第四章單元測試本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．第Ⅰ卷60分，第Ⅱ卷90分，共150分，考試時間120分鐘．第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．圓心為(3，4)且過點(0，0)的圓的方程是()A．x2＋y2＝25B．x2＋y2＝5C．(x－3)2＋(y－4)2＝25D．(x＋3)2＋(y＋4)2＝252．若x2＋y2－x＋y－m＝0表示一個圓的方程，則m的取值范圍是()A．m>－eq\f(1,2)B．m≥－eq\f(1,2)C．m<－eq\f(1,2)D．m>－23．已知圓C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，點P在圓C上，點Q(－2，2)在圓C外，則|PQ|的最大值為()A．5B．6C．7D．84．已知圓C的圓心是直線x＋y＋1＝0與直線x－y－1＝0的交點，直線3x＋4y－11＝0與圓C相交于A，B兩點，且|AB|＝6，則圓C的方程為()A．x2＋(y＋1)2＝18B．x2＋(y＋1)2＝3eq\r(2)C．(x＋1)2＋y2＝18D．(x＋1)2＋y2＝3eq\r(2)5．若直線x－2y－3＝0與圓(x－2)2＋(y＋3)2＝9交于E，F(xiàn)兩點，則△EOF(O是坐標原點)的面積為()\f(3,2)\f(3,4)C．2eq\r(5)\f(6\r(5),5)6．在空間直角坐標系中，已知點P(1，eq\r(2)，eq\r(3))，若過點P作平面yOz的垂線PQ，則垂足Q的坐標為()A．(0，eq\r(2)，0)B．(0，eq\r(2)，eq\r(3))C．(1，0，eq\r(3))D．(1，eq\r(3)，0)7．若直線l將圓x2＋y2－2x－4y＝0平分，且與直線x＋2y＝0垂直，則直線l的方程為()A．y＝2xB．y＝2x－2C．y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(3,2)D．y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(3,2)8．若點P(1，1)為圓x2＋y2－6x＝0的弦MN的中點，則弦MN所在直線的方程為()A．2x＋y－3＝0B．x－2y＋1＝0C．x＋2y－3＝0D．2x－y－1＝09．圓O1：x2＋y2－4x－6y＋12＝0與圓O2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0的位置關系是()A．相交B．外離C．內含D．內切10．若圓(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有兩個點到直線4x－3y－2＝0的距離等于1，則半徑r的取值范圍是()A．(4，6)B．[4，6]C．(4，5)D．(4，5]11．若過點A(－1，4)作圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1的切線l，則切線l的方程是()A．3x－y＋7＝0B．3x＋4y－13＝0C．3x－y－7＝0D．y＝4或3x＋4y－13＝012．與直線x＋y－2＝0和曲線x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半徑最小的圓的標準方程是()A．(x－2)2＋(y－2)2＝2B．(x＋2)2＋(y＋2)2＝2C．(x－2)2＋(y＋2)2＝2D．(x＋2)2＋(y－2)2＝2請將選擇題答案填入下表：題號123456789101112總分答案第Ⅱ卷(非選擇題共90分)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．若圓心在x軸上，半徑為eq\r(2)的圓O位于y軸左側，且與直線x＋y＝0相切，則圓O的方程是__________________．14．圓x2＋y2＝1上的點到直線3x＋4y－25＝0的距離的最小值是________．15．已知A(－2，0)，B(2，0)，點P在圓(x－3)2＋(y－4)2＝4上運動，則|PA|2＋|PB|2的最小值是________．16．若直線y＝x＋m與曲線y＝eq\r(4－x2)有且只有一個公共點，則實數m的取值范圍是________．三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(10分)求圓心在直線l1：y－3x＝0上，與x軸相切，且被直線l2：x－y＝0截得的弦長為2eq\r(7)的圓的方程．18．(12分)已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，點M是B1C1的中點，點N是AB的中點．以D為原點，建立如圖D4-1(1)寫出點D，N，M的坐標；(2)求線段MD，MN的長度；(3)設點P是線段DN上的動點，求|MP|的最小值．圖D4-119．(12分)設半徑為3的圓C被直線l：x＋y－4＝0截得的弦AB的中點為P(3，1)，且弦長eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝2eq\r(7)，求圓C的方程．20．(12分)已知圓C：x2＋(y－1)2＝5，直線l：mx－y＋1－m＝0.(1)求證：對m∈R，直線l與圓C總有兩個不同的交點；(2)若直線l與圓C交于A，B兩點，且|AB|＝eq\r(17)，求m的值．21．(12分)已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.