高教社杯大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)評閱前進(jìn)行編號賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用統(tǒng)一編號（由賽區(qū)送交前編號評閱編號（由評閱前進(jìn)行編號PAGEPAGE6古塔的變的變形情況。利用空間曲線擬合、坐標(biāo)變換等方法以及程序，分別求出對于問題三，我們考慮通過古塔的傾斜、彎曲及程度來分析古塔的變形趨勢。程序，得到了傾斜角、彎曲率以及相對度的預(yù)測函數(shù)和誤差檢驗，驗證：古塔變形；最小二乘擬合；空間曲線曲率；坐標(biāo)矩陣變換；灰色預(yù)1、問題重由于長時間承受自重、氣溫、風(fēng)力等各種作用，偶然還要受、颶風(fēng)的影響，古塔產(chǎn)生各種變形，諸如傾斜、彎曲、等。為保護(hù)古塔，部門需適時對古塔進(jìn)行2、模型的假3、變量說 (x*(ky*(kz*(k：第k次測量時第i層中心點坐標(biāo)（i12,,13，k12,3,4；(xj(k),yjkzjk：第 (x*(k),y*(kz*(k))：第k次測量時塔尖的中心點坐標(biāo)（k12,3,4dij(k：第k次測量時第ijzAi(k)xBi(kyCi(k)：第k次測量時第iH(k：第k次測量時古塔的塔高（k12,3,4d(k：第k次測量時古塔的塔尖與塔的底層中心的水平距離（k12,3,4(k)：第k次測量時古塔的傾斜角（k1234x(t)a(k)t2b(k)tc(k

(ta(k)t2b(k)tc(k：第kk k zk(t)

Kk：第k次測量時古塔的彎曲率（k12,3,4ij(k)：第k次測量時古塔第i層第j個觀測點相對于上次測量 （i1,2,,13，j1,2,,8，k2,3,4i(k)：第k次測量時古塔第i層相對于上次測量的平 （i1,2,,13，k2,3,4(pi(k),qi(k))：第k次測量時古塔第i層相對于上次測量的水平坐標(biāo)平移（i1,2,,13，k2,3,4x(0) (1)x(0) 4、模型準(zhǔn)對建筑物變形、傾斜、彎曲、的理 建筑變形：建筑的地基、基礎(chǔ)、上部結(jié)構(gòu)及其場地受各種作用力而產(chǎn)生的形狀或文中，我們定義傾斜角，其正切值即塔尖與底層中心的水平距離與塔高的比值，即tand。H在空間曲線的曲率定義了古塔的彎曲率K。：建筑產(chǎn)生的非豎向變形。由于為非豎向的變形，討論古塔時只需考xy坐標(biāo)的水平旋轉(zhuǎn)，因此我們用古塔水平旋轉(zhuǎn)角度的缺失數(shù)據(jù)的預(yù)處理變化值為(0.055,0.173,4.271)5十三層的缺失數(shù)據(jù)賦值為(567.984,519.588, 的缺失數(shù)據(jù)賦值為(567.99,519.5816,52.983)小，所以對于只有一個測量點的塔尖數(shù)據(jù)，其近似處理為塔尖中心點坐標(biāo)。5、模型的建立與求1模型建立與建模思模型分析AxByCzD0(CzAxBy 因此可設(shè)第k次測量時第izAi(k)xBi(k)yCi(k minAi(k)xj(k)Bi(k)yij(k)Ci(k)zij(k)(i1,2,,13;k1,2,3, j(2)模型求 f(Ai(k),Bi(k),Ci(k))Ai(k)xij(k)Bi(k)yij(k)Ci(k)zij(k) jf 即

2[Ai(k)xij(k)Bi(k)yij(k)Ci(k)zij(k)]xij(k)jj

2[Ai(k

(k)Bi(k)

(k)Ci(k)

(k

(k)

2[Ai(k)xij(k)Bi(k)yij(k)Ci(k)zij(k)]zij(k)j Ai(k)xij(k)Bi(k)[xij(k)yij(k)]Ci(k)xij(k)[xij(k)zij(k j j j j Ai(k [xij(k)yij(k)]Bi(k yij(k)Ci(k yij(k) [yij(k)zij(k j j j j8A(k[x(k)z(k)]B(k)8[y(k)z(k)]C(k)8z(k)8

z2(k j j j j將各層觀測值xij(k),yij(k)帶入上式，利用 線性方程組，解得每次測量各層的擬合平面系數(shù)Ai(k),Bi(k),Ci(k)如表1所示。第i第iABCABC1-1-2-2-3--3--4--4--5--5--6--6--7--7--8--8--9--9第i第iABCABC1--1--2--2--73--3--4--4--5--5--6--6--7-7-8-8-9-90中心點的確特征，我們在5.1.2中所求得的各層擬合平面中尋找一點，使其到該層各觀測點距離的平minj

d(k)

