山西省忻州市忻府區(qū)三交鎮(zhèn)三交中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.曲線y=在點(diǎn)（4，e2）處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為（）A． B．4e2 C．2e2 D．e2參考答案：D【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】利用導(dǎo)數(shù)求曲線上點(diǎn)切線方程，求直線與x軸，與y軸的交點(diǎn)，然后求切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積．【解答】解：∵曲線y=，∴y′=×，切線過(guò)點(diǎn)（4，e2）∴f（x）|x=4=e2，∴切線方程為：y﹣e2=e2（x﹣4），令y=0，得x=2，與x軸的交點(diǎn)為：（2，0），令x=0，y=﹣e2，與y軸的交點(diǎn)為：（0，﹣e2），∴曲線y=在點(diǎn)（4，e2）處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積s=×2×|﹣e2|=e2，故選D．2.設(shè)已知等差數(shù)列{an}滿足a1+a2+…+a101=0，則有（）A．a(chǎn)1+a101＞0 B．a(chǎn)2+a102＜0 C．a(chǎn)3+a99=0 D．a(chǎn)51=51參考答案：C考點(diǎn)： 等差數(shù)列的性質(zhì)．專題： 計(jì)算題；壓軸題．分析： 根據(jù)特殊數(shù)列an=0可直接得到a3+a99=0，進(jìn)而看得到答案．解答： 解：取滿足題意的特殊數(shù)列an=0，即可得到a3+a99=0選C．點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)．做選擇題時(shí)要合理選擇最恰當(dāng)?shù)姆椒晒?jié)省做題時(shí)間．3.設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1的直線分別交雙曲線左右兩支于點(diǎn)M，N，連結(jié)，，若，，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．參考答案：B結(jié)合題意可知，設(shè)，則，，則結(jié)合雙曲線的性質(zhì)可得，，，代入，解得，∴，，，對(duì)三角形運(yùn)用余弦定理，得到，解得．故選B．4.平面向量與的夾角為60°，

則（

）A．

B.

C.4

D.12參考答案：B略5.設(shè)全集U=R，集合A={x|1＜x＜4}，B={1，2，3，4，5}，則（CUA）∩B=（）A．{2，3} B．{1，2，3，4} C．{5} D．{1，4，5}參考答案：D【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．【分析】找出全集R中不屬于A的部分，求出A的補(bǔ)集，找出A補(bǔ)集與B的公共部分，即可確定出所求的集合．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|1＜x＜4}，∴CUA={x|x≤1或x≥4}，∵B={1，2，3，4，5}，則（CUA）∩B={1，4，5}．故選D6.的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為，則

A.

B.

C.

D.參考答案：B根據(jù)正弦定理可知，即，所以，選B.7.已知函數(shù)f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1﹣x（a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若對(duì)任意給定的x0∈（0，e]，在（0，e]上總存在兩個(gè)不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，則a的取值范圍是（）A．（﹣∞，] B．（﹣∞，]C．（，2） D．[，）參考答案：A【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】根據(jù)若對(duì)任意給定的x0∈（0，e]，在區(qū)間（0，e]上總存在兩個(gè)不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，得到函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上不單調(diào)，從而求得a的取值范圍．【解答】解：∵g'（x）=（1﹣x）e1﹣x，∴g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，e]上單調(diào)遞減，又因?yàn)間（0）=0，g（1）=1，g（e）=e2﹣e＞0，∴g（x）在（0，e]上的值域?yàn)椋?，1]．，當(dāng)時(shí)，f′（x）=0，f（x）在處取得最小值，由題意知，f（x）在（0，e]上不單調(diào)，所以，解得，所以對(duì)任意給定的x0∈（0，e]，在（0，e]上總存在兩個(gè)不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，當(dāng)且僅當(dāng)a滿足條件且f（e）≥1因?yàn)閒（1）=0，所以恒成立，由f（e）≥1解得綜上所述，a的取值范圍是．故選：A．8.設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí),f（x）=2x2－x，則f（l）=

