第七章假設(shè)檢驗(yàn)

假設(shè)檢驗(yàn)的基本問題

一個(gè)總體參數(shù)的檢驗(yàn)

二個(gè)總體參數(shù)的檢驗(yàn)第一節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)的基本問題一、假設(shè)檢驗(yàn)的陳述

由統(tǒng)計(jì)資料得知，2007年某地新生兒的平均體重為3190克，現(xiàn)從2008年的新生兒中隨機(jī)抽取100個(gè)，測(cè)得其平均體重為3210克，問2008年的新生兒與2007年相比，體重有無顯著差異。用統(tǒng)計(jì)的語言來說，“假設(shè)”就是對(duì)總體參數(shù)的具體數(shù)值所作的陳述。在假設(shè)檢驗(yàn)中，首先需要提出兩種假設(shè)，即原假設(shè)和備擇假設(shè)。原假設(shè)，通常是研究者想收集證據(jù)予以反對(duì)的假設(shè)，由于原假設(shè)（H）用0修飾，所以也稱為零假設(shè)。備擇假設(shè)，通常是研究者想收集證據(jù)予以支持的假設(shè)，也稱為研究假設(shè)、替換假設(shè)，用H1或Ha表示。備擇假設(shè)通常是用于支持你自己的看法。假設(shè)的形式：H0——原假設(shè)，H1——備擇假設(shè)雙尾/側(cè)檢驗(yàn)：H0：μ=μ0

，H1：μ≠μ0單尾/側(cè)檢驗(yàn)：左側(cè)檢驗(yàn)：H0：μ≥μ0

，H1：μ＜μ0

右側(cè)檢驗(yàn)：H0：μ≤μ0

，H1：μ＞μ0幾點(diǎn)說明：第一，原假設(shè)和備擇假設(shè)是一個(gè)完備事件組，而且相互對(duì)立。第二，在建立假設(shè)時(shí)，通常是先確定備擇假設(shè)，然后再確定原假設(shè)。第三，在假設(shè)檢驗(yàn)中，等號(hào)“＝”總是放在原假設(shè)上。第四，在面對(duì)某一實(shí)際問題時(shí)，原假設(shè)和備擇假設(shè)可能是截然相反的。第五，假設(shè)檢驗(yàn)的目的主要是收集證據(jù)來拒絕原假設(shè)。二、假設(shè)檢驗(yàn)規(guī)則與兩類錯(cuò)誤

1、確定檢驗(yàn)規(guī)則差異臨界點(diǎn)判斷C拒絕H0C不拒絕H02、兩類錯(cuò)誤

I類錯(cuò)誤——棄真錯(cuò)誤，發(fā)生的概率為α。

II類錯(cuò)誤——取偽錯(cuò)誤，發(fā)生的概率為β。檢驗(yàn)決策H0為真H0非真拒絕H0犯I類錯(cuò)誤（α）正確不拒絕H0正確犯II類錯(cuò)誤（β）（a）（b）拒絕域假設(shè)檢驗(yàn)中犯兩類錯(cuò)誤的情況第一類錯(cuò)誤：H0本身成立，但通過檢驗(yàn)卻否定了它，犯了“棄真”錯(cuò)誤，也叫Ⅰ型錯(cuò)誤（typeⅠerror）、а錯(cuò)誤。Ⅰ型錯(cuò)誤，就是把非真實(shí)差異錯(cuò)判為真實(shí)差異，即H0：μ1=μ2為真，卻接受了HA：μ1≠μ2

。第二類錯(cuò)誤：H0本身不成立，但通過檢驗(yàn)卻接受了它，犯了“取偽”錯(cuò)誤，也叫II型錯(cuò)誤（typeIIerror）、β錯(cuò)誤。II型錯(cuò)誤，真實(shí)差異錯(cuò)判為非真實(shí)差異，即HA：μ1≠μ2為真，卻未能否定H0：μ1=μ2。

統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)是基于“小概率事件實(shí)際不可能性原理”來否定H0

，但在一次試驗(yàn)中小概率事件并不是絕對(duì)不會(huì)發(fā)生的。如果我們抽得一個(gè)樣本，它雖然來自與H0對(duì)應(yīng)的抽樣總體，但計(jì)算所得的統(tǒng)計(jì)量卻落入了否定域中，因而否定了H0，于是犯了Ⅰ型錯(cuò)誤。發(fā)生第Ⅰ類錯(cuò)誤的概率也常被用于檢驗(yàn)結(jié)論的可靠性度量，假設(shè)檢驗(yàn)中犯的第Ⅰ類錯(cuò)誤的概率被稱為顯著性水平，記為α。

