第十二章機(jī)械振動(dòng)第十三章機(jī)械波電磁振蕩和電磁波第十四章波動(dòng)光學(xué)第四篇振動(dòng)和波動(dòng)§12—1簡諧振動(dòng)簡諧振動(dòng)的振幅、周期、頻率和相位§12—2簡諧振動(dòng)的能量§12—4同方向的簡諧振動(dòng)的合成第十二章機(jī)械振動(dòng)1、確切理解簡諧振動(dòng)特征量的物理意義，能熟練地確定振動(dòng)系統(tǒng)的特征量，從而建立簡諧振動(dòng)方程；2、掌握描述簡諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量法和圖線表示法；3、掌握簡諧振動(dòng)的特征和規(guī)律；4、掌握同方向、同頻率簡諧振動(dòng)的合成的特點(diǎn)和規(guī)律，了解拍和互相垂直簡諧振動(dòng)的合成的特點(diǎn)；教學(xué)要求物體在一定位置附近來回往復(fù)的運(yùn)動(dòng)稱為機(jī)械振動(dòng)。如鐘表里的擺輪、汽缸中的活塞、樂器的弦等。廣義地說：任何一個(gè)物理量只要它在某一定值附近作反復(fù)的周期性變化，都可以稱為振動(dòng)（稱為廣義振動(dòng)）（如交流電的電壓、電流等）最基本、最簡單的振動(dòng)是簡諧振動(dòng)。由數(shù)學(xué)中的傅立葉級(jí)數(shù)展開可知：一切復(fù)雜的振動(dòng)都可看作是一系列簡諧振動(dòng)的合成?！?5—1簡諧振動(dòng)一、簡諧振動(dòng)：

（a）彈簧振子（k+m)：理想模型——輕彈簧、振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)、無摩擦力、受恢復(fù)力、直線運(yùn)動(dòng)(注意坐標(biāo)原點(diǎn)選擇在平衡位置)平衡位置xo彈簧振子的振動(dòng)（b）平衡位置：合力為零的位置。-A

0

A

x彈簧振子的振動(dòng)：

0x

0x

0x

0x

GN-A0AX彈簧振子的振動(dòng)（演示）平衡位置：合力為零。即G+N=0（G=N）GNF-A0AX彈簧振子的振動(dòng)NGF-A0AX彈簧振子的振動(dòng)GNF-A0AX彈簧振子的振動(dòng)NGF-A0AX彈簧振子的振動(dòng)GNF-A0AX彈簧振子的振動(dòng)NGF-A0AX彈簧振子的振動(dòng)GN-A0AX平衡位置：合力為零。即G+N=0（G=N）彈簧振子的振動(dòng)（C）簡諧振動(dòng)：（1）定義：對彈簧振子，如果位移較小，在無阻尼情況下，在平衡位置附近作來回往復(fù)的直線運(yùn)動(dòng)，這種周期性運(yùn)動(dòng)成為簡諧振動(dòng)。（2）運(yùn)動(dòng)方程：-A

0

A

xx任意位置坐標(biāo)x就為物體相對平衡位置的位移，由胡克定律：回（恢）復(fù)力：始終指向平衡位置，大小與位移成正比。由牛頓第二定律：

負(fù)號(hào)表示力的方向和位移的方向相反，始終指向平衡位置。說明作簡諧振動(dòng)的物體的加速度與位移成正比且方向相反。令

則而加速度：（簡諧振動(dòng)的特征方程）特征方程的解為:（簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程）、為積分常數(shù)，由初始條件決定。若令則上式變?yōu)楹喼C振動(dòng)的三個(gè)特征（三種定義）：（1）振動(dòng)物體所受合力恒與位移成正比且反向。

凡是滿足以上三個(gè)特征之一的振動(dòng)都是簡諧振動(dòng)。（3）振動(dòng)物體的位移是時(shí)間的余（正）弦函數(shù)。（2）振動(dòng)物體的加速度恒與位移成正比且反向。二、簡諧振動(dòng)的速度和加速度：簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程本章采用余弦形式，即：三、描述簡諧振動(dòng)的物理量及物理意義（三個(gè)特征量）(a)振幅：物體離開平衡位置最大位移的絕對值。

描述簡諧振動(dòng)的強(qiáng)度。(b)周期、頻率、角頻率（、、）：描述振動(dòng)的快慢。(1)周期：作一次完全振動(dòng)的時(shí)間。(2)頻率：單位時(shí)間內(nèi)作完全振動(dòng)的次數(shù)。特例：彈簧振子周期、頻率由彈簧的倨強(qiáng)系數(shù)和振動(dòng)物體的質(zhì)量確定，是由振動(dòng)系統(tǒng)本身決定的，稱為系統(tǒng)的固有周期和固有頻率。（c）相位：簡諧振動(dòng)時(shí)刻的相位。相位是描述任意時(shí)刻物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量，通過相位可以確定任意時(shí)刻物體的位置（位移）和速度。當(dāng)時(shí)，相位為，稱為初相位。（d）振幅和初相位的確定。初始條件：（a）（b）（1）（2）由（2）式確定兩個(gè)值，再由正負(fù)，唯一確定值。例1、一物體作簡諧振動(dòng)，其速度最大值，其振幅，若時(shí)，物體位于平衡位置且向軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)。求:(1)振動(dòng)周期；(2)加速度的最大值；(3)振動(dòng)方程的數(shù)值式。已知：解：[例2]一簡諧振動(dòng)曲線如下圖，寫出其振動(dòng)（運(yùn)動(dòng)）方程。

提示：1、旋轉(zhuǎn)矢量：模長——振幅A角速度——角頻率t時(shí)刻與x軸的夾角——相位初始時(shí)與x軸的夾角——初相四、簡諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法作坐標(biāo)軸ox,自原點(diǎn)作一矢量

,規(guī)定：pMMxyOt=t，

與x軸夾角為顯然P點(diǎn)的坐標(biāo)即P點(diǎn)作簡諧振動(dòng)2、矢端在x

軸上投影的運(yùn)動(dòng)規(guī)律t=0，

與x軸夾角為即當(dāng)矢量OM以勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其端點(diǎn)M

在x軸上的投影點(diǎn)P

的運(yùn)動(dòng)是簡諧振動(dòng)。

M點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，常稱為P點(diǎn)作簡諧振動(dòng)的參考圓。顯然M點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周相當(dāng)于P

點(diǎn)作一次全振動(dòng)。pMMxyopMMxyO3、旋轉(zhuǎn)矢量下的速度和加速度：4、兩點(diǎn)說明:(1)旋轉(zhuǎn)矢量法是研究簡諧振動(dòng)的一種直觀方法；(2)不能把旋轉(zhuǎn)矢量端點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)誤認(rèn)為簡諧振動(dòng)。5、用旋轉(zhuǎn)矢量比較兩個(gè)同頻率振動(dòng)的步調(diào)：兩個(gè)振動(dòng)：它們的相位之差稱為相位差。若，就說比超前；若，就說比落后。速度比位移超前，加速度又比速度超前，加速度就比位移超前。二、簡諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法

OXPM相位參考圓

OXPM參考圓二、簡諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法相位

OXPM參考圓二、簡諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法相位

OXPM參考圓二、簡諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法相位

OXPM參考圓二、簡諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法相位

OXPM參考圓二、簡諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法相位

OXPM參考圓二、簡諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法相位

OXPM參考圓二、簡諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法相位

OXPM或參考圓二、簡諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法相位

OXPM參考圓二、簡諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法相位

OXPM參考圓二、簡諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法相位

OXPM參考圓二、簡諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法相位

OXPM參考圓二、簡諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法相位

OXPM參考圓二、簡諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法相位

OXPM參考圓二、簡諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法相位

OXPM參考圓二、簡諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法相位

OXPM或參考圓二、簡諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法相位二、簡諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法OXtAXO振動(dòng)物體的位移和時(shí)間的關(guān)系圖X—t圖M參考圓6、簡諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法圖示

O

xPM相位

O

xPM相位

O

xPM相位

O

xPM相位

O

xPM相位

O

xPM相位

O

xPM相位

O

xPM相位[例3]圖中三條曲線分別表示簡諧振動(dòng)中的位移，速度和加速度，下列說法中哪一個(gè)是正確的：（A）曲線3、1、2分別表示

、、曲線。（B）曲線2、1、3分別表示

、、曲線。（C）曲線1、3、2分別表示

、、曲線。（D）曲線2、3、1分別表示

、、曲線。（E）曲線1、2、3分別表示

、、曲線。E[例4]一個(gè)質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動(dòng)，振幅為，在起始時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位移為，且向軸的正方向運(yùn)動(dòng)，代表此簡諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖為：B[例5]一質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)速度與時(shí)間的曲線如圖所示，若質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律用余弦函數(shù)描述，則其初相位應(yīng)為：（A）。（B）。（C）。（D）。（E）。提示：選18例6、p112,12-10.如圖所示，密度計(jì)玻璃管的直徑為

