山西省忻州市銀川學校2023年高二數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.原點和點（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：B略2..已知對任意實數，有，且時，，則時（）A． B．C．D．參考答案：B略3.“”是“”的A．充分不必要條件

B．必要不充分條件Ｃ．充要條件

Ｄ．既不充分又不必要條件參考答案：A4.對任意實數,直線與圓的位置關系是(

)A.相交

B.相切

C.相離

D.與K的值有關參考答案：A略5.設兩條直線的方程分別為x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的兩個實根，且0≤c≤，則這兩條直線之間的距離的最大值和最小值分別是（）A．， B．， C．， D．，參考答案：A【考點】兩條平行直線間的距離．【專題】直線與圓．【分析】利用方程的根，求出a，b，c的關系，求出平行線之間的距離表達式，然后求解距離的最值．【解答】解：因為a，b是方程x2+x+c=0的兩個實根，所以a+b=﹣1，ab=c，兩條直線之間的距離d=，d2==，因為0≤c≤，所以≤1﹣4c≤1，即d2∈[，]，所以兩條直線之間的距離的最大值和最小值分別是，．故選：A．【點評】本題考查平行線之間的距離的求法，函數的最值的求法，考查計算能力．6.“”是“方程表示橢圓”的（

）ks5uA．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：B7.甲、乙、丙、丁四人參加奧運會射擊項目選拔賽，四人的平均成績和方差如下表所示：從這四個人中選擇一人參加奧運會射擊項目比賽，最佳人選是(

*

).

A．甲

B．乙

C．丙

D．丁參考答案：C略8.拋物線的準線方程為，則的值為

（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B略9.若隨機變量，且，則（

）A.0.6 B.0.5C.0.4 D.0.3參考答案：A【分析】根據隨機變量X服從正態(tài)分布N（3，σ2），看出這組數據對應的正態(tài)曲線的對稱軸x=3，根據正態(tài)曲線的特點，即可得到結果．【詳解】∵隨機變量X服從正態(tài)分布N（3，σ2），∴對稱軸是x=3．∵P（X≥5）=0.2，∴P（1＜X＜5）=1﹣2P（X≥5）=1﹣0.4=0.6．故選：A．【點睛】本題考查正態(tài)曲線的形狀認識，從形態(tài)上看，正態(tài)分布是一條單峰、對稱的曲線，其對稱軸為x=μ，并在x=μ時取最大值從x=μ點開始，曲線向正負兩個方向遞減延伸，不斷逼近x軸，但永不與x軸相交，因此說曲線在正負兩個方向都是以x軸為漸近線的．10.函數所對應的曲線在點處的切線的傾斜角為A.

B.

C.

D.參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為、b、c,若，則cosA=

參考答案：12.已知數列的前n項和滿足，那么（

）A.1

B.9

C.10

D.55參考答案：A13.小明所在的高二年級共有1500名同學，現(xiàn)在以簡單隨機抽樣的方式抽取30名同學來填寫調查問卷，則小明被抽到的概率為

．參考答案：用簡單隨機抽樣從含有N個個體的總體中抽取一個容量為n的樣本時,每次抽取一個個體時任一個體被抽到的概率為；在整個抽樣過程中各個個體被抽到的概率為，故答案為.

14.若點P在曲線C1：上，點Q在曲線C2：(x－2)2＋y2＝1上，點O為坐標原點，則的最大值是

．參考答案：

設，則，．

．（其中）

15.若=1+i，i為虛數單位，則z的虛部為

．參考答案：﹣1【考點】A5：復數代數形式的乘除運算．【分析】直接由=1+i，得，然后利用復數代數形式的乘除運算化簡，則z的虛部可求．【解答】解：由=1+i，得=，則z的虛部為：﹣1．故答案為：﹣1．16.若中心在原點的雙曲線的一條漸近線經過點（3，﹣4），則此雙曲線的離心率為

