第9章力矩分配法教學(xué)目標(biāo)理解力矩分配法的基本原理掌握應(yīng)用力矩分配法求解連續(xù)梁和無線位移剛架的桿端彎矩并作彎矩圖了解超靜定結(jié)構(gòu)的特性Contents目錄力矩分配法的基本概念1多結(jié)點(diǎn)的力矩分配法3單結(jié)點(diǎn)的力矩分配法2超靜定結(jié)構(gòu)特性4力矩分配法的基本概念§9.1前兩章介紹了計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的兩種基本方法：力法和位移法。用力法和位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)都要建立和求解聯(lián)立方程，當(dāng)未知量數(shù)目較多時(shí)，這項(xiàng)計(jì)算工作將十分繁重。為了避免求聯(lián)立方程，尋求更適合手算的方法，人們提出了許多方法，如力矩分配法、無剪力分配法、迭代法等。這些方法都屬于位移法類型的漸近解法。限于篇幅，本章僅介紹力矩分配法。力矩分配法的理論基礎(chǔ)是位移法，它是直接以桿端彎矩為計(jì)算對(duì)象的一種漸進(jìn)解法。其特點(diǎn)是在計(jì)算過程中無需建立和求解方程，而是以逐次漸進(jìn)的方式來計(jì)算桿端彎矩；計(jì)算結(jié)果的精確度隨計(jì)算輪次的增加而提高；每輪的計(jì)算都是按照同樣的步驟重復(fù)進(jìn)行。相對(duì)力法和位移法，其計(jì)算過程較為直觀。力矩分配法適用于求解無結(jié)點(diǎn)線位移的超靜定梁及剛架。在力矩分配法中，內(nèi)力正負(fù)號(hào)的規(guī)定和位移法的規(guī)定一致。力矩分配法的基本概念§9.11.轉(zhuǎn)動(dòng)剛度S轉(zhuǎn)動(dòng)剛度表示桿端抵抗轉(zhuǎn)動(dòng)的能力。為了使桿AB某一端（例如A端）轉(zhuǎn)動(dòng)單位轉(zhuǎn)角，在A端所加的力矩稱為AB桿A端的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度，以SAB表示。其中產(chǎn)生轉(zhuǎn)角的一端（A端）稱為近端，另一端稱為遠(yuǎn)端。對(duì)于等截面桿，轉(zhuǎn)動(dòng)剛度可以根據(jù)表9-1查得，如圖9.1所示。遠(yuǎn)端支撐情況轉(zhuǎn)動(dòng)剛度S傳遞系數(shù)C固定SAB=4i1/2鉸支SAB=3i0滑動(dòng)SAB=i-1自由SAB=0無意義表9-1等截面直桿的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度和傳遞系數(shù)力矩分配法的基本概念§9.12.傳遞系數(shù)傳遞系數(shù)表示當(dāng)近端有轉(zhuǎn)角時(shí)，遠(yuǎn)端彎矩與近端彎矩的比值，用符號(hào)C表示。對(duì)等截面直桿來說，傳遞系數(shù)C由遠(yuǎn)端支承情況決定，如圖9.2所示。其數(shù)值分別為：遠(yuǎn)端固定端：c=1/2；遠(yuǎn)端鉸支座：C=0；遠(yuǎn)端滑動(dòng)支座：C＝－1。（a）

（b）

（c）圖9.2力矩分配法的基本概念§9.13.分配系數(shù)通過實(shí)例說明分配系數(shù)的概念。如圖9.3（a）所示，在結(jié)點(diǎn)1上作用有一力偶M，使結(jié)點(diǎn)1產(chǎn)生轉(zhuǎn)角為θ，然后達(dá)到平衡。試求各桿近端（轉(zhuǎn)動(dòng)端）和遠(yuǎn)端（另端）的桿端彎矩。（a）

（b）

（c）圖9.3單結(jié)點(diǎn)的力矩分配法§9.2單結(jié)點(diǎn)的力矩分配法單結(jié)點(diǎn)的力矩分配法§9.2【例9-1】如圖9.5(a)所示為兩跨連續(xù)梁，試用力矩分配法求桿端彎矩，并作M圖。分配系數(shù)

