小題專題練(四) 立體幾何1．如圖所示的組合體可由下面某個圖形繞對稱軸旋轉而成，這個圖形是 ( )2．已知直線 l和平面α，若l∥α，P∈α，則過點 P且平行于 l的直線( )A．只有一條，不在平面 α內B．只有一條，且在平面 α內C．有無數條，一定在平面 α內D．有無數條，不一定在平面 α內3．設m、n為兩條不同的直線， α、β為兩個不同的平面，給出下列命題：①若m⊥α，m⊥β，則α∥β；②若m∥α，m∥β，則α∥β；③若m∥α，n∥α，則m∥n；④若m⊥α，n⊥α，則m∥n.上述命題中，所有真命題的序號是

(

)A．①④

B．②③C．①③

D．②④4．給出下列命題：①在空間中，垂直于同一個平面的兩個平面平行；②設

l，m是不同的直線， α是一個平面，若

l⊥α，l∥m，則

m⊥α；③過一點有且只有一條直線與已知平面垂直；④a，b是兩條異面直線，

P為空間中一點，過點

P總可以作一個平面與

a，b之一垂直，與另一個平行．其中正確命題的個數是

(

)A．0 B．1C．2 D．35．設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列選項中不正確的是 ( )A．當n⊥α時，“n⊥β”是“α∥β”的充要條件B．當m?α時，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要條件C．當m?α時，“n∥α”是“m∥n”的必要不充分條件D．當m?α時，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要條件6．如圖，在三棱錐P-ABC中，不能證明 AP⊥BC的條件是( )A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC7．(2016·州模擬廣)一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖與側視圖都是斜邊長為2的直角三角形，俯視圖是半徑為1的四分之一圓周和兩條半徑，則這個幾何體的體積為()33A.12πB.6π33C.4πD.3π8．如圖所示，在邊長為2的正方形ABCD中，圓心為B，半徑為1的圓與AB、BC分別交于E、F，則陰影部分繞直線BC旋轉一周形成幾何體的體積等于()A．πB．6π4πC.3D．4π9．若某正八面體的各個頂點都在半徑為1的球面上，則此正八面體的體積為()32A．4B.5824C.3D.310．一個三棱柱的直觀圖、正(主)視圖、側(左)視圖、俯視圖如圖所示，若M、N分別為A1B、B1C1的中點，則下列選項中錯誤的是()A．MN與A1C異面B．MN⊥BCC．MN∥平面ACC1A113D．三棱錐N-A1BC的體積為3a11．已知一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是 ( )77A.6B.355C.3D.612．(2016長·春模擬)在正三棱錐P-ABC中，M是PC的中點，且AM⊥PB，底面邊長AB＝22，則正三棱錐P-ABC的外接球的表面積為()A．8πB．10πC．12πD．14π13．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________．14．已知三棱錐的正三角形，PC為球

P-ABC的所有頂點都在半徑為O的直徑，則該三棱錐的底面

1的球ABC

O的球面上，△ ABC上的高為________．

是邊長為

115．一四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的四個面中最大的面積是

________．16．已知邊長為 3的等邊三角形 ABC的三個頂點都在以 O為球心的球面上，若三棱錐O-ABC的體積為3 3，則球的表面積為________．4參考答案與解析1． A 題中圖是由兩個不同的柱體與一個臺體構成的組合體，兩個柱體之間是一個臺體，因此該幾何體是由兩個矩形與一個直角梯形繞兩個矩形的一邊和直角梯形的直角腰旋轉而成的，故選 A.2．

B

過直線外一點作該直線的平行線有且只有一條，因為點

P在平面α內，所以這條直線也應該在平面

α內．3．[導學號：

96982212]

