7．函數(shù)的奇偶性黃文輝學(xué)習(xí)目標(biāo)1．了解奇偶性的定義．2．會(huì)判斷函數(shù)的奇偶性，能證明一些簡(jiǎn)單函數(shù)（包括分段函數(shù)）的奇偶性．3．通過函數(shù)的圖象了解函數(shù)的奇偶性．4．能利用函數(shù)的奇偶性研究其單調(diào)性、求函數(shù)解析式等問題．一、夯實(shí)基礎(chǔ)基礎(chǔ)梳理1．偶函數(shù)和奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)定義如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)__________一個(gè)，都有：__________，函數(shù)叫做偶函數(shù)__________，函數(shù)叫做奇函數(shù)圖象特征圖象關(guān)于__________對(duì)稱．圖象關(guān)于__________對(duì)稱．2．題型設(shè)計(jì)（1）函數(shù)奇偶性的判斷；（2）奇偶函數(shù)的圖象問題；（3）函數(shù)奇偶性的應(yīng)用；（4）利用函數(shù)奇偶性求參數(shù)．基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）；（2）；（3）；（4）．2．設(shè)為奇函數(shù)，且在上為減函數(shù)，則的圖象關(guān)于（）．A．軸對(duì)稱，且在上為增函數(shù)B．原點(diǎn)對(duì)稱，且在上為增函數(shù)C．軸對(duì)稱，且在上為減函數(shù)D．原點(diǎn)對(duì)稱，且在上為減函數(shù)3．若函數(shù)是奇函數(shù)，則__________．4．解決下列問題：（1）二次函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)__________．（2）一次函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)__________．（3）設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)__________．5．已知，且，則__________．二、學(xué)習(xí)指引自主探究1．請(qǐng)閱讀課本，談?wù)勀阍诶斫夂瘮?shù)奇偶性概念方面有哪些心得體會(huì)？偶函數(shù)奇函數(shù)表達(dá)式定義域圖象單調(diào)性…2．對(duì)于定義在上的函數(shù)，判斷下列說法是否正確：（1）若是偶函數(shù)，則；（2）若，則是偶函數(shù)；（3）若，則不是偶函數(shù)；（4）若，則不是奇函數(shù)；（5）因?yàn)榕c的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以與互為偶函數(shù)．3．都是定義在上的函數(shù)．根據(jù)下列條件，研究函數(shù)的奇偶性：（1）都是奇函數(shù)，；（2）是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且都不恒為0，；（3）是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，．4．已知定義在上的函數(shù)在上是增函數(shù)，請(qǐng)從圖象和代數(shù)推理兩個(gè)方面思考在下列情況下在上的單調(diào)性；（1）是奇函數(shù)；（2）是偶函數(shù)．5．動(dòng)手實(shí)驗(yàn)：研究函數(shù)與=（其中是常數(shù)），這類函數(shù)可能具有奇偶性嗎？如果可能，請(qǐng)舉出實(shí)例．案例分析1．判斷下列函數(shù)的奇偶性；（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】（1）偶函數(shù)；（2）奇函數(shù)；（3）因?yàn)槎x域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)為非奇非偶．（4）因?yàn)樗院瘮?shù)不是偶函數(shù)，又，所以函數(shù)不是奇函數(shù)，故函數(shù)是非奇非偶函數(shù)．說明：判斷函數(shù)奇偶性．不僅要注意分析函數(shù)解析式，也要注意分析函數(shù)定義域．2．判斷函數(shù)的奇偶性．【解析】函數(shù)定義域?yàn)椋海疂M足．為奇函數(shù)．說明：判斷復(fù)雜函數(shù)奇偶性時(shí)，應(yīng)先考慮函數(shù)的定義域，然后在定義域內(nèi)，對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行變形化簡(jiǎn)，最后再來●●關(guān)系，本題就是一個(gè)成功的案例，應(yīng)注意學(xué)習(xí)與體會(huì)．3．若函數(shù)為定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，且，則下列各式一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】A．【解析】為偶函數(shù)．，．4．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，求解析式．【解析】當(dāng)時(shí)，則，，又，5．定義在上的偶函數(shù)在上是減函數(shù)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，又函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以當(dāng)且僅當(dāng)所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．三、能力提升能力闖關(guān)1．函數(shù)是上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．或2．利用偶函數(shù)的定義證明：是偶函數(shù)．3．已知是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)，且，試判斷在上的單調(diào)性并證明．拓展遷移4．若是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，求當(dāng)時(shí)，的解析式．5．若函數(shù)試問為何值時(shí)，函數(shù)是奇函數(shù)，并證明你的結(jié)論．挑戰(zhàn)極限6．