第4章空間問(wèn)題的有限元法4.1空間問(wèn)題（1）單元為塊體形狀。常用單元：四面體單元、長(zhǎng)方體單元、直邊六面體單元、曲邊六面體單元、軸對(duì)稱(chēng)單元。（2）結(jié)點(diǎn)位移3個(gè)分量。（3）基本方程比平面問(wèn)題多。3個(gè)平衡方程，6個(gè)幾何方程，6個(gè)物理方程。4結(jié)點(diǎn)四面體單元：是空間問(wèn)題最簡(jiǎn)單的單元，也是常應(yīng)變、常應(yīng)力單元，可以類(lèi)似平面問(wèn)題三結(jié)點(diǎn)三角形單元進(jìn)行分析。8結(jié)點(diǎn)長(zhǎng)方體單元：可以類(lèi)似平面四結(jié)點(diǎn)矩形單元進(jìn)行分析。8結(jié)點(diǎn)直邊六面體單元：可以類(lèi)似平面四結(jié)點(diǎn)任意四邊形等參元分析。20結(jié)點(diǎn)曲邊六面體單元：等參單元,可以類(lèi)似平面八結(jié)點(diǎn)曲邊四邊形等參元進(jìn)行分析。軸對(duì)稱(chēng)單元：一平面單元繞一對(duì)稱(chēng)軸旋轉(zhuǎn)形成的空間問(wèn)題。只需在rz平面劃分網(wǎng)格，就像平面問(wèn)題xy平面中的網(wǎng)格一樣，這樣這類(lèi)空間問(wèn)題可以得到簡(jiǎn)化。（環(huán)向位移等于零）4.2四結(jié)點(diǎn)四面體單元1、位移模式

單元結(jié)點(diǎn)位移向量

位移函數(shù)將上式中第1式應(yīng)用于4個(gè)結(jié)點(diǎn)，則由此可解出代定常數(shù)a1~a4再代回到式（4-3）的第1式，可得形函數(shù)u:

編號(hào)約定：當(dāng)沿i,j,m的方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，n在大拇指所指的方向采用同樣的方法，可得單元位移：

2、單元應(yīng)變將單元中位移（4-11）代入上式常量3、單元應(yīng)力彈性矩陣[D]:代入單元應(yīng)變計(jì)算公式，整理后：其中[S]為應(yīng)力矩陣，且：常量4、單元?jiǎng)偠染仃嚪謮K矩陣的形式

式中子矩陣[krs]為3×3的矩陣：5、等效結(jié)點(diǎn)荷載體積力與表面力的計(jì)算公式與平面三角形單元公式相似，可以采用靜力等效原則簡(jiǎn)化計(jì)算。ANSYS中Solid454.3二十結(jié)點(diǎn)六面體等參數(shù)單元由于精度高，容易適應(yīng)不同邊界，在平面問(wèn)題中常選用八結(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元。與此類(lèi)似，在三維問(wèn)題中常選用二十結(jié)點(diǎn)六面體等參數(shù)單元。如下圖。Solid95inANSYS四面體角錐體棱柱體1、位移模式采用與平面8結(jié)點(diