小題專題練(四) 立體幾何1．如圖所示的組合體可由下面某個(gè)圖形繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)而成，這個(gè)圖形是 ( )2．已知直線 l和平面α，若l∥α，P∈α，則過(guò)點(diǎn) P且平行于 l的直線( )A．只有一條，不在平面 α內(nèi)B．只有一條，且在平面 α內(nèi)C．有無(wú)數(shù)條，一定在平面 α內(nèi)D．有無(wú)數(shù)條，不一定在平面 α內(nèi)3．設(shè)m、n為兩條不同的直線， α、β為兩個(gè)不同的平面，給出下列命題：①若m⊥α，m⊥β，則α∥β；②若m∥α，m∥β，則α∥β；③若m∥α，n∥α，則m∥n；④若m⊥α，n⊥α，則m∥n.上述命題中，所有真命題的序號(hào)是

(

)A．①④

B．②③C．①③

D．②④4．給出下列命題：①在空間中，垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行；②設(shè)

l，m是不同的直線， α是一個(gè)平面，若

l⊥α，l∥m，則

m⊥α；③過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直；④a，b是兩條異面直線，

P為空間中一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

P總可以作一個(gè)平面與

a，b之一垂直，與另一個(gè)平行．其中正確命題的個(gè)數(shù)是

(

)A．0 B．1C．2 D．35．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列選項(xiàng)中不正確的是 ( )A．當(dāng)n⊥α?xí)r，“n⊥β”是“α∥β”的充要條件B．當(dāng)m?α?xí)r，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要條件C．當(dāng)m?α?xí)r，“n∥α”是“m∥n”的必要不充分條件D．當(dāng)m?α?xí)r，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要條件6．如圖，在三棱錐P-ABC中，不能證明 AP⊥BC的條件是( )A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC7．(2016·州模擬廣)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖與側(cè)視圖都是斜邊長(zhǎng)為2的直角三角形，俯視圖是半徑為1的四分之一圓周和兩條半徑，則這個(gè)幾何體的體積為()33A.12πB.6π33C.4πD.3π8．如圖所示，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，圓心為B，半徑為1的圓與AB、BC分別交于E、F，則陰影部分繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周形成幾何體的體積等于()A．πB．6π4πC.3D．4π9．若某正八面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，則此正八面體的體積為()32A．4B.5824C.3D.310．一個(gè)三棱柱的直觀圖、正(主)視圖、側(cè)(左)視圖、俯視圖如圖所示，若M、N分別為A1B、B1C1的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是()A．MN與A1C異面B．MN⊥BCC．MN∥平面ACC1A113D．三棱錐N-A1BC的體積為3a11．已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是 ( )77A.6B.355C.3D.612．(2016長(zhǎng)·春模擬)在正三棱錐P-ABC中，M是PC的中點(diǎn)，且AM⊥PB，底面邊長(zhǎng)AB＝22，則正三棱錐P-ABC的外接球的表面積為()A．8πB．10πC．12πD．14π13．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________．14．已知三棱錐的正三角形，PC為球

P-ABC的所有頂點(diǎn)都在半徑為O的直徑，則該三棱錐的底面

1的球ABC

O的球面上，△ ABC上的高為________．

是邊長(zhǎng)為

115．一四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的四個(gè)面中最大的面積是

________．16．已知邊長(zhǎng)為 3的等邊三角形 ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在以 O為球心的球面上，若三棱錐O-ABC的體積為3 3，則球的表面積為________．4參考答案與解析1． A 題中圖是由兩個(gè)不同的柱體與一個(gè)臺(tái)體構(gòu)成的組合體，兩個(gè)柱體之間是一個(gè)臺(tái)體，因此該幾何體是由兩個(gè)矩形與一個(gè)直角梯形繞兩個(gè)矩形的一邊和直角梯形的直角腰旋轉(zhuǎn)而成的，故選 A.2．

B

過(guò)直線外一點(diǎn)作該直線的平行線有且只有一條，因?yàn)辄c(diǎn)

P在平面α內(nèi)，所以這條直線也應(yīng)該在平面

α內(nèi)．3．[導(dǎo)學(xué)號(hào)：

96982212]

