第五章自適應(yīng)濾波系統(tǒng)

本章重點：掌握自適應(yīng)濾波器設(shè)計的基本思想（基本原理）;掌握基于LMS算法的自適應(yīng)濾波器設(shè)計方法；了解熟悉自適應(yīng)濾波器的應(yīng)用條件；掌握算法編程的技巧。Why？自適應(yīng)濾波維納濾波參數(shù)是固定的，適用于平穩(wěn)隨機信號。卡爾曼濾波器參數(shù)是時變的，適用于非平穩(wěn)隨機信號。然而，只有對信號和噪聲的統(tǒng)計特性先驗已知條件下，這兩種濾波器才能獲得最優(yōu)濾波。What？所謂的自適應(yīng)濾波，就是利用前一時刻已獲得濾波器參數(shù)等結(jié)果，自動地調(diào)節(jié)現(xiàn)時刻的濾波器參數(shù)，以適應(yīng)信號或噪聲未知的或隨時間變化的統(tǒng)計特性，從而實現(xiàn)最優(yōu)濾波。設(shè)計自適應(yīng)濾波器時可以不必要求預(yù)先知道信號和噪聲的自相關(guān)函數(shù)，而且在濾波過程中信號與噪聲的自相關(guān)函數(shù)即使隨時間作慢變化它也能自動適應(yīng)，自動調(diào)節(jié)到滿足最小均方差的要求（因此實際同WF及KF是一致的）。這些都是它突出優(yōu)點。需要已知的內(nèi)容：

輸入及理想的輸出（參考信號）Example：基于最陡下降法其中：其基本結(jié)構(gòu)可表示為：因此自適應(yīng)濾波器設(shè)計的是系統(tǒng)傳遞函數(shù)(或系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)),即系統(tǒng)的模型.同維納濾波器相似應(yīng)用需求（HOW？）§5.1LMS自適應(yīng)濾波器基本原理

(leastmeansquare)介紹了自適應(yīng)濾波器的結(jié)構(gòu)形式、物理意義及實質(zhì)，從而說明其實質(zhì)是同WF一致的，只是算法的思想不同。橫向結(jié)構(gòu)的FIR濾波器的物理意義系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為：語言可描述：輸出是N個所有過去各輸入的線性加權(quán)之和，其加權(quán)系數(shù)就是上式可等價為：

自適應(yīng)濾波器可看成是結(jié)構(gòu)如下的自適應(yīng)線性組合器：線性組合器（通用的結(jié)構(gòu)模型）橫向FIR結(jié)構(gòu)

橫向FIR自適應(yīng)濾波器簡化形式:

自適應(yīng)濾波器的工作原理介紹原則：最小均方差。需要求的是加權(quán)系數(shù)W推導(dǎo)的思路：將輸出y的表達式代入均方差公式中，對欲求的權(quán)系數(shù)求一階導(dǎo)數(shù)為零的值，即為最佳值。推導(dǎo)過程（驗證同KF一致性）令：則：

均方誤差的梯度（用表示）

就可得到最佳權(quán)矢量，用表示，即上式是維納-霍夫方程的矩陣形式，說明自適應(yīng)濾波同ＷＦ是一致的．因此關(guān)鍵在于怎樣能簡便地尋找，或者說用什么樣的算法來求得，最常用的算法是所謂最小均方(LeastMeanSquare)算法，簡稱LMS算法。其他的一些算法(RLS遞推最小二乘)，自己看參考書。§５.2LMS算法（遞推算法）最陡下降法原理在最佳值的左面：在最佳值的右面：由上面的討論得出以下結(jié)論：1：自適應(yīng)濾波的結(jié)果同維納濾波器的結(jié)果一致，均滿足正交定理。2：自適應(yīng)濾波器設(shè)計可采用遞推的方法求出最佳的權(quán)系數(shù)W；且可表示為算法簡單，不涉及矩陣的復(fù)雜運算。3：該方法的關(guān)鍵技術(shù)是如何適時地求得（或估計）梯度在實際中，為了便于實時系統(tǒng)實現(xiàn)，取單個樣本誤差的平方的梯度作為均方誤差梯度的估計

