲蓄帶入下一個時期，因此在t+1時期內(nèi)的資本存量Kt+1等于t時期的年輕人的數(shù)量Lt乘以他們的儲蓄wtAt-C1t。該資本量與下一代年輕人的勞動供給相結(jié)合，生產(chǎn)持續(xù)進(jìn)行。17二、家庭行為在t時期出生的一個個人的第二時期的消費為：變化得到個人的預(yù)算約束：終生消費的現(xiàn)值等于其初始財富（等于零）加上終生勞動收入的現(xiàn)值。個人的最大化問題：在預(yù)算約束條件下分配兩個時期的消費和儲蓄以使個人的效用達(dá)到最大化。18個人效用最大化：邊際收益等于邊際成本個人效用函數(shù)：各時期消費變化對效用的影響（即邊際效用）：在第一時期減少消費△C，則第二時期消費增加（1+rt+1）△C。最優(yōu)化的個人會調(diào)整消費變動使增加的效用等于減少的效用。最優(yōu)的個人消費變化：19個人效用最大化：拉格朗日函數(shù)構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，并根據(jù)一階條件可以得到最優(yōu)化條件。儲蓄率為當(dāng)且僅當(dāng)（1＋r)(1-θ)/θ關(guān)于r是遞增的，儲蓄率關(guān)于r是遞增的。當(dāng)θ＞1時，s關(guān)于r是遞減的；當(dāng)θ＜1時，s關(guān)于r是遞增的；θ＝1時，s與r不相關(guān)，稱為對數(shù)效用。20三、經(jīng)濟的動態(tài)學(xué)t+1時期的資本存量等于t時刻年輕人的儲蓄量兩邊同時除以At+1Lt+1代換rt+1和wt得到單位有效勞動資本的動態(tài)方程（差分方程）當(dāng)kt+1=kt=k*時，k達(dá)到均衡值（穩(wěn)態(tài)）。21對數(shù)效用與柯布－道格拉斯生產(chǎn)柯布－道格拉斯函數(shù)緊湊形式ktkt+1kt+1=ktk*k0k1k1k2k2k*是全局穩(wěn)定的：給定k的任何初始值，都會收斂于穩(wěn)態(tài)值。在穩(wěn)態(tài)，代蒙德模型的性質(zhì)與索洛和拉姆齊模型關(guān)于平衡增長路徑的性質(zhì)相同：儲蓄率不變，人均產(chǎn)出增長率為g，資本－產(chǎn)出比率不變。kt+1=f(kt)穩(wěn)態(tài)：k*=f(k*)k*22收斂速度k的動態(tài)方程為：達(dá)到均衡時：在平衡路徑附近線性化：由于α