第4章

虛功原理與結構的位移計算1.定義：在外因（荷載、溫度變化、支座沉降等）作用下，結構將發(fā)生尺寸和形狀的改變，稱為變形。由于變形，結構上各點的位置將會移動，桿件的橫截面會轉動，這些移動和轉動稱為結構的位移?！?.1

位移計算概述一、位移的概念注：位移是矢量，有大小、方向。線位移：截面形心的直線移動距離角位移：截面的轉角豎向線位移廣義位移絕對位移相對位移2.種類

絕對位移水平線位移相對線位移：兩截面之間的相對移動相對角位移：兩截面之間的相對轉角——A點線位移——A點水平位移——A點豎向位移——A截面轉角C、D

兩點的相對水平線位移A、B兩個截面的相對轉角絕對位移3.支座沉降和制造誤差等。1.荷載作用；2.溫度改變和材料脹縮；P二、位移產(chǎn)生的主要原因1.驗算結構剛度:即驗算結構的位移是否超過允許的位移限制值。在工程上，吊車梁允許的撓度<1/600跨度；高層建筑的最大位移<1/1000高度。最大層間位移<1/800層高。2.為超靜定結構的計算打基礎。在計算超靜定結構內力時，除利用靜力平衡條件外，還需要考慮變形協(xié)調條件，因此需計算結構的位移。3.在結構的制作、架設、養(yǎng)護過程中，有時需預先知道結構的變形情況,以便采取一定的施工措施，因而也需要進行位移計算。三、計算位移目的建筑起拱將各下弦桿做得比實際長度短些，拼裝后下弦向上起拱。在屋蓋自重作用下，下弦各桿位于原設計的水平位置。四、計算結構位移的原理1.位移計算假定條件：線彈性變形體在小變形條件下的位移2.計算原理：變形體系的虛功原理3.計算方法：虛設單位荷載法§4.2

虛功和虛功原理1.概念一、實功與虛功實功：力在自身所產(chǎn)生的位移上所作的功。虛功：力在其它原因產(chǎn)生的位移上作的功。2.做功的兩種形式力在變形位移上所作的實功為：P力在對應虛位移上所作的虛功為：P常力實功：

靜力實功：Fp1Fp212△11△22AB△12——虛功

二、虛功原理PΔ2Δ3Δ/21.剛體體系的虛功原理剛體體系虛功原理變形體體系虛功原理設體系上作用任意的平衡力系，又設體系發(fā)生符合約束的無限小剛體體系位移，則外力在位移上所作的虛功總和恒等于零。虛功原理的關鍵：平衡力系與位移的相互獨立性，二者都可以進行假設，根據(jù)不同的問題進行不同的假設。體系在任意平衡力系作用下，給體系以幾何可能的位移和變形，體系上所有外力所作的虛功總和恒等于體系各截面所有內力在微段變形位移上作的虛功總和。2.變形體系的虛功原理說明：（1）虛功原理里存在兩個狀態(tài)：力狀態(tài)必須滿足平衡條件；位移狀態(tài)必須滿足協(xié)調條件。（2）原理適用于任何(線性和非線性)的變形體，適用于任何結構。（3）位移和變形是微小量，位移曲線光滑連續(xù)，并符合約束條件。（4）在虛功原理中，做功的力和位移無關，可以虛設力也可虛設位移。3.虛功原理的兩種應用1）虛設位移求未知力（虛位移原理）

虛設單位位移法:已知一個力狀態(tài)，虛設一個單位位移狀態(tài)，利用虛功方程求力狀態(tài)中的未知力。這時，虛功原理也稱為虛位移原理。2）虛設力系求位移（虛力原理）

虛設單位荷載法:已知一個位移狀態(tài)，虛設一個單位力狀態(tài)，利用虛功方程求位移狀態(tài)中的未知位移。這時，虛功原理也稱為虛力原理。虛力原理——位移是真的，力是虛設的。用虛設力的辦法來求真實的位移。

