第3章試驗的方差分析

方差分析（analysisofvariance，簡稱ANOVA）檢驗試驗中有關因素對試驗結果影響的顯著性試驗指標（experimentalindex）衡量或考核試驗效果的參數(shù)

因素（experimentalfactor）影響試驗指標的條件

可控因素（controllablefactor）水平（leveloffactor）因素的不同狀態(tài)或內(nèi)容

3.1單因素試驗的方差分析

（one-way

analysis

of

variance）3.1.1單因素試驗方差分析基本問題（1）目的：檢驗一個因素對試驗結果的影響是否顯著性（2）基本命題：設某單因素A有r種水平：A1，A2，…，Ar，在每種水平下的試驗結果服從正態(tài)分布在各水平下分別做了ni（i＝1，2，…，r）次試驗判斷因素A對試驗結果是否有顯著影響

（3）單因素試驗數(shù)據(jù)表試驗次數(shù)A1A2…Ai…Ar1x11x21…xi1…xr12x12x22…xi2…xr2…………………jx1jx2j…xij…xrj…………………nix1n1x2n2…xini…xrnr3.1.2單因素試驗方差分析基本步驟（1）計算平均值組內(nèi)平均值：總平均：（2）計算離差平方和①總離差平方和SST（sumofsquaresfortotal）表示了各試驗值與總平均值的偏差的平方和反映了試驗結果之間存在的總差異②組間離差平方和SSA（sumofsquareforfactorA）反映了各組內(nèi)平均值之間的差異程度由于因素A不同水平的不同作用造成的③組內(nèi)離差平方和SSe（sumofsquareforerror）反映了在各水平內(nèi)，各試驗值之間的差異程度由于隨機誤差的作用產(chǎn)生三種離差平方和之間關系：（3）計算自由度（degreeoffreedom）總自由度：dfT＝n－1組間自由度：dfA＝r－1組內(nèi)自由度：dfe＝n－r

三者關系：dfT＝dfA＋dfe（4）計算平均平方均方＝離差平方和除以對應的自由度MSA——組間均方MSe——組內(nèi)均方/誤差的均方（5）F檢驗服從自由度為（dfA,dfe）的F分布（Fdistribution）對于給定的顯著性水平，從F分布表查得臨界值F(dfA，dfe)

如果FA＞F(dfA，dfe)，則認為因素A對試驗結果有顯著影響否則認為因素A對試驗結果沒有顯著影響（6）方差分析表若FA＞F0.01(dfA，dfe)

，稱因素A對試驗結果有非常顯著的影響，用“**”號表示；若F0.05(dfA，dfe)

＜

FA＜F0.01(dfA，dfe)

，則因素A對試驗結果有顯著的影響，用“*”號表示；若FA＜F0.05(dfA，dfe)

，則因素A對試驗結果的影響不顯著單因素試驗的方差分析表差異源SSdfMSF顯著性組間（因素A）SSAr－1MSA＝SSA／（r－1）MSA／MSe組內(nèi)（誤差）SSen－rMSe＝SSe／（n－r）總和SSTn－1例3-1

：為考察溫度對某種化工產(chǎn)品得率的影響，選取了五種不同的溫度，在同一溫度下各做3次試驗，試驗數(shù)據(jù)如下表所示。試問溫度對得率有無顯著影響。溫度（℃）產(chǎn)品得率（%）6065707580909796848492939683868892938882解：（1）計算平均值依題意，本例為單因素試驗的方差分析，單因素為溫度，有5種水平，即r=5,在每種水平下做了3次試驗，故ni=3(i=1,2,…5)，總試驗次數(shù)n=15。有關平均值的計算如下表所示。溫度（℃）產(chǎn)品得率（%）試驗次數(shù)組內(nèi)和Ti組內(nèi)平均總平均606570758090979684849293968386889293888233333270282285255252909495858489.6（2）計算離差平方和（3）計算自由度（4）計算均方（5）F檢驗從分布表中查得F0.05(dfA,dfe)=F0.05(4,10)=3.48,F0.01(4,10)=5.99,所以FA>F0.05(4,10),FA>F0.01(4,10),因素A即溫度對產(chǎn)品得率有非常顯著的影響。差異源SSdfMSF顯著性溫度（組間）303.6475.915.2**誤差（組內(nèi)）50105.0總和353.614例3-1方差分析表例3-2：用火焰原子吸收光譜測定礦石中的鉍，研究酸度對吸光度的影響，試驗數(shù)據(jù)如下表所示。試由表中的數(shù)據(jù)評價酸度對吸光度的影響。含酸量/%吸光度和00.1400.1410.1440.42510.1520.1500.1560.1540.61220.1600.1580.1630.1610.64230.1750.1730.34840.1800.1840.1820.1860.732T2.Ti.T..差異源SSdfMSF顯著性組間0.0036940.000922173.64**組內(nèi)6.4×10-5125.31×10-6總和353.6143.1.3Excel在單因素試驗方差分析中的應用利用Excel“分析工具庫”中的“單因素方差分析”工具3.2雙因素試驗的方差分析討論兩個因素對試驗結果影響的顯著性，又稱“二元方差分析”。3.2.1雙因素無重復試驗的方差分析（1）基本命題