，浮在密度為的液體中，若在豎直方向輕輕推動(dòng)一下，任其自由振動(dòng)。試證明：若不計(jì)液體的粘滯阻力，密度計(jì)的運(yùn)動(dòng)是簡諧振動(dòng)；設(shè)密度計(jì)的質(zhì)量為，試求振動(dòng)周期。提示：處于平衡時(shí)，浸入水中部分長度為。（1）取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，向下為

軸正向，當(dāng)密度計(jì)有向下位移時(shí)，有：（2）（1）、（2）兩式聯(lián)立：密度計(jì)的運(yùn)動(dòng)為簡諧振動(dòng)。Example、設(shè)想地球內(nèi)有一光滑隧道，如圖所示。證明質(zhì)點(diǎn)m在此隧道內(nèi)的運(yùn)動(dòng)為簡諧振動(dòng)，并求其振動(dòng)周期。oyrR證明：質(zhì)點(diǎn)m受力分析建立oy坐標(biāo)系滿足簡諧振動(dòng)微分方程，故為簡諧振動(dòng)周期：總結(jié)：簡諧振動(dòng)主要有兩類問題：1、確定、、；2、判斷簡諧振動(dòng)：。解題步驟：（1）確定系統(tǒng)，對振動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行受力分析；（2）確定平衡位置（合力為零），建立坐標(biāo)系。（3）列出牛頓第二定律方程。（4）振動(dòng)物體沿坐標(biāo)正向移動(dòng)，再列牛頓第二定律方程。（5）聯(lián)立解得微分方程，定常數(shù)。（6）用數(shù)學(xué)表達(dá)式寫出初始條件，進(jìn)而定出、，

便可得到振動(dòng)方程。例7、p113,12-18.兩彈簧的勁度系數(shù)分別為，，在光滑的將此二彈簧分別連接到質(zhì)量為的物體的兩端，彈簧的其余兩端分別固定在支柱及上，如圖所示。今使物體有一向右初位移，向右初速度。（1）試證物體作簡諧振動(dòng)；（2）求振動(dòng)方程。（設(shè)物體在振動(dòng)中，兩彈簧始終處于被拉伸狀態(tài)）光滑表面提示：（1）（2）為簡諧振動(dòng)。[例8]如圖所示，一質(zhì)量為滑塊，兩邊分別與倔強(qiáng)系數(shù)為和的輕彈簧連接，兩彈簧的兩端分別固定在墻上?；瑝K可在光滑的水平面上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)為系統(tǒng)平衡位置。將滑塊向左移動(dòng)到，自靜止釋放，并從釋放時(shí)開始計(jì)時(shí)，取坐標(biāo)如圖所示，則其振動(dòng)方程為：C[例9]兩倔強(qiáng)系數(shù)分別為和的彈簧串聯(lián)在一起，下面掛著質(zhì)量為的物體，構(gòu)成一個(gè)豎掛的彈簧諧振子，則該系統(tǒng)的振動(dòng)周期為：故選（C）[例10]作簡諧振動(dòng)的小球，速度最大值，振幅。若以速度為負(fù)方向最大為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，（1）定出初相位。畫出小球在時(shí)的旋轉(zhuǎn)矢量。（2）寫出小球的振動(dòng)方程。已知：提示：[例11]在一輕彈簧下端懸掛的砝碼時(shí)，彈簧伸長，現(xiàn)在這根彈簧下端懸掛的物體，構(gòu)成彈簧振子。將物體從平衡位置向下拉動(dòng)，并給以向上的的初速度（這時(shí)），選軸向下，求振動(dòng)方程的數(shù)值式。已知：提示：五、常見的簡諧振動(dòng)（1）豎直懸掛的彈簧振子選平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)平衡時(shí):位移x時(shí):受恢復(fù)力作用，所以物體仍做簡諧振動(dòng)OxOxx+llx（2）單擺當(dāng)重力形成的力矩：根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律表明：單擺的運(yùn)動(dòng)也是簡諧振動(dòng)Ammg0例12、有一輕彈簧水平放置，當(dāng)它受力為F=1g