(1)若此方程表示圓，求m的取值范圍；(2)若(1)中的圓與直線x＋2y－4＝0相交于M，N兩點，且OM⊥ON(O為坐標原點)，求m的值；(3)在(2)的條件下，求以MN為直徑的圓的方程．22．(12分)已知圓M：x2＋(y－4)2＝1，直線l：2x－y＝0，點P在直線l上，過點P作圓M的切線PA，PB，切點分別為A，B.(1)若∠APB＝60°，求P點的坐標；(2)若點P的坐標為(1，2)，過點P作一條直線與圓M交于C，D兩點，當|CD|＝eq\r(2)時，求直線CD的方程；(3)求證：經過A，P，M三點的圓與圓M的公共弦必過定點，并求出此定點的坐標．1．C[解析]由圓心(3，4)及圓上一點(0，0)，可得半徑r＝eq\r(32＋42)＝5，故圓的標準方程為(x－3)2＋(y－4)2＝25.2．A[解析]∵方程表示一個圓，∴D2＋E2－4F＝(－1)2＋12－4×(－m)>0，∴m>－eq\f(1,2).3．C[解析]由題可知，圓C的圓心坐標為C(1，－2)，半徑r＝2，則|CQ|＝eq\r(（－2－1）2＋（2＋2）2)＝5，根據幾何意義得|PQ|的最大值為|CQ|＋r＝5＋2＝7.4．A[解析]易求得直線x＋y＋1＝0與直線x－y－1＝0的交點為(0，－1)，所以圓C的圓心為(0，－1)．設圓C的半徑為r，由題意可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|3×0＋4×（－1）－11|,\r(32＋42))))eq\s\up12(2)＋32＝r2，解得r2＝18，所以圓C的標準方程為x2＋(y＋1)2＝18.5．D[解析]由題知該圓的圓心為A(2，－3)，半徑r＝3，圓心到直線的距離d＝eq\f(|2＋6－3|,\r(1＋4))＝eq\r(5)，弦長為2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(9－5)＝4，又因為原點到直線的距離為eq\f(|0－0－3|,\r(1＋4))＝eq\f(3,\r(5))，所以S＝eq\f(1,2)×4×eq\f(3,\r(5))＝eq\f(6\r(5),5).6．B[解析]垂足Q即為P在平面yOz上的射影，坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\r(2)，\r(3))).7．A[解析]圓x2＋y2－2x－4y＝0可化為(x－1)2＋(y－2)2＝5，圓心為(1，2)，與直線x＋2y＝0垂直的直線的斜率為2，故所求直線的方程為y－2＝2(x－1)，即y＝2x.8．D[解析]圓的標準方程為(x－3)2＋y2＝9，圓心為A(3，0)，因為點P(1，1)是弦MN的中點，所以AP⊥MN，因為AP的斜率為k＝eq\f(1－0,1－3)＝－eq\f(1,2)，所以直線MN的斜率為2，所以弦MN所在直線的方程為y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.9．D[解析]把圓O1：x2＋y2－4x－6y＋12＝0與圓O2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0分別轉化為標準方程為：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－2))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－3))eq\s\up12(2)＝1和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－4))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－3))eq\s\up12(2)＝9，兩圓心間的距離d＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－2))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－3))\s\up12(2))＝2＝r2－r1，所以兩圓的位置關系為內切．10．A[解析]圓心到直線4x－3y－2＝0的距離為eq\f(|3×4－3×（－5）－2|,\r(42＋（－3）2))＝5，若圓(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有兩個點到直線4x－3y－2＝0的距離等于1，則半徑r的取值范圍是(4，6)．11．D[解析]結合圖形知切線l的斜率存在，設切線l的方程是y－4＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋4＝0，則圓心到切線l的距離等于半徑，即eq\f(|2k－3＋k＋4|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝0或k＝－eq\f(3,4)，因此，所求切線l的方程是y＝4或3x＋4y－13＝0.12．A[解析]設所求圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.如圖所示，當已知圓與所求圓圓心的連線垂直于已知直線時，所求圓的半徑最小，此時2r＋3eq\r(2)等于已知圓的圓心到已知直線的距離，即eq\f(|6＋6－2|,\r(2))＝2r＋3eq\r(2)，解得r＝eq\r(2)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b－6,a－6)＝1，,\f(|a＋b－2|,\r(2))＝\r(2)，))解得a＝2，b＝2.