概率統(tǒng)計第一章第五節(jié)條件概率與獨立性一、條件概率二、隨機事件的獨立性三、獨立性在可靠性問題中的應(yīng)用四、貝努利概型與二項概率一條件概率

問題的提法：（1）給定一個隨機試驗，Ω是它的樣本空間，問“事件A發(fā)生的概率”？（2）在上述前提下，問“已知某事件B已經(jīng)發(fā)生了，那么事件A發(fā)生的概率是多少”？例1、盒中裝有10個球，6個玻璃球其中2個紅色4個蘭色；4個木質(zhì)球其中3個紅色1個蘭色，現(xiàn)從中任取一球

記

A={取到玻璃球}，B={取到蘭色球}則P（A）=6/10，

P（B）=5/10。

AB={取到蘭色玻璃球}則

P（AB）=4/10

問“如果已知取到的是蘭色球，那么它是玻璃球的概率”是多少？

上述概率可以記為

p（A│B），且P（A│B）=4/5

事實上這時的樣本空間已經(jīng)發(fā)生變化，變成為{5個蘭色球}，進一步我們發(fā)現(xiàn)，

P（A│B）

=P（AB）/P（B）

定義1.2給定一個隨機試驗，Ω是它的樣本空間，對于任意兩個事件A、B，其中

P（B）＞0，稱

P（A│B）=P（AB）/P（B）為在已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率。

P（A│B）=P（AB）/P（B）

條件概率也是概率，滿足概率的公理化定義中的三條公理，即公理1P（A│B）≥0；公理2P（Ω│B）=1；公理3P（∪Ai│B）=∑P（Ai│B）其中A1，A2，…為一列兩兩互不相容的事件．概率的其他性質(zhì)也可推廣到條件概率上，如…

例2、有5個乒乓球，其中3個新的，2個舊的，現(xiàn)無放回地取兩次每次一個，記

A={第一次取到新球}，B={第二次取到新球}

求：P（A），P（AB），P（B│A）。解：p（A）=3/5，

p（AB）=（3×2）/（5×4）=3/10，

p（B|A）=p（AB）/p（A）=1/2。.

例3(課本第17頁例1.14)

某建筑物按設(shè)計要求使用壽命超過50年的概率為0.8，超過60年的概率為0.6，該建筑物經(jīng)歷了50年之后，它將在10年內(nèi)倒塌的概率有多大？解：B={該建筑物的壽命在５０年以上}，A={該建筑物的壽命在６０年以上}．p（ā|B）=1-p（A|B）

=1-p（AB）/p（B）

=1-p（A）/p（B）

=1-0.6/0.8=1/4

注意此處p（AB）=p（A）

由條件概率的定義立即得到概率的乘法公式：當P（A）＞0時，

p（AB）=p（A）p（B│A）或

當P（B）＞0時，

p（AB）=p（B）p（A│B）乘法公式可推廣到多個隨機事件上去，

如

p（ABC）=p（A）p（B|A）p（C|AB）

例5設(shè)10個考題中4難6易，三人參加抽題（不放回），甲先、乙次、丙最后，記事件A、B、C分別表示三人各抽到難題，試求：

P（A），P（AB），P（ABC）.解:P（A）=4/10=2/5，

P（AB）=p（A）p（B|A）=P（ABC）=p（A）p（B|A）p（C|AB）

例6、（書上P17例1.15)設(shè)袋中裝有a個紅球b個白球，每次隨機地從袋中取1個球。然后把原球放回，并加進與取出球相同顏色的球c個，共取了3次，試求3個球都是紅球的概率。思考：相互獨立與與不相容有何區(qū)別？

一副撲克牌共52張，現(xiàn)從中隨機地抽取一張，A={抽到K}，B={抽到紅桃}，可以驗證事件A，B是相互獨立的.

拋一枚均勻硬幣2次，A={第一次正面向上}，B={第二次正面向上}，可以驗證事件A，B是相互獨立的.定理表示這四對事件的獨立性是等價的。解:設(shè)A={甲擊中目標}，B={乙擊中目標}，A、B相互獨立，所求概率為

P（A∪B）=p（A）+p（B）-p（AB）

=p（A）+p（B）-p（A）p（B）

=0.8或

滿足前面三個式子稱為A、B、C三個事件兩兩獨立。

相互獨立一定兩兩獨立，而兩兩獨立不一定相互獨立。例如:拋一枚均勻硬幣2次，A={第一次正面向上}，B={第二次正面向上}，C={恰有一次正面向上}?？蓹z驗事件A、B、C是兩兩獨立而不是相互獨立的。將以上定義推廣到n個事件一般我們有

相互獨立且至少有一發(fā)生的概率可表示為

解：設(shè)需要n門炮才能滿足要求，Ai表示第i門炮命中目標，Ａ１，Ａ２，…，Ａn相互獨立．則

≧0.99解出n≧5,即至少需要5門炮才能以99%的把握命中敵機。

例3、（書上P19例1.7）已知每個人的血清中含有肝炎病毒的概率為0.4%，且他們是否含有肝炎病毒相