Ⅱ型錯(cuò)誤概率β值的大小較難確切估計(jì)，它只有與特定的HA結(jié)合起來才有意義。一般與顯著水平α、原總體的標(biāo)準(zhǔn)差σ、樣本含量n、以及相互比較的兩樣本所屬總體平均數(shù)之差μ1-μ2等因素有關(guān)。在其它因素確定時(shí)，α值越小，β越大；反之，α值越大，β值越??；樣本含量及μ1-μ2越大、均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤σ越小，β值越小。

由于β值的大小與α值的大小有關(guān)，所以在選用檢驗(yàn)的顯著水平時(shí)應(yīng)考慮到犯Ⅰ、Ⅱ型錯(cuò)誤所產(chǎn)生后果嚴(yán)重性的大小，還應(yīng)考慮到試驗(yàn)的難易及試驗(yàn)結(jié)果的重要程度。若一個(gè)試驗(yàn)耗費(fèi)大，可靠性要求高，不允許反復(fù)，那么α值應(yīng)取小些；當(dāng)一個(gè)試驗(yàn)結(jié)論的使用事關(guān)重大，容易產(chǎn)生嚴(yán)重后果，如藥物的毒性試驗(yàn)，α值亦應(yīng)取小些。對(duì)于一些試驗(yàn)條件不易控制，試驗(yàn)誤差較大的試驗(yàn)，可將α值放寬到0.1，甚至放寬到0.25。三、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量與拒絕域根據(jù)樣本觀測(cè)結(jié)果計(jì)算得到的，并據(jù)以對(duì)原假設(shè)和備擇假設(shè)做出決策的某個(gè)樣本統(tǒng)計(jì)量，稱為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量實(shí)際上是總體參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)量，但點(diǎn)估計(jì)量并不能直接作為檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量。只有將其標(biāo)準(zhǔn)化后，才能用于度量它與原假設(shè)的參數(shù)值之間的差異程度。對(duì)點(diǎn)估計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)化的依據(jù)則是：①原假設(shè)為真；②點(diǎn)估計(jì)量的抽樣分布。實(shí)際上，假設(shè)檢驗(yàn)中所有的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量都是標(biāo)準(zhǔn)化檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，它反映了點(diǎn)估計(jì)量與假設(shè)的總體參數(shù)相比相差多少個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差。為敘述方便，通常將標(biāo)準(zhǔn)化檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量簡(jiǎn)稱為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。①設(shè)有總體：，σ2已知。②隨機(jī)抽樣：樣本均值④確定α值⑤查概率表，知臨界值⑥計(jì)算Z值，作出判斷：③標(biāo)準(zhǔn)化：，拒絕H0。若，接受H0；若建立總體假設(shè)（1）抽樣得到樣本觀察值（2）根據(jù)具體決策要求確定α（4）選擇統(tǒng)計(jì)量確定H0為真時(shí)的抽樣分布（3）（5）確定分布上的臨界點(diǎn)C和檢驗(yàn)規(guī)則（7）比較并作出檢驗(yàn)判斷（6）計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的數(shù)值【例】由統(tǒng)計(jì)資料得知，2007年某地新生兒的平均體重為3190克，標(biāo)準(zhǔn)差為80，現(xiàn)從2008年的新生兒中隨機(jī)抽取100個(gè)，測(cè)得其平均體重為3210克，問2008年的新生兒與2007年相比，體重有無顯著差異（α＝0.05）。假設(shè)檢驗(yàn)的流程如下：1.提出原假設(shè)和備擇假設(shè)：

H0：μ=3190（克），H1：μ≠3190（克）2.確定適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并計(jì)算其數(shù)值：3.確定4.做出判斷，拒絕H0

四、利用P值進(jìn)行決策如果原假設(shè)H0為真，所得到的樣本結(jié)果會(huì)像實(shí)際觀測(cè)結(jié)果那么極端或更極端的概率，稱為P值，也稱為觀察到的顯著性水平。P值與原假設(shè)的對(duì)或錯(cuò)的概率無關(guān)，它是關(guān)于數(shù)據(jù)的概率。P值告訴我們：在某個(gè)總體的許多樣本中，某一類數(shù)據(jù)出現(xiàn)的經(jīng)常程度。也就是說，P值是當(dāng)原假設(shè)正確時(shí)，得到所觀測(cè)的數(shù)據(jù)的概率。