A．3

B．-1

C．1

D．-3參考答案：9.（5分）某程序框圖如圖所示，若該程序運(yùn)行后輸出的值是，則（）A．a(chǎn)=3B．a(chǎn)=4C．a(chǎn)=5D．a(chǎn)=6參考答案：A【考點(diǎn)】：程序框圖．【專題】：圖表型；算法和程序框圖．【分析】：模擬執(zhí)行程序，依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到的S，k的值，當(dāng)S=，k=4時(shí)，由題意此時(shí)滿足條件4＞a，退出循環(huán)，輸出S的值為，結(jié)合選項(xiàng)即可得解．解：模擬執(zhí)行程序，可得S=1，k=1不滿足條件k＞a，S=，k=2不滿足條件k＞a，S=，k=3不滿足條件k＞a，S=，k=4由題意，此時(shí)滿足條件4＞a，退出循環(huán)，輸出S的值為，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查了程序框圖和算法，依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到的S，k的值是解題的關(guān)鍵，屬于基本知識(shí)的考查．10.已知拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上且，則△的面積為

（A）4

（B）8

（C）16

（D）32參考答案：D雙曲線的右焦點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)為，所以，即。所以拋物線方程為，焦點(diǎn),準(zhǔn)線方程，即,設(shè),過(guò)A做垂直于準(zhǔn)線于M,由拋物線的定義可知,所以,即,所以，整理得，即，所以，所以,選D.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.等于

參考答案：0略12.把函數(shù)y＝sin(2x＋)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，所得圖象的函數(shù)解析式為_(kāi)_______．參考答案：y＝2sin2x13.對(duì)于數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中.對(duì)自然數(shù)，規(guī)定為數(shù)列的階差分?jǐn)?shù)列，其中.⑴若，則

；⑵若，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為

__；參考答案：⑴4015；⑵.14.已知奇函數(shù)f（x），當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=log2（x+3），則f（﹣1）=．參考答案：﹣2考點(diǎn)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：根據(jù)給出的函數(shù)解析式求出f（1）的值，然后利用函數(shù)的奇偶性求f（﹣1）．解答：解：因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)，f（x）=log2（x+3），所以f（1）=log2（1+3）=2．又函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．故答案為﹣2．點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了函數(shù)的奇偶性，是基礎(chǔ)的運(yùn)算題．15.已知，函數(shù)若關(guān)于x的方程恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是 .參考答案：(4,8)分析：由題意分類討論和兩種情況，然后繪制函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合即可求得最終結(jié)果.詳解：分類討論：當(dāng)時(shí)，方程即，整理可得：，很明顯不是方程的實(shí)數(shù)解，則，當(dāng)時(shí)，方程即，整理可得：，很明顯不是方程的實(shí)數(shù)解，則，令，其中，原問(wèn)題等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求的取值范圍.結(jié)合對(duì)勾函數(shù)和函數(shù)圖象平移的規(guī)律繪制函數(shù)的圖象，同時(shí)繪制函數(shù)的圖象如圖所示，考查臨界條件，結(jié)合觀察可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

16.曲線C：在＝1處的切線方程為_(kāi)______．參考答案：17.已知集合若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．{1} B．（—，0） C．（1，+）

D．（0，1）參考答案：D三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)（為常數(shù)，2.71828……是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行.（1）求的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）設(shè)，其中為的導(dǎo)函數(shù)，證明：對(duì)任意，.參考答案：解：(1)由得由于曲線在處的切線與x軸平行，所以，因此…………3分（2）由(1)得，令當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，又，所以時(shí)，；時(shí)，.