設在某試驗中，有兩個因素A和B在變化，A有r種水平A1,A2,…,Ar,B有s種水平B1,B2,…,Bs,在每一種組合水平(Ai,Bj)上做一次試驗，試驗結果為xij

(i=1,2,…,r;j=1,2,…,s)，所有xij相互獨立，且服從正態(tài)分布。因素B1B2…BsA1x11x12…x1sT1.A2x21x22…x2sT2.……………Arxr1xr2…xrsTr.T.1T.2T.sT..雙因素無重復試驗數(shù)據(jù)表表中，xij

(i=1,2,…,r;j=1,2,…,s)，其中，i表示A因素對應的水平，j表示B因素對應的水平，總試驗次數(shù)n=rs。（2）雙因素無重復試驗方差分析的基本步驟①計算平均值總平均：

Ai水平時：

Bj水平時：②計算離差平方和總離差平方和：因素A引起離差的平方和：因素B引起離差的平方和：誤差平方和：③計算自由度SSA的自由度：dfA＝r－1SSB的自由度：dfB＝s－1SSe的自由度：dfe＝（r－1）（s－1）SST的自由度：dfT＝n－1＝rs－1dfT＝dfA＋dfB＋

dfe④計算均方

⑤F檢驗FA服從自由度為（dfA,dfe)的F分布；FB服從自由度為（dfB,dfe)的F分布；對于給定的顯著性水平，查F分布表：F（dfA,dfe)，F(xiàn)（dfB,dfe)若FA＞F

（dfA,dfe)，則因素A對試驗結果有顯著影響，否則無顯著影響；若FB＞F

（dfB,dfe)，則因素B對試驗結果有顯著影響，否則無顯著影響；差異源SSdfMSF顯著性因素ASSAr－1因素BSSBs－1誤差SSe總和SSTrs－1⑥無重復試驗雙因素方差分析表無重復試驗雙因素方差分析表例3-3：為了考察PH值和硫酸銅溶液濃度對化驗血清中白蛋白與球蛋白的影響，對蒸餾水中的PH值（A）取了4個不同的水平，對硫酸銅溶液濃度（B）取了3個不同的水平，在不同水平組合下各測來了一次白蛋白與球蛋白之比，結果如下表所示，試檢驗兩個因素對試驗結果有無顯著影響。PH值硫酸銅溶液濃度B1B2B3A13.52.32.0A22.62.01.9A32.01.51.2A41.40.80.3差異源SSdfMSF臨界值顯著性因素A5.28931.76340.954.757**因素B2.22221.11125.805.143**誤差0.25860.043總和7.76911

方差分析表根據(jù)上表，F(xiàn)A＞F0.01

(3,6)，F(xiàn)B＞F0.01(2,6)，P-value<0.01,因素A和B對試驗結果都有非常顯著的影響3.2.2雙因素重復試驗的方差分析（1）基本命題雙因素試驗中，有時存在兩因素對試驗結果的聯(lián)合影響，即交互作用（A×B）。如果要檢驗交互作用對試驗指標的影響是否顯著，則要求在兩個因素的每一個組合(Ai,Bj)上至少做2次試驗。設在某試驗中，有A，B兩個因素在變化，A有r種水平A1,A2,…,Ar,B有s種水平B1,B2,…,Bs,為研究交互作用A×B的影響，在每一種組合水平(Ai,Bj)上重復做c(c≥2)次試驗(等重復性試驗)，每個試驗值記為xijk

(i=1,2,…,r;j=1,2,…,s;k=1,2,…,c)。因素B1B2…BsA1…A2………………Ar…雙因素重復試驗方差分析試驗表（2）雙因素重復試驗方差分析的基本步驟①計算平均值總平均：任一組合水平（Ai，Bj）上：Ai水平時：Bj水平時：②計算離差平方和總離差平方和：因素A引起離差的平方和：因素B引起離差的平方和：交互作用A×B引起離差的平方和：誤差平方和：③計算自由度SSA的自由度：dfA＝r－1SSB的自由度：dfB＝s－1SSA×B的自由度：dfA×B＝(r－1)(s－1)SSe的自由度：dfe＝rs(c－1)SST的自由度：dfT＝n－1＝rsc－1dfT＝dfA＋dfB＋

dfA×B＋

dfe④計算均方⑤F檢驗若FA＞F

（dfA,dfe)，則認為因素A對試驗結果有顯著影響，否則無顯著影響；若FB＞F

（dfB,dfe)，則認為因素B對試驗結果有顯著影響，否則無顯著影響；若FA×B＞F

（dfA×B,dfe)，則認為交互作用A×B對試驗結果有顯著影響，否則無顯著影響。⑥重復試驗雙因素方差分析表3.2.3Excel在雙因素方差分析中的應用（1）雙因素無重復試驗方差分析利用“分析工具庫”中的“無重復雙因素方差分析”工具（2）雙因素重復試驗方差分析利用“分析工具庫”中的“重復雙因素方