8j

[(x(k)x*(k))2(y(k)y*(k))2(z(k)z*(k))2 zi*(k)A(k)x*(k)B(k)y*(k) 模型 ii iimind(k)[(x(k)x*(k))2(y(k)y*(k))2(z(k)A(k)x*(k)B(k)y*(k)C(k))2 j j8標(biāo)如表2所示，將其繪成三維圖如圖2所示。i第一次測量各層的中心坐i第二次測量各層的中心坐xyzxyz11223344556672978899塔塔i第三次測量各層的中心坐i第四次測量各層的中心坐xyzxyz112233445566778899塔塔2模型建立與建模思傾斜、彎曲、。平距離與塔高的比值，即tanH

對于變形，考慮到變形實際為古塔水平面的旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生，因此我們采用二維坐標(biāo)塔的度。但是，實際中水平面坐標(biāo)(x,y)不僅發(fā)生了旋轉(zhuǎn)變換，還受到傾斜彎曲形等所引起的平移變化的影響，因此我們在考慮坐標(biāo)變換的時候加入了平移量pq)，傾斜變模型分析與建古塔的傾斜變形可用其傾斜角tanH因此，第k(k)arctand(kH(kx(k)x(x(k)x(k)y(k)y1(k)1H(k)z*(k)z*(k111x(k)x(k)x(k)y(k)y(k再將所得d(k)H(k)

，H(k)z*(k)z*(kH(k 編程（程序見附錄3）求解出(k)的值如表3所示測量次傾斜1234模型結(jié)果的分，彎曲變模型分析與建1zOx平面和yOz平面，利用投影法擬合出軸線的參數(shù)方程，然后利用擬合出的空間曲線曲率來刻畫古塔在各層的彎曲率K。間曲線 (xi*(k),0,z*(k)),(0,y*(k),z*(k))(i1,2,,13),(x*(k),0,z*(k)),(0,y*(k),z* x(t)a(k)t2b(k)tc(k

(t)a(k)t2b(k)tc(k z(t)

x(t)a(k)t2b(k)tc(k的曲率公式

(ta(k)t2b(k)tc( zk(t)Kk

xkxky(t)y z(t) zxkxky(t)y z(t) zkkkky ykkz zkkx(t)kxk3 模型求間曲線xzyz坐標(biāo)分別進(jìn)行二次擬合，設(shè)擬合出的空間曲線參數(shù)方程為x(t)a(k)t2b(k)tc(k y (t)a(k)t2b(k)tcy zk(t) (i1,2;k1,2,3,4)如表4所示。ai(kbi(kci(k-x2y2-x3y3--x4y4

x(t)a(k)t2b(k)tc(k

k(ta(k)t2b(k)tc(k k z(t) x(t)2a(k)tb(k yk(t)2a2(k)tb2(k)

zk(t)xk(t)2a1(k

(t)2a2(k)zk(t)4ai(kbi(kci(k(i12;k1,2,3,4xyz分別對t的Kk

xkxk2 xkxk2 zk(t)zkykykzkzkxkxk2yk yk3222 k y z 5Kk年第 層123456789塔模型結(jié)果的分變模型分析與建變形是建筑產(chǎn)生的非豎向變形，實際上是由水平坐標(biāo)(x,y)的旋轉(zhuǎn)變換所致。因此我們考慮對古塔各觀測點的水平坐標(biāo)進(jìn)行坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)，通過計算其旋轉(zhuǎn)角度來描述該點相對于上次測量的度，并對每層各觀測點的度取平均值得到該層相對于上次測量的平均度。由于古塔的水平坐標(biāo)變換不僅由所導(dǎo)致的旋轉(zhuǎn)變換決定，還與傾斜和彎曲所引對度和水平坐標(biāo)的相對平移量pq)，綜合考慮水平坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)變換和平移變換，(x(k1),y

1))