如前例，據(jù)隨機(jī)抽樣測(cè)得2008年的樣本均值為3210克，與2007年的總體均值3190克相差20克，20克的差異究竟是大還是小。換句話說，如果原假設(shè)成立，即2008年新生兒體重的總體均值與2007年新生兒體重的總體均值相同，那么隨機(jī)抽取出n=100的樣本，其均值大于3210克的概率有多大呢？這個(gè)概率稱為P值，所以P值就是當(dāng)原假設(shè)為真時(shí)所得到的樣本觀察結(jié)果或更極端結(jié)果出現(xiàn)的概率。如果P值很小，說明這種情況發(fā)生的概率很小，而如果出現(xiàn)了，根據(jù)小概率原理，我們就有理由拒絕原假設(shè)，P值越小，我們拒絕原假設(shè)的理由就越充分。計(jì)算P值的一般表達(dá)式（1）：左側(cè)檢驗(yàn)：P值是當(dāng)時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量小于或等于根據(jù)實(shí)際觀測(cè)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得到的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量值的概率，即P值＝計(jì)算P值的一般表達(dá)式（2）：右側(cè)檢驗(yàn)：P值是當(dāng)時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量小于或等于根據(jù)實(shí)際觀測(cè)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得到的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量值的概率，即P值＝計(jì)算P值的一般表達(dá)式（3）：雙側(cè)檢驗(yàn)：P值是當(dāng)時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量小于或等于根據(jù)實(shí)際觀測(cè)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得到的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量值的概率，即P值＝在已知P值的條件下，將其與給定的顯著性水平α值進(jìn)行比較，單側(cè)檢驗(yàn)中，P值位于抽樣分布的一側(cè)，而雙側(cè)檢驗(yàn)P值位于分布的兩側(cè)，每一側(cè)的P值為1/2。如果P值＜α，拒絕原假設(shè)；如果P值＞α，不拒絕原假設(shè)。第二節(jié)一個(gè)總體均值、比例和方差

的假設(shè)檢驗(yàn)一、總體均值的檢驗(yàn)

【例】一種罐裝飲料采用自動(dòng)生產(chǎn)線生產(chǎn)，每罐的容量是255ml，標(biāo)準(zhǔn)差為5ml。為檢驗(yàn)每罐容量是否符合要求，質(zhì)檢人員在某天生產(chǎn)的飲料中隨機(jī)抽取了40罐進(jìn)行檢驗(yàn)，測(cè)得每罐平均容量為255.8ml。取顯著性水平α＝0.05，檢驗(yàn)該天生產(chǎn)的飲料容量是否符合標(biāo)準(zhǔn)要求。解：提出的原假設(shè)和備擇假設(shè)為：計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的具體數(shù)值：顯著性水平α＝0.05，得由于所以，不拒絕原假設(shè)。檢驗(yàn)結(jié)果表明：樣本提供的證據(jù)不足以推翻原假設(shè)，因此不能證明該天生產(chǎn)的飲料不符合標(biāo)準(zhǔn)要求。方法二：用P值進(jìn)行檢驗(yàn)

1.用EXCEL計(jì)算P值

2.比較P值

P＝0.312495>α＝0.05

3.作出決策由于P值＝0.312495遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于α＝0.05，所以不拒絕原假設(shè)，得到的結(jié)論與前面的相同。

【例】某機(jī)床廠加工一種零件，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道，該廠加工的零件的橢圓度漸近服從正態(tài)分布，其總體均值為0.081mm，今另換一種新機(jī)床進(jìn)行加工，取200個(gè)零件進(jìn)行檢驗(yàn)，得到橢圓度均值為0.076mm，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為0.025mm，問新機(jī)床加工零件的橢圓度總體均值與以前有無明顯差別。解：提出的原假設(shè)和備擇假設(shè)為：計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的具體數(shù)值：顯著性水平α＝0.05，得由于所以，拒絕原假設(shè)?？梢哉J(rèn)為新老機(jī)床加工零件的橢圓度的均值有顯著差異。方法二：用P值進(jìn)行檢驗(yàn)

