第二章2一、選擇題(每小題5分，共20分)1．以x軸為對稱軸，拋物線通徑的長為8，頂點在坐標原點的拋物線的方程是()A．y2＝8x B．y2＝－8xC．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y解析：∵通徑長為8，∴2p＝8.∵拋物線的對稱軸為x軸，∴拋物線的方程為y2＝±8x.答案：C2．已知拋物線y2＝2px(p>0)的準線與圓x2＋y2－6x－7＝0相切，則p的值為()A．12 B．1C．2 D．4解析：拋物線y2＝2px(p>0)的準線方程為x＝－eq\f(p,2)，因為拋物線y2＝2px(p>0)的準線與圓(x－3)2＋y2＝16相切，所以3＋eq\f(p,2)＝4，p＝2，故選C.答案：C3．已知點A(－2,0)，B(3,0)，動點P(x，y)滿足eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝x2，則點P的軌跡是()A．圓 B．橢圓C．直線 D．拋物線解析：依題意，eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－2－x，－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(3－x，－y)．又eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝x2，∴(－2－x)(3－x)＋y2＝x2，即y2＝x＋6.∴點P的軌跡是拋物線．答案：D4．設M(x0，y0)為拋物線C：x2＝8y上一點，F為拋物線C的焦點，以F為圓心、|FM|為半徑的圓和拋物線C的準線相交，則y0的取值范圍是()A．(0,2) B．[0,2]C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)解析：設圓的半徑為r，因為F(0,2)是圓心，拋物線C的準線方程為y＝－2，由圓與準線相交知4<r，因為點M(x0，y0)為拋物線C：x2＝8y上一點，所以r＝|FM|＝y0＋2>4，∴y0>2.故選C.答案：C二、填空題(每小題5分，共10分)5．過拋物線y2＝4x的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點．若|AF|＝3，則|BF|＝________.解析：利用拋物線的定義和直線與拋物線的位置關系求解．由題意知，拋物線的焦點F的坐標為(1,0)，又|AF|＝3，由拋物線定義知，點A到準線x＝－1的距離為3，∴點A的橫坐標為2.將x＝2代入y2＝4x得y2＝8，由圖知，y＝2eq\r(2)，∴A(2,2eq\r(2))，∴直線AF的方程為y＝2eq\r(2)(x－1)．又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2\r(2)x－1，,y2＝4x，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝－\r(2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2\r(2).))由圖知，點B的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\r(2)))，∴|BF|＝eq\f(1,2)－(－1)＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)6．邊長為1的等邊三角形AOB，O為原點，AB⊥x軸，以O為頂點且過A，B的拋物線方程是____________．解析：當拋物線開口向右時，可設拋物線方程為y2＝2px(p>0)．∵Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，∴eq\f(1,4)＝eq\r(3)p，即p＝eq\f(\r(3),12).∴y2＝eq\f(\r(3),6)x.同理，當拋物線開口向左時，拋物線標準方程為y2＝－eq\f(\r(3),6)x.答案：y2＝±eq\f(\r(3),6)x三、解答題(每小題10分，共20分)7．若拋物線y2＝2px(p>0)上一點P到準線及對稱軸的距離分別為10和6，求P點橫坐標及拋物線方程．解析：設P(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\f(p,2)＝10，,y2＝2px，,|y|＝6，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝9，,p＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,p＝18.))∴P點橫坐標為9或1，拋物線方程為y2＝4x或y2＝36x.8．已知拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點O，并且經過點M(2，y0)．若點M到該拋物線焦點的距離為3，求拋物線方程及|OM|的值．解析：設拋物線方程為y2＝2px(p＞0)，則焦點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，準線方程為x＝－eq\f(p,2)，∵M在拋物線上，∴M到焦點的距離等于到準線的距離，即∴eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(p,2)))2＋y\o\al(2,0))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(p,2)))2)＝3.解得：p＝2，y0＝±2eq\r(2)，∴拋物線方程為y2＝4x.∴點M(2，±2eq\r(2))，根據兩點距離公式有：|OM|＝eq\r(22＋±2\r(2)2)＝2eq\r(3).9．(10分)如圖，已知直線l：y＝2x－4交拋物線y2＝4x于A，B兩點，試在拋物線AOB這段曲線上求一點P，使△PAB的面積最大，并求出這個最大面積．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－4，,y2＝4x，))解得A(4,4)，B(1，－2)，知|AB|＝3eq\r(5)，設P(x0，y0)為拋物線AOB這段曲線上一點，d為P點到直線AB的距離，則d＝eq\f(|2x0－y0－4|,\r(5))＝eq\f(1,\r(5))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,0),2)－y0－4))＝eq\f(1,2\r(5))|(y0－1)2－9|，∵－2<y0<4，∴(y0－1)2－9<0.∴d＝eq\f(1,2\r(5))[9－(y0－1)2]．從而當y0＝1時，dmax＝eq\f(9,2\r(