虛位移原理——力是真的，位移是虛設的。用虛設位移的辦法來求真實的力。

例1.如下圖一幾何可變體系，已知B點作用已知荷載

FP

，為了平衡，試求在A點需加的未知力

FX

的大小。解：虛設位移狀態(tài)如右圖，位移的假設應與荷載相一致。RCABCabFPFXFXFP幾何關系：或設相應的三、剛體體系虛功原理應用舉例(一）應用虛位移原理求剛體體系中的力例2.求多跨靜定梁在C點的支座反力FC。FFABCDEa2aa2aa(a)FFABCDE(b)FC(c)δC=1ABCDEδ1δ2（3）代入剛體體系的虛功方程，求FC。解得：

這是虛設單位位移法

。虛功方程為：解：（1）撤掉支座C,把支座反力變成主動力FC。這時體系變成一個機構，如圖（b）所示。（2）取圖（c）所示機構的剛體體系沿所求支座反力方向虛設單位位移δC=1。根據(jù)幾何關系，可求出力F作用點處相應的位移：δ1=-3/2，δ2=3/4

剛體體系的虛位移原理的應用可總結如下：(1)解除欲求約束反力的約束，用相應的約束反力

FX

來代替,同時,結構則相應的變?yōu)闄C構。(2)把結構可能發(fā)生的剛體體系位移當作虛位移，設未知力

FX

和主動荷載

FP

相應的位移分別是

ΔX

和

ΔP

，利用虛功原理可得：(3)求出

ΔX

和

ΔP

之間的相互關系，即可求得

FX

。(4)為了計算方便，假設

ΔX

=

1

，此時，

ΔP

則用

δP

表示。以上的關鍵是虛設位移狀態(tài)及其各種位移的關系。由于

ΔX

=

1，所以又稱單位支座位移法。1.

位移是人為虛設的，為了方便，可以隨意虛設為單位位移1。3.

采用幾何的方法求解靜力平衡問題。注意：2.

解題的關鍵是利用幾何關系求出位移之間的關系。例3.求A

端支座發(fā)生豎向位移c

時引起C點的豎向位移。解：首先構造出相應的虛設力狀態(tài)。即，在擬求位移之點（C點）沿擬求位移方向（豎向）設置單位荷載。由得：解得：

這是虛設單位荷載法

。虛功方程為：ABaCbc1ABC很顯然該題求位移用的是虛功原理中的虛力原理。（二）應用虛力原理求剛體體系的位移例4.圖示簡支梁B支座往下位移了Δ，求由此產(chǎn)生的A點轉角φA。

真實的位移狀態(tài)

虛設的力狀態(tài)運用剛體的虛功原理，虛設的力狀態(tài)上的所有外力在真實的位移狀態(tài)上所做的虛功應該等于零，有：得：ABLΔM=11/L解：在A點虛設單位力系M=1虛力原理的關鍵步驟是在擬求位移Δ方向虛設單位荷載，并利用平衡條件求出與Δ相應的支座反力。該解法稱為單位荷載法。四、支座移動時靜定結構的位移計算在靜定結構中，支座移動時并不引起內力，也不引起變形，結構只發(fā)生剛體位移。1.支座移動對靜定結構的影響2.支座移動時靜定結構的位移計算支座移動時靜定結構的位移計算問題是剛體體系的位移計算問題，可用剛體體系虛功原理來求解。當支座有給定位移時，靜定結構的位移的計算步驟：設支座K有給定位移CK(1)沿擬求位移Δ方向虛設相應的單位荷載，并求出單位荷載作用下的支座反力(2)令虛設力系在實際位移上作虛功，寫出虛功方程：(3)由虛功方程，解出擬求位移為：注意：1）乘積正負號，同側為正，異側為負。2）求的位移為正值，表明位移的實際方向與所設單位荷載方向相同，否則相反?！纠?】三鉸剛架的跨度l=12m，高為h=8m。已知右支座B發(fā)生了豎直沉陷C1=6cm，同時水平移動了C2=4cm(向右)，如圖(a)所示。試求由此引起的左支座A處的桿端轉角φA?！窘狻?1)在A處虛設單位力偶m=1，如圖(b)所示。(2)計算單位荷載作用下的支座反力由于A支座無位移，故只需計算B支座反力即可。取整體為隔離體，由∑MA=0得取右半剛架BC為隔離體，由∑MC=0得(3)計算φA計算結果為正，說明φA與虛設單位力偶m=1的轉向一致。顯然支座移動產(chǎn)生的位移、制造誤差產(chǎn)生的位移應該用剛體的虛力原理計算。荷載作用產(chǎn)生的位移、溫度改變產(chǎn)生的位移應該用變形體的虛力原理計算。