A

由線面垂直的性質定理知①④正確；平行于同一條直線的兩個平面可能相交，也可能平行，

故②錯；平行于同一平面的兩條直線可能平行，

也可能相交或異面，故③錯．選

A.4．

C

對于①，借助正方體模型可知錯誤；對于②，若

l⊥α，l∥m，則

m⊥α，顯然②正確；對于③，顯然過一點必存在一條直線與已知平面垂直，

如果過一點能夠作兩條直線與已知平面垂直，

則根據直線與平面垂直的性質定理可知，

這兩條直線平行， 但根據已知這兩條直線相交，所以③正確；對于④，當異面直線

a，b垂直時才可以作出滿足要求的平面，所以④錯誤．5． C 與同一條直線垂直的兩個平面平行，反之，當兩個平行平面中有一個與一條直線垂直時，另一個也與這條直線垂直，選項 A正確；根據平面與平面垂直的判定定理，選項 B正確；當直線 m?α時，m∥n?/n∥α，故選項 C不正確；根據線面垂直的性質，選項

D正確．6．

B

A中，因為

AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以

AP⊥平面

PBC，又BC?平面PBC，所以AP⊥BC，故A正確；C中，因為平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，AP?平面APC，所以AP⊥BC，故C正確；D中，由A知D正確；B中條件不能判斷出 AP⊥BC，故選

B.7．[導學號：

96982213]

A

由題意可知，該幾何體是

1個圓錐，圓錐的底面半4徑是

1，高是

3，故該幾何體的體積

V＝13×14×π×

12×

33＝12π.8．

B

由旋轉體的定義可知，

陰影部分繞直線

BC

旋轉一周形成的幾何體為圓柱中挖掉一個半球和一個圓錐． 該圓柱的底面半徑 R＝BA＝2，母線長l＝AD＝2，故該圓柱的體積

V1＝π×

22×2＝8π，半球的半徑為

1，其體積

V2＝1×4π×13＝2π，圓錐的底面半233徑為

2，高為

1，其體積

V3＝1π×22×1＝4π，所以陰影部分繞直線33

BC

旋轉一周形成幾何體的體積V＝V1－V2－V3＝6π.129．D設正八面體的棱長為a，則VO＝2AC＝2a＝1?a＝2，那么正八面體的體積為124V＝2××(2)×1＝.3310．D取A1B1的中點D，連接DM、DN.由于M、N分別是A1B、B1C1的中點，所以可得DN∥A1C1，又DN?平面A1ACC1，A1C1?平面A1ACC1，所以DN∥平面A1ACC1.同理可證DM∥平面A1ACC1.又DM∩DN＝D，所以平面DMN∥平面A1ACC1，所以MN∥平面ACC1A1，直線MN與A1C異面，A，C正確．由三視圖可得A1C1⊥平面BCC1B1，所以DN⊥平面BCC1B1，所以DN⊥BC，又易知DM⊥BC，所以BC⊥平面DMN，所以BC⊥MN，11-NBC＝11213BC＝VA3aa＝6a，所以D錯誤．故選D.B正確．因為VN-A211．[導學號：96982214]B由三視圖可知該幾何體的直觀圖如圖所示，所以體積為1×1×1－1×1×1×1×1＋1×1×(1＋2)×1＝7，故選B.322312． C因為三棱錐P-ABC為正三棱錐，易證PB⊥AC，又AM⊥PB，AM∩AC＝A，所以PB⊥平面PAC，所以PB⊥PA，PB⊥PC，易得PA，PB，PC三線兩兩垂直，且AB＝22，所以PA＝PB＝PC＝2，設三棱錐P-ABC外接球的半徑為R，則(2R)2＝3×22＝12，所以球的表面積S＝4πR2＝12π.依題意，題中的幾何體是由一個直三棱柱與一個三棱錐所組成的，其中該直三棱柱的底面是一個直角三角形(直角邊長分別為1、2)、高為1；該三棱錐的底面是一個直角三角形(直角邊長分別為 1、2)、高為1，因此該幾何體的體積為 12×2×1×1＋13×12×2×1×41＝3.432322614.依題意，設球心O到平面ABC的距離為d，則d＝＝＝R－33.由3O是PC的中點得，P到平面ABC的距離等于2d＝26，即該三棱錐的底面ABC上的高為2633.26315.該幾何體的直觀圖為三棱錐 B-ACD，如圖所示，結合圖形可知面積最大的是一個邊長為22的正三角形，其面積為1×22×6＝2