因此的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,1），單調(diào)遞減區(qū)間為………………6分(3)證明因?yàn)?，所以因此?duì)任意等價(jià)于

由（2）知所以因此當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增.所以的最大值為

故設(shè)因?yàn)?，所以時(shí)，單調(diào)遞增，故時(shí)，即所以因此對(duì)任意……………12分略19..設(shè)函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，（1）證明：；（2）當(dāng)時(shí)，比較與的大小，并說(shuō)明理由；（3）證明：（）．參考答案：解：（1）證明：設(shè)，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取得唯一極小值因?yàn)?，所以?duì)任意實(shí)數(shù)均有．即，所以-----------------------------4分（2）解：當(dāng)時(shí)，．用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：①當(dāng)時(shí)，由（1）知。②假設(shè)當(dāng)（）時(shí)，對(duì)任意均有，令，，因?yàn)閷?duì)任意的正實(shí)數(shù)，，由歸納假設(shè)知，．即在上為增函數(shù)，亦即，因?yàn)?，所以．從而?duì)任意，有．即對(duì)任意，有．這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，也有．由①、②知，當(dāng)時(shí)，都有．證明1：先證對(duì)任意正整數(shù)，．由（2）知，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意正整數(shù)，都有．令，得．所以．再證對(duì)任意正整數(shù)，．要證明上式，只需證明對(duì)任意正整數(shù)，不等式成立．即要證明對(duì)任意正整數(shù)，不等式（*）成立……10分以下分別用數(shù)學(xué)歸納法和基本不等式法證明不等式①當(dāng)時(shí)，成立，所以不等式（*）成立．②假設(shè)當(dāng)（）時(shí)，不等式（*）成立，即．……………11分則．因?yàn)?/p>

所以．………13分這說(shuō)明當(dāng)時(shí)，不等式（*）也成立．由①、②知對(duì)任意正整數(shù)，不等式（*）都成立．綜上可知，對(duì)任意正整數(shù)，成立

---14分

略20.2022年北京冬奧會(huì)的申辦成功與“3億人上冰雪”口號(hào)的提出，將冰雪這個(gè)冷項(xiàng)目迅速炒“熱”．北京某綜合大學(xué)計(jì)劃在一年級(jí)開(kāi)設(shè)冰球課程，為了解學(xué)生對(duì)冰球運(yùn)動(dòng)的興趣，隨機(jī)從該校一年級(jí)學(xué)生中抽取了100人進(jìn)行調(diào)查，其中女生中對(duì)冰球運(yùn)動(dòng)有興趣的占，而男生有10人表示對(duì)冰球運(yùn)動(dòng)沒(méi)有興趣額．（1）完成2×2列聯(lián)表，并回答能否有90%的把握認(rèn)為“對(duì)冰球是否有興趣與性別有關(guān)”？

有興趣沒(méi)興趣合計(jì)男

55女

合計(jì)

（2）已知在被調(diào)查的女生中有5名數(shù)學(xué)系的學(xué)生，其中3名對(duì)冰球有興趣，現(xiàn)在從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，求至少有2人對(duì)冰球有興趣的概率．附表：0.1500.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635參考答案：（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表

有興趣沒(méi)有興趣合計(jì)男451055女301545合計(jì)7525100根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到所以有90%的把握認(rèn)為“對(duì)冰球是否有興趣與性別有關(guān)”．(2)記5人中對(duì)冰球有興趣的3人為A、B、C，對(duì)冰球沒(méi)有興趣的2人為m、n，則從這5人中隨機(jī)抽取3人，共有（A，m，n）（B，m，n）（C，m，n）（A、B、m）（A、B、n）（B、C、m）（B、C、n）（A、C、m）（A、C、n）（A、B、C）10種情況，其中3人都對(duì)冰球有興趣的情況有（A、B、C）1種，2人對(duì)冰球有興趣的情況有（A、B、m）（A、B、n）（B、C、m）（B、C、n）（A、C、m）（A、C、n）6種，所以至少2人對(duì)冰球有興趣的情況有7種，因此，所求事件的概率.

21.（本小題滿分14分）已知，設(shè)函數(shù)

2,4,6

（1）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求的值域.參考答案：解：（1）

∴的最小正周期為