支座移動產(chǎn)生的位移——剛體位移制造誤差產(chǎn)生的位移——剛體位移荷載作用產(chǎn)生的位移——變形體位移溫度改變產(chǎn)生的位移——變形體位移靜定結構位移的類型：d微段的變形可分為:ds1PqN1N1+dNQ1Q1+dQM1M1+dMdsddsd§4.3

結構位移計算的一般公式2ds一、公式的推導1.基本原理——變形體系的虛力原理（虛設單位荷載法）微段ds上的變形包括三個部分：ε—軸向線應變γ—平均切應變（剪應變）—軸線曲率（彎曲應變），ρ為軸線變形后的曲率半徑。軸向位移：剪切位移：轉角位移：

虛設力狀態(tài)：在所求位移處沿所求位移方向加上相應的廣義單位力P=1。如圖所示結構，計算K點的水平位移。P=1虛擬力狀態(tài)11RP1P2t1t2位移狀態(tài)

2c1KΔKHK對于桿系結構，內力所作虛功：外力所作虛功：由變形體虛功原理：—分別是虛設單位荷載在微段ds引起的彎矩、軸力、剪力—分別是實際位移狀態(tài)微段ds的三種變形?！撛O單位荷載引起的支座反力說明：該式是結構位移計算的一般公式。適用于靜定結構和超靜定結構。2)適用于產(chǎn)生位移的各種原因、不同的變形類型、不同的材料。3)該式右邊四項乘積，當力與變形的方向一致時，乘積取正。由于彎曲變形對位移的影響由于軸向變形對位移的影響由于剪切變形對位移的影響由于支座移動對位移的影響結構位移計算的一般公式既可考慮荷載引起的位移，也可考慮溫度或支座移動引起的位移。可用于梁、剛架、桁架、拱等各類型的結構。二、結構位移計算的一般步驟1.在某點沿擬求位移Δ的方向虛設相應的單位荷載。2.在單位荷載作用下，根據(jù)平衡條件，求出結構內力、、和支座反力。3.根據(jù)一般公式可求出位移Δ。公式的右邊四個乘積，它們力與變形之間的乘積，當力與變形方向一致，則乘積為正的。

Δ如果是正值，則表明位移Δ的實際方向與所設單位荷載方向一致。三、虛設單位荷載的方法1)求某截面的線位移2)求某截面的角位移3)求某兩點間的相對角位移4)求某兩點間的相對線位移P=1P=1P=1§4.4荷載作用下的位移計算一、公式的進一步推導dddsd如果結構只受荷載作用，沒有支座位移的影響（CK＝0）時，則計算位移的一般公式可簡化為：式中，微段的變形是由實際荷載作用引起的。設NP、MP、QP表示實際位移狀態(tài)中微段ds上所受的軸力、彎矩、剪力，在線彈性范圍內，由材料力學可知NP、MP、QP引起微段ds上的變形為：EA、GA、EI——分別為桿件截面的抗拉、抗剪和抗彎剛度，k為剪應力不均勻分布系數(shù)。k——與截面形狀有關，矩形截面取6/5，圓形截面取10/9,薄壁圓環(huán)截面取2，詳見表5-2。用Δ表示荷載引起的某截面的位移：這是平面桿系結構在荷載作用下的位移計算公式。二、各類結構的位移公式1.梁與剛架—以彎曲變形為主2.桁架—只有軸向變形3.組合結構4.拱（扁平拱f/l＜1/5）例1.求圖示等截面梁B端轉角。

