第二節(jié)傳遞函數(shù)主要內容：1.傳遞函數(shù)的定義；2.求法：i）利用微分方程描述，由拉氏變換得到；ii）復數(shù)阻抗法；3.典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。2/4/20231傳遞函數(shù)的基本概念一、傳遞函數(shù)的基本概念復習拉氏變換一個函數(shù)可以進行拉普拉斯變換的充分條件是：1.t<0時，f(t)=0(因果系統(tǒng)）；2.t>=0時，f(t)分段連續(xù)；3.2/4/20232控制系統(tǒng)的微分方程輸入輸出LRCi[例2-1]：RLC串聯(lián)電路列出微分方程為：兩邊取拉普拉斯變換：2/4/20233傳遞函數(shù)的定義：系統(tǒng)初始條件為零時，輸出變量的拉普拉斯變換與輸入變量的拉普拉斯變換之比，稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。記做：U(s)Y(s)G(s)2/4/20234

傳遞函數(shù)是經典控制理論中最重要的數(shù)學模型之一。利用傳遞函數(shù)，可以：不必求解微分方程就可以研究零初始條件系統(tǒng)在輸入作用下的動態(tài)過程。了解系統(tǒng)參數(shù)或結構變化時系統(tǒng)動態(tài)過程的影響--分析可以對系統(tǒng)性能的要求轉化為對傳遞函數(shù)的要求---綜合傳遞函數(shù)的基本概念2/4/20235為常系數(shù)設系統(tǒng)或元件的微分方程為：將上式求拉氏變化，得(令初始值為零）稱為環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)一般的：2/4/20236傳遞函數(shù)的基本概念例１[解]已知電樞控制式直流電動機的微分方程為：方程兩邊求拉氏變換為：令，得轉速對電樞電壓的傳遞函數(shù)：令，得轉速對負載力矩的傳遞函數(shù)：最后利用疊加原理得轉速表示為：[例1]求電樞控制式直流電動機的傳遞函數(shù)。2/4/20237傳遞函數(shù)的基本概念例2[例2]求下圖的傳遞函數(shù)：2/4/20238⑴線性性質：⑵微分定理：⑶積分定理：（設初值為零）⑷時滯定理：⑸初值定理：復習拉氏變換②性質：2/4/20239⑹終值定理：⑺卷積定理：③常用函數(shù)的拉氏變換：單位階躍函數(shù)：單位脈沖函數(shù)：單位斜坡函數(shù)：單位拋物線函數(shù)：正弦函數(shù)：其他函數(shù)可以查閱相關表格獲得。復習拉氏變換2/4/202310用復數(shù)阻抗法求電網絡的傳遞函數(shù)復數(shù)阻抗：電氣元件兩端的電壓相量與流過元件的電流相量之比，稱為該元件的復數(shù)阻抗。（1）電阻的復數(shù)阻抗推導：假設電流為：相量形式：則電壓是；則相應的復數(shù)阻抗為2/4/202311（2）電感負載的復數(shù)阻抗電流：，電壓：

復數(shù)阻抗為：2/4/202312補充：復數(shù)的幾種表示形式1.代數(shù)形式：2.三角形式：歐拉公式：從而有3.指數(shù)形式：4.極坐標形式：2/4/202313傳遞函數(shù)的基本概念例2[例2]求下圖的傳遞函數(shù)(復數(shù)阻抗法)：2/4/202314三、關于傳遞函數(shù)的幾點說明傳遞函數(shù)的基本概念傳遞函數(shù)的概念適用于線性定常系統(tǒng).傳遞函數(shù)中各項系數(shù)的值完全取決于系統(tǒng)的結構和參數(shù),并且與微分方程中各導數(shù)項的系數(shù)一一對應,是一種動態(tài)數(shù)學模型。傳遞函數(shù)僅與系統(tǒng)的結構和參數(shù)有關，與系統(tǒng)的輸入無關。只反映了輸入和輸出之間的關系，不反映中間變量的關系。傳遞函數(shù)是s的有理分式.對實際系統(tǒng)而言,分母的階次n大于或等于分子的階次m,此時稱為n階系統(tǒng)。2/4/202315傳遞函數(shù)的概念主要適用于單輸入單輸出系統(tǒng)。若系統(tǒng)有多個輸入信號，在求傳遞函數(shù)時，除了一個有關的輸入外，其它的輸入量一概視為零。傳遞函數(shù)忽略了初始條件的影響。2/4/202316傳遞函數(shù)的表現(xiàn)形式表示為有理分式形式：式中：—為實常數(shù)，一般n≥m上式稱為n階傳遞函數(shù)，相應的系統(tǒng)為n階系統(tǒng)。表示成零點、極點形式：式中：稱為傳遞函數(shù)的零點，稱為傳遞函數(shù)的極點。—傳遞系數(shù)或根軌跡增益[傳遞函數(shù)的幾種表達形式]：2/4/202317傳遞函數(shù)的表現(xiàn)形式寫成時間常數(shù)形式：分別稱為時間常數(shù)，K稱為放大系數(shù)顯然：，若零點或極點為共軛復數(shù)，則一般用2階項來表示。若為共軛復極點，則：或其系數(shù)由或求得；2/4/202318若有零值極點，則傳遞函數(shù)的通式可以寫成：傳遞函數(shù)的表現(xiàn)形式從上式可以看出：傳遞函數(shù)是一些基本因子的乘積。這些基本因子就是典型環(huán)節(jié)所對應的傳遞函數(shù)，是一些最簡單、最基本的一些形式。式中：或：2/4/202319比例環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)有比例、積分、慣性、振蕩、微分和延遲環(huán)節(jié)等多種。以下分別討論典型環(huán)節(jié)的時域特征和復域（s域）特征。時域特征包括微分方程和單位階躍輸入下的輸出響應。s域特性研究系統(tǒng)的零極點分布。比例環(huán)節(jié)又稱為放大環(huán)節(jié)。k為放大系數(shù)。實例：分壓器，放大器，無間隙無變形齒輪傳動等。（一）比例環(huán)節(jié)：時域方程：傳遞函數(shù)：四、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)