時(shí)伸長量為x=4.9cm。用此彈簧和一個(gè)M=8g的小球構(gòu)成彈簧振子，將小球由平衡位置向右拉開x0=1cm

后，給以向左的初速度v0=5cm/s。求小球的振動(dòng)周期和振動(dòng)方程。解：因?yàn)樾∏蚴芰镕=-

kx

所以小球作簡諧振動(dòng)（1）求k：（2）求：o

xv0x0o

x（3）求T：（4）求A、：（5）小球的運(yùn)動(dòng)方程為：

O

xPM例13、一輕彈簧下端掛一砝碼，質(zhì)量M=0.1kg。砝碼靜止時(shí)，彈簧伸長l=0.05m。如果把砝碼再鉛直下拉一段距離：x=0.02m，放手讓其振動(dòng)。求振動(dòng)方程。lxMgMgxOF=k（l+x）F=kl已知：提示:砝碼的振動(dòng)方程為：另外：如果取坐標(biāo)向上為正，則有此時(shí)砝碼的振動(dòng)方程為：

如果拉下砝碼后，給一個(gè)向上的速度v0=0.28m/s此時(shí)有：t=0時(shí)x0=0.02mv0=-0.28m/s則：此時(shí)砝碼的振動(dòng)方程為：

O

xPM一般，對振動(dòng)表達(dá)式的求解方法有兩種：（1）解析法：由初始條件，代入相應(yīng)表達(dá)式聯(lián)立求解。如：兩個(gè)值唯一確定值。（2）曲線法：已知x—t

曲線求如：已知某質(zhì)點(diǎn)作簡諧運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)曲線如圖，試根據(jù)圖中數(shù)據(jù)寫出振動(dòng)表達(dá)式。設(shè)運(yùn)動(dòng)表達(dá)式為由圖可見，A=2

m，當(dāng)t=0時(shí)有：dx/dt

>0當(dāng)t=1時(shí)有：dx/dt

<0O2-2x(m)t(s)1設(shè)在某一時(shí)刻,振子速度為v

，位移為x,

則系統(tǒng)的動(dòng)能、勢能分別為：系統(tǒng)的總能量：簡諧振動(dòng)的總能量與振幅的平方成正比，并保持恒定。以彈簧振子為例，作簡諧振動(dòng)的系統(tǒng)有動(dòng)能也有勢能。§12-2簡諧振動(dòng)的能量簡諧振動(dòng)的動(dòng)能、勢能均隨時(shí)間變化，且頻率是對應(yīng)簡諧振動(dòng)頻率的兩倍。簡諧振動(dòng)能量與位移之間的關(guān)系曲線：

BOC

是勢能隨x

變化的拋物線：直線BC

表示總能量E：

簡諧振動(dòng)的總能量和振幅的平方成正比這一結(jié)論，對任何作簡諧振動(dòng)的系統(tǒng)都是正確的。動(dòng)能平均值等于勢能的平均值，并為總能量的一半：x(1/2)kA2tTEEpEko[例14]一物體質(zhì)量為，在彈性力作用下作簡諧振動(dòng)，彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)，如果起始振動(dòng)時(shí)具有勢能和動(dòng)能，求：（1）振幅；（2）動(dòng)能恰等于勢能時(shí)的位移大??；（3）經(jīng)過平衡位置時(shí)物體的速度。已知：求：提示：對彈簧振子，只有彈力做功，彈力是保守內(nèi)力，無外力做功，振幅保持不變。若有外力阻力做功，系統(tǒng)的能量逐漸減少，振幅也逐漸減小，最后停止。振幅隨時(shí)間減小的振動(dòng)稱為阻尼振動(dòng)。[例15]如圖，有一水平彈簧振子，彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)，重物的質(zhì)量，重物靜止在平衡位置上。設(shè)以一水平恒力向左作用于物體（不計(jì)摩擦），使之由平衡位置向左運(yùn)動(dòng)了，此時(shí)撤去力。當(dāng)重物運(yùn)動(dòng)到左方最遠(yuǎn)位置時(shí)開始計(jì)時(shí)，求物體的運(yùn)動(dòng)方程。已知：略。提示：[例16]一彈簧振子沿軸作簡諧振動(dòng)。已知振動(dòng)物體最大位移為，最大回復(fù)力為，最大速度為，又知時(shí)的初位移為，且初速度與所選軸方向相反。（1）求振動(dòng)能量；（2）求此振動(dòng)的表達(dá)式。已知：提示：[例17]一彈簧系一重物構(gòu)成彈簧振子，振動(dòng)的總能量為，現(xiàn)把兩根同樣的彈簧并聯(lián)在一起，且使諧振動(dòng)振幅增加為原來的2倍。求此時(shí)總能量與原來總能量之比。提示：并聯(lián)后：§12-4兩個(gè)同方向、同頻率的簡諧振動(dòng)的合成