設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，都有．（1）若，且，試比較與的大??；（2）解不等式．課程小結(jié)1．奇偶性是函數(shù)的整體體質(zhì)，只有對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)，都有或，才能判定函數(shù)具有奇偶性．2．如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的某一個(gè)且，那么函數(shù)即不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，稱為非奇非偶函數(shù)．3．一次函數(shù)是奇函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)圖象過原點(diǎn)，即一次函數(shù)是正比例函數(shù)；二次函數(shù)是偶函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)圖象對(duì)稱軸為軸．4．如果函數(shù)有奇偶性，則我們可以利用函數(shù)在某區(qū)間上的圖象或單調(diào)性研究函數(shù)在相對(duì)應(yīng)的關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的圖象或單調(diào)性．5．兩個(gè)具有相同定義域的偶函數(shù)的和、差、積、高（分母不為零）仍為偶函數(shù)；兩個(gè)具有相同定義域的奇函數(shù)的和、差仍是奇函數(shù)；積、商為偶函數(shù)；一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積、商為奇函數(shù)；不恒為零的奇函數(shù)與不恒為零的偶函數(shù)的和、差一定是非奇非偶函數(shù)．想一想具有奇偶性的函數(shù)的定義域有什么特點(diǎn)？

7．函數(shù)的奇偶性基礎(chǔ)梳理1．任意，軸，原點(diǎn)．基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．（1）奇函數(shù)；（2）偶函數(shù)；（3）非奇非偶函數(shù)；（4）非奇非偶函數(shù)．【解析】（3）因?yàn)槎x域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；（4）因?yàn)槎x域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)．2．．3．【解析】根據(jù)奇函數(shù)的定義域要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱有即．4．（1）；（2）；（3）．【解析】（1）二次函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，即．（2）一次函數(shù)為奇函數(shù)．（3）解法一：∵是奇函數(shù)，∴，此時(shí)，滿足，故即為所求．解法二：，∵是奇函數(shù)，∴．5．．【解析】，∴．自主探究【解析】通過細(xì)致分析奇偶函數(shù)定義，我們可以得出下列幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)：偶函數(shù)奇函數(shù)表達(dá)式或或定義域奇偶函數(shù)定義域是對(duì)稱數(shù)集，即關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，就是說如果函數(shù)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)不可能是奇函數(shù)，也不可能是偶函數(shù)．圖象函數(shù)為偶函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)其圖象關(guān)于軸對(duì)稱函數(shù)為奇函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱單調(diào)性偶函數(shù)在和有相反的單調(diào)性奇函數(shù)在和有相同的單調(diào)性2．【解析】（1）（3）正確．3．【解析】（1）一定是奇函數(shù)，證明如下：∵都是定義在上的奇函數(shù)．∴，∴是奇函數(shù)．（2）一定是非奇非偶函數(shù)，證明如下：（用反證法）∵是奇函數(shù)，為偶函數(shù)．∴．若為奇函數(shù)，則，于是，即．與已知矛盾！若為偶函數(shù)，則．于是，即．與已知矛盾！（3）一定是奇函數(shù)，證明如下：∵，∴是定義在上奇函數(shù)4．【解析】（1）由奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱知識(shí)，容易看出在上也是增函數(shù)．下面證明這個(gè)結(jié)論．設(shè)，則，∵在上是增函數(shù)，∴．∵是奇函數(shù)，∴，，∴，，∴在上也是增函數(shù)．（2）由偶函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱知識(shí)，容易看出在上也是減函數(shù)．下面證明這個(gè)結(jié)論．設(shè)，則．∵在上是增函數(shù)，∴，∵是偶函數(shù)，∴，，∴，∴在上是減函數(shù)．5．動(dòng)手實(shí)驗(yàn)：【解析】是偶函數(shù)，是奇函數(shù)．想一想關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．能力闖關(guān)1．．【解析】根據(jù)偶函數(shù)的增減性法則可得，得．2．【解析】的定義域?yàn)?，它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．當(dāng)時(shí)，，且，，∴．當(dāng)時(shí)，，且，，∴．綜上所述，是偶函數(shù)，說明：本題是證明分段函數(shù)的奇偶性，要分別從或來證明，即證對(duì)于定義域內(nèi)任意有成立．3．【解析】在上是減函數(shù)．證明：對(duì)任意，則，由已知是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)得：，所以，即．由已知，．∴，所以在上是減函數(shù)．說明：去掉“”，結(jié)論還成立呢？將條件“”改為“”，結(jié)論有變化嗎？拓展遷移4．【解析】時(shí)，，又是定義在上的偶函數(shù)．∴．5．【解析】假設(shè)是奇函數(shù)，則，所以，解得．下證為奇函數(shù)．證明