∴所求圓的標準方程為(x－2)2＋(y－2)2＝2.13．(x＋2)2＋y2＝2[解析]設圓心坐標為(a，0)(a<0)，則圓心到直線的距離等于半徑，即r＝eq\f(|a＋0|,\r(12＋12))＝eq\r(2)，解得a＝－2.故圓O的標準方程為(x＋2)2＋y2＝2.14．4[解析]因為圓心到直線的距離為d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－25)),\r(32＋42))＝5，所以圓x2＋y2＝1上的點到直線3x＋4y－25＝0的距離的最小值是d－r＝4.15．26[解析]設P(x，y)，則|PA|2＋|PB|2＝(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝2(x2＋y2)＋8＝2|OP|2＋8.∵圓心為C(3，4)，∴|OP|min＝|OC|－r＝5－2＝3，∴|PA|2＋|PB|2的最小值為2×32＋8＝26.16．－2≤m<2或m＝2eq\r(2)[解析]∵曲線y＝eq\r(4－x2)表示半圓x2＋y2＝4(y≥0)，∴利用數形結合法，可得實數m的取值范圍是－2≤m<2或m＝2eq\r(2).17．解：由已知可設圓心為(a，3a)，若圓與x軸相切，則r＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3a))，圓心到直線l2的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2a)),\r(2)).由弦長為2eq\r(7)得7＋eq\f(4a2,2)＝9a2，解得a＝±1.故圓心為(1，3)或(－1，－3)，r＝3，圓的標準方程為(x－1)2＋(y－3)2＝9或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9.18．解：(1)D(0，0，0)，N(2，1，0)，M(1，2，3)．(2)|MD|＝eq\r(（1－0）2＋（2－0）2＋（3－0）2)＝eq\r(14)，|MN|＝eq\r(（1－2）2＋（2－1）2＋（3－0）2)＝eq\r(11).(3)∵點P在xOy平面上，∴設點P的坐標為(x，y，0)，∵P在DN上運動，∴eq\f(x,y)＝eq\f(AD,AN)＝2，∴x＝2y，∴P點坐標為(2y，y，0)，則|MP|＝eq\r(（2y－1）2＋（y－2）2＋（0－3）2)＝eq\r(5y2－8y＋14)＝eq\r(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(4,5)))\s\up12(2)＋\f(54,5)).∵y∈[0，1]，且0<eq\f(4,5)<1，∴當y＝eq\f(4,5)時，|MP|取得最小值eq\r(\f(54,5))，即eq\f(3\r(30),5).∴|MP|的最小值為eq\f(3\r(30),5).19．解：由題意，設所求圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝9，圓心到直線的距離d＝eq\r(9－（\r(7)）2)＝eq\r(2)，則eq\f(|a＋b－4|,\r(2))＝eq\r(2)，又因為弦AB所在的直線的斜率為－1，所以eq\f(1－b,3－a)＝1，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b－4)),\r(2))＝\r(2)，,\f(1－b,3－a)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝0，))故所求圓的標準方程為(x－4)2＋(y－2)2＝9或(x－2)2＋y2＝9.20．解：(1)證明：由已知l：y－1＝m(x－1)，可知直線恒過定點P(1，1)．∵12＋(1－1)2<5，∴P(1，1)在圓C內．∴直線l與圓C總有兩個不同的交點．(2)由題意得圓C的半徑r＝eq\r(5)，圓心(0，1)到直線l的距離d＝eq\r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(3),2).由點到直線的距離公式得eq\f(|－m|,\r(m2＋（－1）2))＝eq\f(\r(3),2)，解得m＝±eq\r(3).21．解：(1)由方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0得(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，∵方程表示圓，∴5－m>0，即m<5.(2)設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＝4－2y1，x2＝4－2y2.得x1x2＝16－8(y1＋y2)＋4y1y2.∵OM⊥ON，∴x1x2＋y1y2＝0，∴16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0，①由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4－2y，,x2＋y2－2x－4y＋m＝0，))得5y2－16y＋m＋8＝0.∴y1＋y2＝eq\f(16,5)，y1y2＝eq\f(8＋m,5)，代入①得m＝eq\f(8,5).(3)以MN為直徑的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－