(k),y(k sin cos(k) 度ij(k)，再對同一層的ij(k)取平均

j 8則可求得第k次測量時每層的平均相對度(xij(k1)cosij(k)yij(k1)sinij(k),xij(k1)sinij(k)yij(k1)cosij(k(pi(k),qi(k))(xij(k),yij(k即 xij(k1)cosij(k)yij(k1)sinij(k)xij(k)pi(k x(k1)sin(k)y(k1)cos(k)y(k)q(k ) x(k1)cos(k) (k1)sin(k) x(k1)sin(k) (k1)cos(k)[ (k) x(k1)cos(k) (k1)sin(k) x(k1)sin(k)y(k1)cos(k)[y(k) 1x為簡化該無條件極值的計算，我們令x cos，將其轉(zhuǎn)換為關(guān)1x 值如表6所示。圖6：各層的平均相對i各層的平均相 度i1-7.16E--3.95E-2.80E-21.05E--3.48E--5.58E-31.83E--4.40E--1.44E-4-6.65E--3.05E--3.83E-53.09E--3.50E--1.34E-6-1.21E--4.12E--4.87E-7-8.74E--2.59E-1.32E-87.86E--2.32E--1.56E-9-5.02E--2.10E--1.62E-1.18E--1.84E--1.76E-1.76E--3.68E--1.96E-1.98E--4.70E-1.66E-1.59E--7.17E--2.39E-模型的分析與建

d2dt

adx(1)b模型求x(0)(x(0)(1),x(0)(2),x(0)(3),x(0)(4))x(1)(1)x(0)((1)x0(1),(1)x0(2),(1)x(0)(3),(1)x(0)(4))d2dt

adx(1)b由于DGM(2.1)

d2dt

1ab(BB)Bx(0)

z(1) z(1) B M z(1) (x

x(0)(2)x(0)(1)1)

x(0)(3)x(0)Y M(1)

(n) (n t e0214286t表7：傾斜角2340K t e0206742t K2 t e020758tK

e0208378tK4 t e020911tK

e0209941t K6

e0

KK

e0 e0

K9

e0 e0

t

0

K11 t e0215636t t

0

t e021729t12-1.04E-3-2.05E-4-2.72E-22-1.04E-3-2.05E-4-2.73E-32-1.04E-3-2.05E-4-2.74E-42-1.04E-3-2.05E-4-2.74E-52-1.04E-3-2.05E-4-2.75E-62-1.05E-3-2.05E-4-2.75E-72-1.05E-3-2.05E-4-2.76E-82-1.05E-3-2.05E-4-2.77E-92-1.05E-3-2.04E-4-2.77E-2-1.05E-3-2.04E-4-2.78E-2-1.05E-3-2.04E-4-2.78E-2-1.06E-3-2.04E-4-2.79E-2-1.06E-3-2.04E-4-2.80E-2-1.06E-3-2.04E-4-2.80E-相對度的預(yù)測函1 7e198118t0.00000199238t12 2

7e201936t0.00000175148t e2

t 240.00000745858 2

1

t70.00000645303e1 t7 e2 t 0.00000523741e2 t9 0.00000461629e211286t0.00000963558t100.00000923582e2 t

