2023/2/51雙曲線拋物線圓橢圓3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程——“傳說(shuō)中的”飛碟幾何代數(shù)圓:平面內(nèi)到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡.橢圓是滿足什么幾何條件的點(diǎn)的軌跡呢？數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)觀察并思考下面兩個(gè)問(wèn)題：(1)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)出的軌跡是什么？(2)動(dòng)點(diǎn)滿足怎樣的幾何條件？（1）在平面內(nèi)（2）到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離等于定長(zhǎng)(線總長(zhǎng)2a，∣MF1∣+∣MF2∣=2a)F1F2M（3）定長(zhǎng)2a

>|F1F2|結(jié)合實(shí)驗(yàn)以及“圓的定義”,思考討論應(yīng)該如何定義橢圓？它應(yīng)該包含幾個(gè)要素？※當(dāng)∣MF1∣+∣MF2∣=∣F1F2∣，動(dòng)點(diǎn)M軌跡為線段※當(dāng)∣MF1∣+∣MF2∣<∣F1F2∣，動(dòng)點(diǎn)M軌跡不存在說(shuō)明：※當(dāng)∣MF1∣+∣MF2∣＞∣F1F2∣，動(dòng)點(diǎn)M軌跡為橢圓

平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)(2a，大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．F1F2M1.橢圓的定義※這兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做橢圓的焦點(diǎn)※兩焦點(diǎn)的距離（∣F1F2∣=2c）叫做焦距OXYF1F2M步驟一：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)步驟二：找關(guān)系式，列方程步驟三：化簡(jiǎn)方程求曲線方程的步驟:2.橢圓方程的建立由橢圓的定義,可知：|MF1|+|MF2|=2a3.方程的推導(dǎo)由兩點(diǎn)間的距離公式，可知：xyOF2(c,0)F1(-c,0)M(x,y)因2a>2c，即a>c，故a2-c2>0，令a2-c2=b2，其中b>0，代入上式,可得：兩邊同時(shí)除以a2(a2-c2)

得：xyOF2(c,0)F1(-c,0)M(x,y)方程叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程4．橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程分析※焦點(diǎn)在x軸上※焦點(diǎn)坐標(biāo)是F1(-c，0)、F2(c，0)※b2=a2－c2．xyOF2(c,0)F1(-c,0)M(x,y)思考2023/2/5如果橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)是F1(0,-c)、F2(0,c)．方程是怎樣呢？xy這個(gè)也是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

由兩點(diǎn)間的距離公式，可知：xy設(shè)|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)為橢圓上任意一點(diǎn)，則有F1(0,-c)，F(xiàn)2(0,c)，又由橢圓的定義可得：

|MF1|+|MF2|=2aOxyMF1(-c,0)F2(c,0)yxOF1F2M(0,-c)(0,c)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的再認(rèn)識(shí)：（1）形式（2）三個(gè)參數(shù)滿足a2=b2+c2（3）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，x2與y2的分母哪一個(gè)大，則焦點(diǎn)在哪一個(gè)軸上1.判定下列橢圓的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸，并指明a2、b2，寫(xiě)出焦點(diǎn)坐標(biāo)答：在x

軸.（-3，0）和（3，0）答：在y軸.（0，-5）和（0，5）答：在y

軸.（0，-1）和（0，1）小試牛刀焦點(diǎn)在分母大的那個(gè)軸上從橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點(diǎn)位置：哪個(gè)分母大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)定義a、b、c關(guān)系焦點(diǎn)位置判斷xyF1F2POxyF1F2PO標(biāo)準(zhǔn)方程平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡是橢圓.問(wèn)題：根據(jù)表格比較兩種標(biāo)準(zhǔn)方程結(jié)構(gòu)之間的異同？課本練習(xí)例1

已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-2,0),(2,0),并且經(jīng)過(guò)點(diǎn).求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.解:因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上,所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為由橢圓的定義知所以又因?yàn)?所以因此,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為定義法另解:因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上,所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為:①②聯(lián)立①②,因此,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:又∵焦點(diǎn)的坐標(biāo)為待定系數(shù)法2023/2/522(3)(方法一)①當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí),優(yōu)化設(shè)計(jì)86頁(yè)例12023/2/523②當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí),2023/2/524利用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí),可設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m≠n,m>0,n>0).因?yàn)樗ń裹c(diǎn)在x軸上(m<n)或焦點(diǎn)在y軸上(m>n)兩類(lèi)情況,所以可以避免分類(lèi)討論,從而簡(jiǎn)化了運(yùn)算.【變式訓(xùn)練1】

求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(2,0)和(0,1);(方法二)設(shè)橢圓的方程為Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).解:(1)設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).因?yàn)闄E圓過(guò)(2,0)和(0,1)兩點(diǎn),【變式訓(xùn)練1】

求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(2,0)和(0,1);(2)(方法一)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上,探究二橢圓的定義及其應(yīng)用在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos

60°,即25=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|.①由橢圓的定義得10=|PF1|+|PF2|,即100=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|.②②-①,得3|PF1|·|PF2|=75,∴|PF1|·|PF2|=25,在本例中,把“∠F1PF2=60°”改為“∠F1PF2=90°”,其余條件不變,試求△PF1F2的面積.解:在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,∴25=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|,由橢圓的定義可知|PF1|+|PF2|=10,

例2

如圖，在圓上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡是什么？為什么？解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y）,點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0,y0）,則因?yàn)辄c(diǎn)P（x0,y0）在圓①把點(diǎn)ｘ0=x，y0=2y代入方程①，得即所以點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)橢圓.例3

如圖，設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(-5，0)和(5，0),直線AM,BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是,求點(diǎn)M的軌跡方程.yAxMBO解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)（x,y）,因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)是（-5,0）,所以,直線AM的斜率為同理，直線BM的斜率由已知有化簡(jiǎn)，得點(diǎn)M的軌跡方程為優(yōu)化設(shè)計(jì)88頁(yè)解析:設(shè)Q(x,y),P(x0,y0),由點(diǎn)Q是線段OP的中點(diǎn)知x0=2x,y0=2y.反思感悟

利用橢圓定義求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的三個(gè)步驟

【易錯(cuò)辨析】

忽略橢圓方程中的條件a>b而致誤以上解答過(guò)程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:錯(cuò)誤的原因是沒(méi)有注意橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中a>b這個(gè)條件,當(dāng)a=b時(shí),方程并不表示橢圓.隨堂練習(xí)A.4 B.5 C.8 D.10解析:|PF1|+|PF2|=2a=10.答案:DA.(±4,0) B.(0,±4)C.(±3,0) D.(0,±3)解析:橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,且c=3,故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,±3).答案:D3.已知橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,其上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為8,焦距為2,則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

.

答案:a>0,且a≠15.已知B,C是兩個(gè)定點(diǎn),|BC|=8,且△ABC的周長(zhǎng)為18,求這個(gè)三角形頂點(diǎn)A的軌跡方程.解:以過(guò)B,C兩點(diǎn)的直線為x軸,線段BC的中點(diǎn)為原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系.由|BC|=8,可知點(diǎn)B(-4,0),C(4,0).由|AB|+|BC|+|AC|=18,得|AB|+|AC|=10>|BC|=8.因此,點(diǎn)A的軌跡是以B,C為焦點(diǎn)的橢圓,這個(gè)橢圓上的點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為2a=10,即a=5,且點(diǎn)A不能在x軸上.由a=5,c=4,得b2=9.

圖形方程焦點(diǎn)F(±c，0)F(0，±c)a,b,c之間的關(guān)系c2=