關(guān)于生產(chǎn)與貯存的模型控制

問(wèn)題提出

一家集生產(chǎn)，銷售于一體的公司，希望生產(chǎn)率和貯存量都盡量穩(wěn)定在預(yù)先設(shè)定的水平上，如果銷售量可以預(yù)測(cè)，公司需要指定一個(gè)根據(jù)貯存量控制生產(chǎn)率的策略。

（1）

以在一定時(shí)間T內(nèi)生產(chǎn)率和貯存量與設(shè)定值誤差的（加權(quán)）平方和最小為目標(biāo)，給出泛函極值問(wèn)題。

（2）

設(shè)銷售量為常數(shù)，求出最優(yōu)解，并在T很大的情況下給出生產(chǎn)率和貯存量之間的關(guān)系。

問(wèn)題分析

對(duì)于本題，可以根據(jù)題目的相關(guān)要求先列出目標(biāo)函數(shù)，對(duì)于給出的泛函極值問(wèn)題，利用變分法來(lái)解決生產(chǎn)與貯存的泛函極值問(wèn)題，從而建立一個(gè)根據(jù)貯存量控制生產(chǎn)率的模型。根據(jù)相關(guān)的假設(shè)和考慮到的實(shí)際情況,得出貯存量的最優(yōu)狀態(tài)方程和生產(chǎn)率的最優(yōu)控制方程，并且由求得的這兩個(gè)方程進(jìn)一步得出在穩(wěn)定情形下生產(chǎn)率和貯存量之間的關(guān)系。建立模型

在[0,T]內(nèi),記時(shí)刻t的貯存量為x（t），生產(chǎn)率(即單位時(shí)間的產(chǎn)量)和銷

售量分別為u（t）和V（t），則它們應(yīng)滿足：

（1）

其中V（t）在每個(gè)時(shí)刻是可以預(yù)測(cè)的。

假設(shè)預(yù)先設(shè)定的生產(chǎn)率（即單位時(shí)間產(chǎn)量）和貯存量分別為u0和x0，使生產(chǎn)率u（t）和貯存量x（t）盡量分別穩(wěn)定在u0和x0的水平上，建立模型

用數(shù)學(xué)式子可以表示為，求控制函數(shù)u（t）使

（2）

達(dá)到最小值，其中T是任意給定時(shí)間，α是加權(quán)因子，用來(lái)調(diào)節(jié)u（t）和x（t）穩(wěn)定二者之間的重要程度，并應(yīng)具有時(shí)間倒數(shù)的量綱，即隨著時(shí)間t的增大α則隨之減小。（2）式稱為二次型目標(biāo)函數(shù)。建立模型

在（1）（2）中貯存量x（t）是狀態(tài)函數(shù)，為確定起見不妨設(shè)t=0,t=T時(shí)貯存量為零，即：

（3）

另外實(shí)際上對(duì)生產(chǎn)率和貯存量都會(huì)有所限制，不妨記作：

（4）

問(wèn)題歸結(jié)為在約束條件（1），（3），（4）下求使（2）式之泛函J達(dá)到最小值。

從（1）式中解出u（t）代入（2）式，并將其寫成X（t），的泛函

（5）建立模型

暫不考慮條件（4），則（3），（5）構(gòu)成一個(gè)固有端點(diǎn)的泛函極值問(wèn)題，可用變分法求解。得到最優(yōu)解X(t),再代入方程（1）中即可得到最優(yōu)控制函數(shù)。

當(dāng)銷售量為常數(shù)時(shí),

為簡(jiǎn)化求解過(guò)程，設(shè)

（6）

下面我們用變分法求方程（5）的最優(yōu)解。

令：

以（6）式代入（5）式，根據(jù)歐拉方程

可以得到最優(yōu)解x（t）應(yīng)滿足方程：

即：

（7）建立模型

設(shè)方程（7）的解為

則顯然，

根據(jù)初值（3）可解得

,

所以方程（7）在端點(diǎn)條件（3）下的解為：

（8）

把（8）代入（1）可得：

（9）

上述兩式分別為最優(yōu)狀態(tài)函數(shù)和最優(yōu)控制函數(shù)。

建立模型

為了研究最優(yōu)解u（t）和x（t）之間的關(guān)系，由(9)和（8）兩式可以得到:

（10）

令T→∞,則對(duì)任意有限的t，上式右端組后一項(xiàng)趨于零，于是有：

（11）

最后考察約束條件（4），利用雙曲函數(shù)

,

建立模型

可以將(8)(9)兩式重新表示為：

（12）

（13）

根據(jù)（12）(13)式下圖畫出了最優(yōu)解x（t）和u（t）的示意圖

建立模型

由圖可以看出可以看出，只要

就有

即x（t）滿足條件（4）。

而給出的參數(shù)Xm，X0自然應(yīng)該有

另一方面，因?yàn)椋?/p>

所以只要：

有：

建立模型

在這樣的條件下(8)(9)兩式給出的x（t），u（t）也是考慮到約束條件（4）的原問(wèn)題的最優(yōu)解，因?yàn)樵诩s束條件的邊界上泛函極值問(wèn)題（3）（5）不可能得到優(yōu)于(8)(9)的解。但是，如果(8)(9)表示的x（t），u（t）越出了條件（4）的限制，模型求解將會(huì)變得十分復(fù)雜，變分法會(huì)無(wú)能為力。

模型的評(píng)價(jià)

優(yōu)點(diǎn)：從此模型中我們可以根據(jù)狀態(tài)x(貯存量)直接控制函數(shù)u(生產(chǎn)率)，而不涉及自變量t（時(shí)間），并且當(dāng)x增加時(shí)u減少，這種控制方式稱為狀態(tài)負(fù)反饋，它比形如（9）式的顯含t的控制函數(shù)應(yīng)用起來(lái)方便得多，因?yàn)橹恍枰鶕?jù)