1.用EXCEL計(jì)算P值

2.比較P值

P＝0.004655>α＝0.05

3.作出決策由于P值＝0.004655遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于α＝0.05，所以拒絕原假設(shè)，得到的結(jié)論與前面的相同。

【例】某批發(fā)商欲從廠家購進(jìn)一批燈泡，根據(jù)合同規(guī)定燈泡的使用壽命平均不能低于1000小時(shí)。已知燈泡燃燒壽命服從正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)差為200小時(shí)。在總體中隨機(jī)抽取了100個(gè)燈泡，得知樣本均值為960小時(shí)，批發(fā)商是否應(yīng)該購買這批燈泡？解：提出的原假設(shè)和備擇假設(shè)為：計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的具體數(shù)值：顯著性水平α＝0.05，得由于所以，拒絕原假設(shè)，即這批燈泡的使用壽命低于1000小時(shí)，批發(fā)商不應(yīng)購買這批燈泡。方法二：用P值進(jìn)行檢驗(yàn)

1.用EXCEL計(jì)算P值

2.比較P值

P＝0.02275＜α＝0.05

3.作出決策由于P值＝0.02275小于α＝0.05，所以拒絕原假設(shè)，得到的結(jié)論與前面的相同?！锶绻诖死募僭O(shè)檢驗(yàn)中，取顯著性水平α＝0.02，會(huì)發(fā)生什么？

雙側(cè)檢驗(yàn)左側(cè)檢驗(yàn)右側(cè)檢驗(yàn)假設(shè)形式檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Α與拒絕域P值決策準(zhǔn)則大樣本情況下一個(gè)總體均值的檢驗(yàn)方法P＜α，拒絕H0小樣本的檢驗(yàn)方法【例】一種汽車配件的平均長(zhǎng)度要求為12cm，高于低于該標(biāo)準(zhǔn)均被認(rèn)為是不合格的。汽車生產(chǎn)企業(yè)在購進(jìn)配件時(shí)，通常是經(jīng)過招標(biāo)，然后對(duì)中標(biāo)的配件提供商提供的樣品進(jìn)行檢驗(yàn)，以決定是否購進(jìn)?，F(xiàn)對(duì)一個(gè)配件提供商提供的10個(gè)樣本進(jìn)行了檢驗(yàn)，結(jié)果如下：

12.2

10.8

12.0

11.8

11.9

12.4

11.3

12.2

12.0

12.3

假設(shè)該供貨商生產(chǎn)的配件服從正態(tài)分布，在0.05的顯著性水平下，檢驗(yàn)該供應(yīng)商提供的配件是否符合要求？解：依題意建立如下原假設(shè)和備擇假設(shè)：

H0：μ＝12

H1：μ≠12根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得：由于n＝10＜30，為小樣本，采用t檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：根據(jù)自由度（n－1）＝10－1＝9，查t分布表得：由于不拒絕原假設(shè)，樣本提供的證據(jù)不足以推翻原假設(shè)。供應(yīng)商提供的配件可以認(rèn)為是符合要求的。方法二：用P值進(jìn)行檢驗(yàn)

1.用EXCEL計(jì)算P值

2.比較P值

P＝0.498469786

>α＝0.05

3.作出決策由于P值大于α＝0.05，所以不拒絕原假設(shè)，得到的結(jié)論與前面的相同。雙側(cè)檢驗(yàn)左側(cè)檢驗(yàn)右側(cè)檢驗(yàn)假設(shè)形式檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Α與拒絕域P值決策準(zhǔn)則小樣本情況下一個(gè)總體均值的檢驗(yàn)方法P＜α，拒絕H0二、總體比例的檢驗(yàn)條件檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量H0、H1

拒絕域P值決策準(zhǔn)則二項(xiàng)分布np≥5n（1－p）≥5H0：π=π0H1：π≠π0P＜α，拒絕H0H0：π≥π0H1：π＜π0H0：π≤π0H1：π＞π0【例】一項(xiàng)統(tǒng)計(jì)結(jié)果聲稱，某市老年人口（年齡在65歲以上）所占的比例為14.7%，該市老年人口研究會(huì)為了檢驗(yàn)該項(xiàng)統(tǒng)計(jì)是否可靠，隨機(jī)抽選了400名居民，發(fā)現(xiàn)其中有57人年齡在65歲以上，調(diào)查結(jié)果是否支持該市老年人口比例為14.7%的看法（α＝0.05）？解：H0：π=14.7%