2）分段求彎矩的表達式（0≤x≤l）m=1解：1）虛擬單位荷載AC段：MP=Px/2（0≤x1≤l/2）BC段：MP=P（l－x）/2（l/2≤x2≤l）（）3）代入公式求φBPl/2l/2EIABx1x2C例2.求圖示簡支梁中點C的豎向位移

。解：（1）取虛力狀態(tài)如圖所示

（2）寫出彎矩表達式CABL/2L/22/L/l/2l/2（3）計算

當時Fp=1CABC解：（1）求

寫出桿件的方程

BC桿：

BA桿：

LACBLEIEIqACBFP=1例3.計算圖示剛架C點的水平位移

和C點的轉角

各桿的EI為常數(shù)。

，()（2）求

ACBM=1BC桿：

BA桿：

寫出桿件的方程

LACBLEIEIq（）。例4.計算圖示剛架C點的水平位移

和C點的轉角

已知，AB、BD段的抗彎剛度為EI，DC的抗彎剛度為0.5EI。

ACBaqa/2a/2DACBP=1D解：（1）求

寫出桿件的方程

橫梁BC：立柱AB:（→）（2）求

ACBM=1DBC桿：

BA桿：

解：例5.求圖示桁架(各桿EA相同)k點水平位移.1）分別求出桁架各桿在實際荷載和虛設單位荷載作用下的軸力。2）代入公式求ΔKHP=1例6.求圖示1/4圓弧曲桿頂點的豎向位移Δ。解：1）虛擬單位荷載3）代入公式求Δds=Rdθ2）列實際荷載和虛擬荷載作用下的內力表達式Pθdθds鋼筋混凝土結構G≈0.4E矩形截面,k=1.2，I/A=h2/12可見剪切變形和軸向變形引起的位移與彎曲變形引起的位移相比可以忽略不計。但對于深梁剪切變形引起的位移不可忽略。一、適用范圍與限制條件§4.5

圖乘法如何利用彎矩圖，使其計算得以簡化？1.適用范圍:受彎曲變形為主的梁、剛架及組合結構中的梁式桿2.限制條件:（1）桿軸是直線；（2）EI是常數(shù)；（3）至少有一是直線圖形。二、圖乘法的公式(EI為常數(shù))(直桿)為微面積對y軸的靜矩,為整個MP圖的面積對y軸的靜矩。說明：（1）若兩個M圖在桿件的同側，乘積取正值；反之，取負值。（2）

應取自直線圖中。（3）必須分別取自兩個彎矩圖。圖乘法求位移公式為:注意圖乘法的應用條件三、應用圖乘法時的幾個具體問題2.當圖形比較復雜，其面積或形心位置不易直接確定時，可采用疊加法。即可以將復雜圖形分解成幾個簡單的圖形，分別與另一圖形相應的縱坐標相圖乘，然后再疊加求位移。1.豎標yC只能由直線彎矩圖中取值。如果MP與單位M圖都是直線，則yC可取自其中任一個圖形。幾種常見簡單圖形的面積和形心的位置例如，圖(a)所示兩個梯形應用圖乘法，可不必求梯形的形心位置，而將其中一個梯形(設為MP圖)分成兩個三角形，分別圖乘后再疊加。（1）梯形與梯形圖乘（ab、cd同側受拉）：MP圖ω1ω2y1y2圖cdab也可以將其中一個梯形(設為MP圖)分解成一個三角形與一個矩形，分別圖乘后再疊加。（2）梯形與梯形圖乘（ab、cd異側受拉）：對于圖示由均布荷載q所引起的MP圖，可以把它看作是梯形ABDC與相應簡支梁在均布荷載作用下的彎矩圖疊加而成。cω3aω2bω1y2y1y3hc圖（3）在均布荷載作用下的任何直桿段(4)當yc所屬圖形不是一段直線而是由若干段直線組成的，或當各桿段的截面積不相等時，均應分段圖乘，再進行疊加。