．參考答案：或【考點】雙曲線的簡單性質．【專題】計算題；分類討論；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】根據中心在原點的雙曲線的一條漸近線經過點（3，﹣4），=或，利用離心率公式，可得結論．【解答】解：∵中心在原點的雙曲線的一條漸近線經過點（3，﹣4），∴=或，∴e==或．故答案為：或．【點評】本題考查雙曲線的簡單性質，考查學生的計算能力，比較基礎．17.某設備的使用年限x（年）和所支出的維修費用y（萬元），有如下表所示的統(tǒng)計資料：使用年限x（年）23456維修費用y（萬元）2.23.85.56.57.0由資料知y對x呈線性相關關系，則其回歸直線方程y=bx+a為________________(其中）參考答案：y=1.23x+0.08三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數 （1）求函數f（x）的最小正周期； （2）求函數f（x）的最大值及取得最大值時x的取值集合； （3）求函數f（x）的單調遞增區(qū)間． 參考答案：【考點】正弦函數的單調性；兩角和與差的正弦函數；三角函數的周期性及其求法；正弦函數的定義域和值域． 【專題】計算題． 【分析】（1）先運用三角函數的兩角和與差的正弦公式及二倍角公式將函數化簡為y=Asin（wx+ρ）+b的形式，根據T=可求出最小正周期； （2）因為f（x）取最大值時應該有sin（2x﹣）=1成立，即2x﹣=2kπ+，k∈Z，可得答案． （3）將2x﹣看做一個整體，根據正弦函數的性質可得，進而求出x的范圍，得到答案． 【解答】解：（1）∵ ∴f（x）= = =． ∵，即函數f（x）的最小正周期為π． （2）當（5分） 即時，f（x）取最大值1（7分） 因此f（x）取最大值時x的集合是（8分） （3）f（x）=． 再由， 解得． 所以y=f（x）的單調增區(qū)間為．（12分） 【點評】本題主要考查三角函數最小正周期的求法、正弦函數的定義域和值域和單調區(qū)間的求法，一般都是將函數化簡為y=Asin（wx+ρ）的形式，再根據三角函數的圖象和性質解題．19.觀察下列等式：，，，，……（1）依照上述4個式子的規(guī)律，歸納出第n個等式；（2）用數學歸納法證明上述第n個等式.參考答案：(1)第個等式為（2）要證明的等式即（i）當時，等號顯然成立（ii）假設時，等號成立，則當時，所以假設成立，綜上，.19.解：20.如圖2，在氣象站臺A的正西方向的B處有一臺風中心，該臺風中心以每小時的速度沿北偏東的BD方向移動，在距離臺風中心內的地方都要受到其影響.⑴臺風中心在移動過程中，與氣象臺A的最短距離是多少？⑵臺風中心在移動過程中，氣象臺將受臺風的影響，求臺風影響氣象臺的時間會持續(xù)多長？參考答案：解：（1）如圖，過A作AE⊥BD于E，由于臺風中心在BD上移動，所以AE就是氣象臺距離臺風中心的最短距離.在Rt⊿ABE中,AB=240,∠ABE=30°,∴AE=AB=120.所以臺風中心在移動過程中，與氣象臺A的最短距離是120km.（2）因為臺風中心以每小時的速度沿北偏東的BD方向移動，在距離臺風中心內的地方都要受到其影響,所以畫以A為圓心,為半徑的圓與直線BD相交于C,D兩點,那么線段CD就是氣象臺A受到臺風影響的路程.在Rt⊿ACE中,AC=130,AE=120,∴CE==50,∵AC=AD,AE⊥CD,∴CE=ED=50,∴CD=100.∴臺風影響氣象臺的時間會持續(xù)100÷50=2(小時).略21.【題文】（本小題滿分9分）在一個特定時段內，以點E為中心的10海里以內海域被設為警戒水域.點E正北40海里處有一個雷達觀測站A，某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點A北偏東30°且與點A相距100海里的位置B，經過2小時又測得該船已行駛到點A北偏東60°且與點A相距20海里的位置C.（I）求該船的行駛速度（單位：海里/小時）;（II）若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.判斷它是否會進入警戒水域，并說明理由.參考答案：（1）如圖建立平面直角坐標系：設一個單位為10海里

則坐標平面中AB=10，AC=2A(0,0)，E(0,－4)

再由方位角可求得：B(5,5)，C(3,)

所以|BC|=

所