固端（A）0.6670.333

鉸支(C)固端彎矩MF-4.004.00-4.50

0分配與傳遞0.17←———

+0.33+0.17

—————————→

0最后彎矩M-3.83

4.33-4.33

0多結(jié)點(diǎn)的力矩分配法§9.3多節(jié)點(diǎn)的力矩分配法

多結(jié)點(diǎn)時(shí)仍考慮先固定結(jié)點(diǎn)，求出不平衡力矩；再逐個(gè)結(jié)點(diǎn)放松，從不平衡力矩最大的結(jié)點(diǎn)開始，依次分配、傳遞，直至傳遞彎矩趨近于零；疊加各桿端的固端彎矩和分配或傳遞彎矩的最終桿端彎矩。計(jì)算步驟：固定剛結(jié)點(diǎn)，求固端彎矩和不平衡力矩；計(jì)算分配、傳遞系數(shù)；逐個(gè)結(jié)點(diǎn)進(jìn)行反號(hào)不平衡力矩的分配與傳遞；疊加求最終桿端彎矩；繪內(nèi)力圖。多結(jié)點(diǎn)的力矩分配法§9.3【例9-2】用力矩分配法計(jì)算圖9.6（a）所示兩結(jié)點(diǎn)多跨超靜定梁，畫出梁的彎矩圖。【解】（1）固定結(jié)點(diǎn)。固定結(jié)點(diǎn)B和C，計(jì)算各桿的固端彎矩。（2）計(jì)算B、C結(jié)點(diǎn)上的不平衡力矩。（3）計(jì)算分配系數(shù)。分別計(jì)算相交于結(jié)點(diǎn)B和結(jié)點(diǎn)C的各桿桿端的分配系數(shù)。（4）放松結(jié)點(diǎn)，計(jì)算分配彎矩和傳遞彎矩，填入計(jì)算表中，如圖9.6（b）所示。（5）停止分配、傳遞計(jì)算后，將桿端所有固端彎矩、分配彎矩、傳遞彎矩（即表中同一列的彎矩值）代數(shù)相加，得到桿端最終彎矩，如圖18.15（b）所示。（6）繪制梁的彎矩圖，如圖9.6（c）所示。多結(jié)點(diǎn)的力矩分配法§9.3【例9-3】用力矩分配法計(jì)算圖9.7（a）所示超靜定剛架，畫出剛架的彎矩圖。【解】（1）計(jì)算桿端分配系數(shù)（2）計(jì)算固端彎矩、分配彎矩及傳遞彎矩（3）繪制彎矩圖如圖9.7（d）所示。多結(jié)點(diǎn)的力矩分配法§9.3多結(jié)點(diǎn)的力矩分配法§9.3超靜定結(jié)構(gòu)的特性§9.4超靜定結(jié)構(gòu)的特性與靜定結(jié)構(gòu)比較，超靜定結(jié)構(gòu)具有以下一些重要特性。1.靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力只用靜力平衡條件即可確定,其值與結(jié)構(gòu)的材料性質(zhì)以及桿件截面尺寸無關(guān)。超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力單由靜力平衡條件則不能全部確定,還需同時(shí)考慮位移條件。所以，超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力與結(jié)構(gòu)的材料性質(zhì)以及桿件截面尺寸有關(guān)。2.在靜定結(jié)構(gòu)中，除了荷載作用以外,其他因素如支座移動(dòng)、溫度改變、制造誤差等，都不會(huì)引起內(nèi)力。在超靜定結(jié)構(gòu)中,任何上述因素作用,通常都能引起內(nèi)力。這是由于上述原因都將引起結(jié)構(gòu)變形,而此種變形由于受到結(jié)構(gòu)多余約束的限制，因而使結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生內(nèi)力。超靜定結(jié)構(gòu)的特性§9.43.靜定結(jié)構(gòu)在任一約束遭到破壞后,即喪失幾何不變性,因而就不再承受荷載。而超靜定結(jié)構(gòu)由于具有多余約束,在多余約束遭到破壞后,仍能保持其幾何不變性，因而還具有一定的承載能力。4.局部荷載作用對(duì)超靜定結(jié)構(gòu)比對(duì)靜定結(jié)構(gòu)影響的范圍大。例如圖9-8a)所示連續(xù)梁，當(dāng)中跨受荷載作用時(shí)，兩邊跨不僅發(fā)生彎曲變形，且產(chǎn)生內(nèi)力。而圖9-8b)所示多跨靜定梁，受同樣荷載作用時(shí)，兩邊跨只隨著轉(zhuǎn)動(dòng)，但不產(chǎn)生內(nèi)力。因此,超靜定結(jié)構(gòu)比靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分布要均勻些。小結(jié)力矩分配法是建立在位移法基礎(chǔ)上的一種數(shù)值逼近法，不需要求解未知量。對(duì)于單結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)，計(jì)算結(jié)果是精確結(jié)果；對(duì)于兩個(gè)及以上結(jié)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)，力矩分配法是一種近似計(jì)算方法，但其誤差是收斂的，即是可以循環(huán)計(jì)算直至誤差在允許范圍內(nèi)。