上兩式的這種算法即稱為：LMS算法該算法的好處：只存在乘法和加法，簡單易于實時系統(tǒng)的實現(xiàn)。

應(yīng)用LMS算法的自適應(yīng)橫向濾波器示于下圖。3.2.2能使LMS算法收斂于的μ（收斂因子）值范圍本節(jié)討論以下問題：μ的作用：控制穩(wěn)定性和收斂速度的參量1?？刂茀?shù)μ是否可以任意選取，只要大于零就行嗎？2。其大小影響了算法的那些方面？3。具體在濾波器的實際設(shè)計中，應(yīng)如何確定？1。先討論LMS算法收斂于的條件上式要收斂必須滿足：所以收斂的充分條件可以寫成2。μ是一個控制穩(wěn)定性和收斂速度的參量

，其對收斂的影響一維情況下關(guān)系定量分析計算：有以下結(jié)論：1：在<的范圍內(nèi)，當(dāng)μ取得愈大，有愈大，收斂愈快。2；在滿足<<2條件下的μ，最后仍可收斂于。圖3.2.4(a)表示在這種情況收斂的過程（這種情況稱為欠阻尼情況。對應(yīng)于欠阻尼情況，（1）情況成為過阻尼）。當(dāng)μ選得過大，使>2時，此時將不能收斂于５.2.3LMS算法的動態(tài)特性—學(xué)習(xí)曲線及其時間常數(shù)５.2.4梯度噪聲及其所引起的失調(diào)量[例]設(shè)M=10%（一般M=10%可以滿足大多數(shù)工程設(shè)計的要求）并設(shè)N=10，問應(yīng)該取多少次迭代數(shù)？[解]按式得 所以（以迭代次數(shù)計）按經(jīng)驗實際迭代次數(shù)應(yīng)取100（=10濾波器長度N）或取3~5倍?！欤?3應(yīng)用－－自適應(yīng)抵消器§3.4自適應(yīng)抵消器作為陷波器的例子

§3.5自適應(yīng)濾波系統(tǒng)在信號處理中的其它應(yīng)用3.5.1自適應(yīng)仿模（Adaptivemodeling）系統(tǒng)3.5.2自適應(yīng)逆濾波系統(tǒng)3.5.3參考輸入是延時k步的原始輸入的自適應(yīng)抵消器

%自適應(yīng)濾波程序echooff;t=(0:.01:10-0.01)';n=size(t);d=0.5*sin(2*pi*t);%參考信號noise=rand(n)-0.5;%干擾信號x=d+noise;%輸入信號M=20;%濾波器長度u=0.002;%收斂因子w=zeros(M);

fork=1:M%序列長度小于濾波器階數(shù)y(k)=0;fori=1:k-1y(k)=y(k)+w(i)*x(k-i);ende=d(k)-y(k);fori=1:k-1w(i)=w(i)+2.0*u*e*x(k-i);endendfork=M+1:n%序列長度大于濾波器階數(shù)y(k)=0;fori=1:My(k)=y(k)+w(i)*x(k-i);ende=d(k)-y(k);fori=1:Mw(i)=w(i)+2.0*u*e*x(k-i);endend

figure(1);plot(t,x,'b',t,y,'r',t,d,'k');xlabel('時間t');ylabel('幅值');自適應(yīng)濾波實驗輸入是信噪比為1的信號，其中，v(i)是均值為零，方差為1的高斯噪聲。在這里，我們就直接認為參考信號d(i)＝s(i)，濾波器的長度設(shè)置為20點。收斂因子u=0.005。其MATLAB源程序如下所示：%自適應(yīng)濾波的演示程序%參考的系統(tǒng)如下：%實際輸入信號x(n)=2^0.5*sin(0.05*pi*n)+v(n),%v(i)是均值為零，方差為1的高斯噪聲,實際輸入信號的信噪比是1%參考信號直接設(shè)為d=s;%收斂因子u=0.0005%濾波器的長度為20點，即w的長度是20點n=0:0.1:120;%系統(tǒng)賦初值s=2^0.5*sin(0.05*pi*n);%有用信號v=1*randn(size(n));%噪聲信號x=s+v;%實際的輸入信號d=s;%參考信號u=0.0005;%收斂因子fori=1:20,w(i)=0;%w(i)的初值都設(shè)置為0endfori=1:1200,%對y賦初值為0y(i)=0;endfori=1:1200,ifi<20forj=1:i,y(i)=y(i)+w(j)*x(i+1-j);%用卷積求y(i)ende=d(i)-y(i);forj=1:i,w(j)=w(j)+2*u*e*x(i+1-j);%修正w(n)endelseforj=1:20,y(i)=y(i)+w(j)*x(i+1-j);%用卷積求y(i)ende=d(i)-y(i);forn=1:20;w(n)=w(n)+2*u*e*x(i+1-n);%修正w(n)endendendn