A

由線面垂直的性質(zhì)定理知①④正確；平行于同一條直線的兩個(gè)平面可能相交，也可能平行，

故②錯(cuò)；平行于同一平面的兩條直線可能平行，

也可能相交或異面，故③錯(cuò)．選

A.4．

C

對(duì)于①，借助正方體模型可知錯(cuò)誤；對(duì)于②，若

l⊥α，l∥m，則

m⊥α，顯然②正確；對(duì)于③，顯然過(guò)一點(diǎn)必存在一條直線與已知平面垂直，

如果過(guò)一點(diǎn)能夠作兩條直線與已知平面垂直，

則根據(jù)直線與平面垂直的性質(zhì)定理可知，

這兩條直線平行， 但根據(jù)已知這兩條直線相交，所以③正確；對(duì)于④，當(dāng)異面直線

a，b垂直時(shí)才可以作出滿足要求的平面，所以④錯(cuò)誤．5． C 與同一條直線垂直的兩個(gè)平面平行，反之，當(dāng)兩個(gè)平行平面中有一個(gè)與一條直線垂直時(shí)，另一個(gè)也與這條直線垂直，選項(xiàng) A正確；根據(jù)平面與平面垂直的判定定理，選項(xiàng) B正確；當(dāng)直線 m?α?xí)r，m∥n?/n∥α，故選項(xiàng) C不正確；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，選項(xiàng)

D正確．6．

B

A中，因?yàn)?/p>

AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以

AP⊥平面

PBC，又BC?平面PBC，所以AP⊥BC，故A正確；C中，因?yàn)槠矫鍮PC⊥平面APC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，AP?平面APC，所以AP⊥BC，故C正確；D中，由A知D正確；B中條件不能判斷出 AP⊥BC，故選

B.7．[導(dǎo)學(xué)號(hào)：

96982213]

A

由題意可知，該幾何體是

1個(gè)圓錐，圓錐的底面半4徑是

1，高是

3，故該幾何體的體積

V＝13×14×π×

12×

33＝12π.8．

B

由旋轉(zhuǎn)體的定義可知，

陰影部分繞直線

BC

旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體為圓柱中挖掉一個(gè)半球和一個(gè)圓錐． 該圓柱的底面半徑 R＝BA＝2，母線長(zhǎng)l＝AD＝2，故該圓柱的體積

V1＝π×

22×2＝8π，半球的半徑為

1，其體積

V2＝1×4π×13＝2π，圓錐的底面半233徑為

2，高為

1，其體積

V3＝1π×22×1＝4π，所以陰影部分繞直線33

BC

旋轉(zhuǎn)一周形成幾何體的體積V＝V1－V2－V3＝6π.129．D設(shè)正八面體的棱長(zhǎng)為a，則VO＝2AC＝2a＝1?a＝2，那么正八面體的體積為124V＝2××(2)×1＝.3310．D取A1B1的中點(diǎn)D，連接DM、DN.由于M、N分別是A1B、B1C1的中點(diǎn)，所以可得DN∥A1C1，又DN?平面A1ACC1，A1C1?平面A1ACC1，所以DN∥平面A1ACC1.同理可證DM∥平面A1ACC1.又DM∩DN＝D，所以平面DMN∥平面A1ACC1，所以MN∥平面ACC1A1，直線MN與A1C異面，A，C正確．由三視圖可得A1C1⊥平面BCC1B1，所以DN⊥平面BCC1B1，所以DN⊥BC，又易知DM⊥BC，所以BC⊥平面DMN，所以BC⊥MN，11-NBC＝11213BC＝VA3aa＝6a，所以D錯(cuò)誤．故選D.B正確．因?yàn)閂N-A211．[導(dǎo)學(xué)號(hào)：96982214]B由三視圖可知該幾何體的直觀圖如圖所示，所以體積為1×1×1－1×1×1×1×1＋1×1×(1＋2)×1＝7，故選B.322312． C因?yàn)槿忮FP-ABC為正三棱錐，易證PB⊥AC，又AM⊥PB，AM∩AC＝A，所以PB⊥平面PAC，所以PB⊥PA，PB⊥PC，易得PA，PB，PC三線兩兩垂直，且AB＝22，所以PA＝PB＝PC＝2，設(shè)三棱錐P-ABC外接球的半徑為R，則(2R)2＝3×22＝12，所以球的表面積S＝4πR2＝12π.依題意，題中的幾何體是由一個(gè)直三棱柱與一個(gè)三棱錐所組成的，其中該直三棱柱的底面是一個(gè)直角三角形(直角邊長(zhǎng)分別為1、2)、高為1；該三棱錐的底面是一個(gè)直角三角形(直角邊長(zhǎng)分別為 1、2)、高為1，因此該幾何體的體積為 12×2×1×1＋13×12×2×1×41＝3.432322614.依題意，設(shè)球心O到平面ABC的距離為d，則d＝＝＝R－33.由3O是PC的中點(diǎn)得，P到平面ABC的距離等于2d＝26，即該三棱錐的底面ABC上的高為2633.26315.該幾何體的直觀圖為三棱錐 B-ACD，如圖所示，結(jié)合圖形可知面積最大的是一個(gè)邊長(zhǎng)為22的正三角形，其面積為1×22×6＝2