(1)

畫出結構在實際荷載作用下的彎矩圖MP；

(2)

據(jù)所求位移選定相應的虛擬狀態(tài)，畫出單位彎矩圖M；

(3)

分段計算一個彎矩圖形的面積ω及其形心所對應的另一個彎矩圖形的豎標yC；

(4)

將ω

、yC代入圖乘法公式計算所求位移。五、圖乘法計算位移的解題步驟【例1】求圖(a)所示簡支梁A端角位移φA及跨中C點的豎向位移ΔCV。EI為常數(shù)?！窘狻?1)

求φA①實際荷載作用下的彎矩圖MP如圖(b)所示。②在A端加單位力偶m=1，其單位彎矩圖M如圖(c)所示。③MP圖面積及其形心對應單位M圖豎標分別為

④計算φA

（）(2)

求ΔCV①MP圖仍如圖(b)所示。②在C點加單位力P=1，單位彎矩圖M如圖(d)所示。③計算ω、yC。由于單位M圖是折線形，故應分段圖乘再疊加。因兩個彎矩圖均對稱，故計算一半取兩倍即可。

④計算ΔCV

【例2】計算圖(a)所示外伸梁C點的豎向位移ΔCV。EI為常數(shù)?！窘狻?1)

實際荷載作用下的彎矩圖MP如圖(b)所示。

(2)

在C處加豎向單位力P=1，其彎矩圖M如圖(f)所示。

(3)

計算ω、yC

BC段：ω1=ql3/48

y1=3l/8

AB段：

ω2=ql3/16

y2=l/3

ω3=ql3/24

y3=l/4

(4)

計算ΔCV

ΔCV=(ω1y1+ω2y2+ω3y3)/EI=ql4/(128EI)(↓)【例3】試求圖(a)所示的梁在已知荷載作用下，A截面的角位移φA及C點的豎向線位移ΔCV。EI為常數(shù)?！窘狻?1)

分別建立在m=1及P=1作用下的虛設狀態(tài)，如圖(c)、(d)所示。

(2)

分別作荷載作用和單位力作用下的彎矩圖，如圖(b)、(c)、(d)。

(3)

圖形相乘。將圖(b)與圖(c)相乘，則得

結果為負值，表示φA的方向與m=1的方向相反。

計算ΔCV時，將圖(b)與圖(d)相乘，這里必須注意的是MP圖BC段的彎矩圖是非標準的拋物線，所以圖乘時不能直接代入公式，應將此部分面積分解為兩部分，然后疊加，則得【例4】試求圖a所示伸臂梁C點的豎向位移ΔCV。解：荷載彎矩圖和單位彎矩圖如圖所示。在BC段，MP圖可看作是由B、C兩端的彎矩豎標所連成的三角形與相應簡支梁在均布荷載作用下的標準拋物線圖（即圖b中虛線與曲線之間包含的面積）疊加而成。