2/4/202320積分環(huán)節(jié)有一個0值極點。在圖中極點用“”表示，零點用“”表示。K表示比例系數(shù)，T稱為時間常數(shù)。時域方程：傳遞函數(shù)：0S平面j0（二）積分環(huán)節(jié)：

2/4/202321積分環(huán)節(jié)實例積分環(huán)節(jié)實例：①RC圖中，為轉角，為角速度?？梢?，為比例環(huán)節(jié)， 為積分環(huán)節(jié)。②電動機（忽略慣性和摩擦）齒輪組2/4/202322時域方程：傳遞函數(shù)：當輸入為單位階躍函數(shù)時,有，可解得： ，式中：k為放大系數(shù)，T為時間常數(shù)。當k=1時，輸入為單位階躍函數(shù)時,時域響應曲線和零極點分布圖如下：通過原點的斜率為1/T，且只有一個極點（-1/T）。1yt00.632T通過原點切線斜率為1/TjRe0S平面慣性環(huán)節(jié)（三）慣性環(huán)節(jié)2/4/202323求單位階躍輸入的輸出響應：可見，y(t)是非周期單調升的，所以慣性環(huán)節(jié)又叫作非周期環(huán)節(jié)。慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應2/4/202324①R2C-+R1而R②C兩個實例：慣性環(huán)節(jié)實例2/4/202325振蕩環(huán)節(jié)時域方程：傳遞函數(shù)：上述傳遞函數(shù)有兩種情況：當時，可分為兩個慣性環(huán)節(jié)相乘。即：傳遞函數(shù)有兩個實數(shù)極點：（四）振蕩環(huán)節(jié)2/4/202326振蕩環(huán)節(jié)分析y(t)t0單位階躍響應曲線極點分布圖[分析]：y(t)的上升過程是振幅按指數(shù)曲線衰減的的正弦運動。與有關。反映系統(tǒng)的阻尼程度，稱為阻尼系數(shù)，稱為無阻尼振蕩圓頻率。當時，曲線單調升，無振蕩。當時，曲線衰減振蕩。越小，振蕩越厲害。若，傳遞函數(shù)有一對共軛復數(shù)。還可以寫成：設輸入為：則2/4/202327解：當時，有一對共軛復數(shù)極點。所以：解得：[例]：求質量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的和。（見例2-2，p20）振蕩環(huán)節(jié)例子2/4/202328微分環(huán)節(jié)（五）微分環(huán)節(jié)：微分環(huán)節(jié)的時域形式有三種形式：①②③相應的傳遞函數(shù)為：①②③分別稱為：純微分，一階微分和二階微分環(huán)節(jié)。微分環(huán)節(jié)沒有極點，只有零點。分別是零、實數(shù)和一對共軛零點（若）。在實際系統(tǒng)中，由于存在慣性，單純的微分環(huán)節(jié)是不存在的，一般都是微分環(huán)節(jié)加慣性環(huán)節(jié)。2/4/202329式中：y(t)x(t)R1R2C[實例]微分環(huán)節(jié)實例2/4/202330延遲環(huán)節(jié)（六）延遲環(huán)節(jié)：又稱時滯，時延環(huán)節(jié)。它的輸出是經過一個延遲時間后，完全復現(xiàn)輸入信號。如右圖所示。其傳遞函數(shù)為：延遲環(huán)節(jié)是一個非線性的超越函數(shù)，所以有延遲的系統(tǒng)是很難分析和控制的。為簡單起見，化簡如下：或x(t)ty(t)t2/4/202331（七）其他環(huán)節(jié)：還有一些環(huán)節(jié)如