同方向：兩個(gè)簡諧振動(dòng)振動(dòng)方向相同。

同頻率：兩個(gè)簡諧振動(dòng)的圓頻率相同。兩個(gè)簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程分別為：、表示在同一直線上距同一平衡位置的位移。合振動(dòng)仍在同一直線上，且等于兩個(gè)分振動(dòng)的代數(shù)和。仍為同方向、同頻率的簡諧振動(dòng)。一、合成：（a）解析法：（b）旋轉(zhuǎn)矢量法：初相位：旋轉(zhuǎn)矢量法以矢量末端在

軸上的投影點(diǎn)的軌跡表示簡諧振動(dòng)。由圖可見x=x1+x2兩式相比得：合振動(dòng)的振幅和初相位分別為：可見：合振幅不僅與兩分振動(dòng)的振幅有關(guān)，而且還與二者的相位差有關(guān)。（C）特例：（1）相位相同時(shí)：當(dāng)相位差（

）時(shí)，這時(shí)有于是：相位差為的偶數(shù)倍時(shí)，合振動(dòng)的振幅為兩個(gè)分振動(dòng)振幅之和，振動(dòng)加強(qiáng)，稱兩個(gè)振動(dòng)同相位或步調(diào)一致。（2）相位相反：當(dāng)相位差這時(shí)有于是（

）時(shí)，相位差為的奇數(shù)倍時(shí)，合振動(dòng)的振幅為兩個(gè)分振動(dòng)振幅之差的絕對值，振動(dòng)減弱（相消）的，稱兩個(gè)振動(dòng)反相或相位相反。二、多個(gè)同方向同頻率簡諧振動(dòng)的合成：多個(gè)同方向同頻率簡諧振動(dòng)、、、……的合成，用旋轉(zhuǎn)矢量法：由矢量的三角形法則，依次兩兩合成。[例14]圖中所示為兩個(gè)簡諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線。若以余弦函數(shù)表示這兩個(gè)振動(dòng)的合成結(jié)果，則合振動(dòng)的方程為已知：[例15]兩個(gè)同方向同頻率的簡諧振動(dòng)，其合振動(dòng)的振幅為，與第一個(gè)簡諧振動(dòng)的相位差為，若第一個(gè)簡諧振動(dòng)的振幅為，則第二個(gè)簡諧振動(dòng)的振幅為多少？第一、二兩個(gè)簡諧振動(dòng)的相位差為多少？已知：提示：作旋轉(zhuǎn)矢量圖。例.一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與了三個(gè)簡諧振動(dòng)，它們的振動(dòng)方程分別為：試計(jì)算其合振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程。解：設(shè)x12=x1+x2=A12cos(ωt+φ12)所以，其合振動(dòng)為：x=0再設(shè)x

=x1+x2+x3=x

12+x3=Acos(ωt+φ)本章小結(jié)簡諧振動(dòng)：物體在平衡位置附近作來回往復(fù)的周期

性運(yùn)動(dòng)。平衡位置：物體所受合外力為零的位置。簡諧振動(dòng)的特征：（1）物體所受合外力與位移成正比，方向相反。（2）加速度與位移成正比，方向相反。運(yùn)動(dòng)方程為：旋轉(zhuǎn)矢量表示法：兩類為題：判斷簡諧振動(dòng)、確定、、。簡諧振動(dòng)能量：動(dòng)能勢能相互轉(zhuǎn)化，機(jī)械能守恒。兩個(gè)同方向同頻率簡諧振動(dòng)的合成（旋轉(zhuǎn)矢量法）例1、一簡諧振動(dòng)曲線如圖所示。則振動(dòng)周期是（A）2.62s（B）2.40s（C）0.42s（D）0.382sB解：當(dāng)t=0時(shí)x=2有因?yàn)関

向x

軸正向，所以當(dāng)t=1時(shí)x=0有即

t1x420例2、一質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動(dòng)，周期為T，它由二分之一最大位移處（向x軸正方向運(yùn)動(dòng)），運(yùn)動(dòng)到最大位移處所需要的時(shí)間為：[]（A）T/4（B）T/12（C）T/6（D）T/8C例3、有兩相同的彈簧，其倔強(qiáng)系數(shù)均為k。求：（1）把它們串聯(lián)起來，下面掛一個(gè)質(zhì)量為m

的重物，此系統(tǒng)作簡諧振動(dòng)的周期。（2）把它們并聯(lián)起來，下面掛一個(gè)質(zhì)量為m的重物，此系統(tǒng)作簡諧振動(dòng)的周期。xx解：求等效倔強(qiáng)系數(shù)串聯(lián)：并聯(lián)：求：（1）此簡諧振動(dòng)的周期T。（2）當(dāng)t=0.6s時(shí)，物體的速度v。