e1 e2

表9：相 度的誤差檢驗12-7.16E--7.16E-7.94E-1.11E-3-3.95E-4.07E--8.02E-42.80E-4.20E--4.20E-221.05E-1.05E-1.64E-1.56E-3-3.48E-3.95E--7.43E-4-5.58E-4.12E--4.13E-321.83E-1.83E-2.38E-1.30E-3-4.40E-5.14E--9.54E-4-1.44E--42-6.65E--6.65E-4.24E-6.37E-3-3.05E-3.16E--6.21E-4-3.83E--523.09E-3.09E-1.70E-5.50E-3-3.50E-4.08E--7.58E-4-1.34E--62-1.21E--1.21E-1.03E-8.53E-3-4.12E-4.48E--8.60E-4-4.87E--72-8.74E--8.74E-2.12E-2.42E-3-2.59E-2.79E--5.38E-41.32E--827.86E-7.86E--3.97E-5.05E-3-2.32E-2.60E--4.92E-4-1.56E--92-5.02E--5.02E--3.97E-7.91E-3-2.10E-2.31E--4.41E-4-1.62E--21.18E-1.18E-4.50E-3.81E-3-1.84E-2.39E--4.23E-4-1.76E--21.76E-1.76E-3.18E-1.80E-3-3.68E-4.45E--8.13E-4-1.96E--21.98E-1.98E--4.76E-2.41E-3-4.70E-4.97E--9.67E-41.66E--21.59E-1.59E-3.44E-2.16E-3-7.17E-7.96E--4-2.39E--6、模型的分析、推廣與改本文中討論了古塔的變形特征，圍繞著中心點刻畫了三種不同變形情況的數(shù)學(xué)描本文題目給出的確定古塔各層中心點位置的通用方法可以推廣至其他建筑物及測7、參考文[1]《中民行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)建筑變形測量規(guī)范(JGJ8—2007)[2]文庫. ed9ac51f305[3]，，平面曲線與空間曲線曲率及其算法[J].德州學(xué)院學(xué)報，2013.4，第92[4]，，數(shù)學(xué)建模算法與應(yīng)用[M].國防工業(yè)[5]FrankR.Giordano,MauriceD.Weir,WilliamP.Fox，數(shù)學(xué)建模(第3版)[M].：機(jī)械工[6]，數(shù)學(xué)建模實用[M].高等教育8、附holdon;fork=1:13Xcolv=Ycolv=Zcolv=Const=Coefficients1(:,k)=[XcolvYcolvConst]\Zcolv;XCoeff=Coefficients1(1);YCoeff=Coefficients1(2);CCoeff=Coefficients1(3);L=plot3(x,y,z,'ro');%繪制三維圖形holdon;grid[xx,zz=XCoeff*xx+YCoeff*yy+CCoeff;title(sprintf('Plottingplanez=(%f)*x+(%f)*y+(%f)',XCoeff,YCoeff,Coefficients1%由程序計算所得的系fork=1:13Xcolv=Ycolv=Zcolv=Const=Coefficients2(:,k)=[XcolvYcolvXCoeff=Coefficients2(1);YCoeff=Coefficients2(2);CCoeff=Coefficients2(3);L=plot3(x,y,z,'ro');%繪制三維圖形holdon;grid[xx,zz=XCoeff*xx+YCoeff*yy+CCoeff;title(sprintf('Plottingplanez=(%f)*x+(%f)*y+(%f)',XCoeff,YCoeff,Coefficients2%由程序計算所得的系fork=1:13Xcolv=Ycolv=Zcolv=Const=Coefficients3(:,k)=[XcolvYcolvConst]\Zcolv;XCoeff=Coefficients3(1);YCoeff=Coefficients3(2);CCoeff=Coefficients3(3);L=plot3(x,y,z,'ro');%繪制三維圖形holdon;grid[xx,zz=XCoeff*xx+YCoeff*yy+CCoeff;title(sprintf('Plottingplanez=(%f)*x+(%f)*y+(%f)',XCoeff,YCoeff,Coefficients3%由程序計算所得的系a=m(:,1:3);%1989年觀測數(shù)據(jù)a2=m(:,7:9);%2009年觀測數(shù)a3=m(:,10:12);%2011年觀測fork=1:13Xcolv=Ycolv=Zcolv=Const=Coefficients4(:,k)=[XcolvYcolvConst]\Zcolv;XCoeff=Coefficients4(1);YCoeff=Coefficients4(2);CCoeff=Coefficients4(3);L=plot3(x,y,z,'ro');%繪制三維圖形holdon;grid[xx,zz=XCoeff*xx+YCoeff*yy+CCoeff;title(sprintf('Plottingplanez=(%f)*x+(%f)*y+(%f)',XCoeff,YCoeff,Coefficients4%由程序計算所得的系程序二：（中心點坐標(biāo)的確定 functionf=ff2(x,A,B)f=sum((x1-x(1)).^2+(y-x(2)).^2+(z-然后，再運(yùn)行如下程序F1=m(:,1:3);%1989年觀測數(shù)據(jù)F2=m(:,4:6);%1999年觀測數(shù)據(jù)F3=m(:,7:9);%2009年觀測數(shù)據(jù)P1=[.P2=[P3=[--0.00376P4=[fork=1:13A=F1([c(k,1):c(k,2)],:);%1986年觀測數(shù)b1(1:2,k)=fork=1:13A=F2([c(k,1):c(k,2)],:);%1996年觀測數(shù)b2(1:2,k)=fork=1:13A=F3([c(k,1):c(k,2)],:);%2009年觀測數(shù)b3(1:2,k)=fork=1:13=b4(1:2,k)=b1forb程序四：（空間曲線方程的擬合 x1=polyfit(z,x,2)%z為自變量，x為因變y1=polyfit(z,y,2)%z為自變量，y為因變?yōu)樽宰兞繛橐蜃優(yōu)樽宰兞繛橐蜃? 為自變量為因變?yōu)樽宰兞繛橐蜃? x4=polyfit(z,x,2)%z為自變量，x為因變y4=polyfit(z,y,2)%z為自變量，y為因變symsx1y1x2y2x3y3x4y4 %中心點z軸數(shù)forb(k,1)=sqrt(((69/10000-(3*n(2,k))/25000)*(1/50000)-(107/12500-n(2,k)/50000)*(-3/25000))^2+(-^2+(1/50000)^2)/sqrt(((69/10000-(3*n(2,k))/25000)^2+(107/12500-c(k,1)=sqrt((((n(3,k))/25000+539/50000)*(-1/12500)-(-341/50000-+(-1/25000)^2)/sqrt(((n(3,k)/25000+539/500