【例5】計算圖(a)所示懸臂剛架D點的豎向位移ΔDV。各桿EI如圖示?！窘狻?1)實際荷載作用下的彎矩圖MP如圖(b)所示。

(2)在D端加單位力P=1，單位彎矩圖M如圖(c)所示。

(3)計算ω、yC圖乘時應分AB、BC、CD三段進行，由于CD段M=0，可不必計入。故只計算AB、BC兩段。

AB段：ω1=2l2/3

(取自單位M圖)y1=Pl/4BC段：ω2=2l2/9y2=Pl/4(4)計算ΔDVΔDV=ω1yC1/EI+ω2yC2/2EI

=-5Pl3/(36EI)(↑)【例6】求圖示剛架鉸C左、右兩截面的相對轉角，EI為常數(shù)。qABCDEa/2a/2a/2MP圖qa4qa4qa2qa2qa28qa281ω2ω1解：由于對稱，只需計算剛架的一半，然后2倍。因為QC=0，所以DC段為標準拋物線。11M圖（）（）【例7】已知EI為常數(shù)，求A、B兩點相對水平位移。lqhqMP解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖【例8】計算圖(a)所示組合結構：（1）求ΔDV；（2）鉸C處兩側截面的相對轉角。已知E=2.1×104kN/㎝4，I=3200㎝4，A=16㎝2?！窘狻浚?）求ΔDV1)

實際荷載作用下的彎矩圖MP如圖(b)所示。

2)

在C處加豎向單位力P=1，其彎矩圖M如圖(c)所示。

3)

計算ΔDV

（2）鉸C處兩側截面的相對轉角

1)

實際荷載作用下的彎矩圖MP如圖(b)所示。

2)

在C兩側處加一對等值反向的單位力偶M=1，其彎矩圖如圖(d)所示。

3)

計算φCDABCEAI4I4I10kN/m4m2m3m3mDABCE90kN.m20kN.m20kN.m604575MP圖DABCE3221.52.5M1圖(m)1DABCE90kN.m20kN.m20kN.m604575MP圖＋DBACE11/31/45/12M2圖＋111.求MP圖乘練習MP2.求

取yc的圖形必須是直線,不能是曲線或折線。能用Mi圖面積乘MP圖豎標嗎?3.求C截面豎向位移MPl/2ql/2MP

4.求。lPlPl5.EI為常數(shù)，求AB兩點:(1)相對豎向位移,(2)相對水平位移,(3)相對轉角。MP1111對稱彎矩圖反對稱彎矩圖

對稱結構的對稱彎矩圖與其反對稱彎矩圖圖乘,結果為零。11作變形草圖PP11繪制變形圖時，應根據(jù)彎矩圖判斷桿件的凹凸方向，注意反彎點的利用。如：§4.6

溫度改變時的位移計算靜定結構由于溫度變化，材料會引起熱脹冷縮，導致結構產(chǎn)生變形和位移，但整個結構不引起任何內力。一、溫度變化對靜定結構的影響二、溫度改變時靜定結構的位移計算公式上、下邊緣的溫差:設材料的線膨脹系數(shù)為α，溫度沿桿件截面高度線性變化。計算公式的推導：設實際狀態(tài)為位移狀態(tài)，在K點沿位移方向加一單位力作為虛設力狀態(tài)。（1）微段的溫度變形分析形心軸處的溫度變化值注意：溫度變化不引起剪切變形γ＝01).桿件形心軸處的伸長（軸向變形）2).微段兩端截面的相對轉角（彎曲變形）兩側溫度改變值的差值對于等截面直桿:若和使桿件的同一邊產(chǎn)生拉伸變形，其乘積為正，反之為負。：形心軸處的溫度改變值，溫度升高為正，降低為負；：桿件兩側溫度改變值的差值，取其絕對值；：虛設單位荷載作用下各桿的軸力值，受拉為正，受壓為負；：虛設單位荷載作用下圖的面積；注意：各項參數(shù)正負號的取值（2）溫度變化時位移計算N圖的面積M圖的面積例1.剛架施工時溫度為20℃，試求冬季外側溫度為-10℃，內側溫度為

0℃時A點的豎向位移。已知

l=4m,,各桿均為矩形截面桿，高度

h=0.4m。解：（1）虛設單位力，繪制單位彎矩圖和軸力圖。llAMANA外側溫度變化值：℃內側溫度變化值：℃（2）代入公式求A點的豎向位移

§4.7

互等定理如圖1所示簡支梁，分別作用兩組外力P1與P2，并分別稱為第一狀態(tài)(圖1(a))和第二狀態(tài)(圖1(b))。計算第一狀態(tài)的外力及其所引起的內力在第二狀態(tài)的相應位移和變形上所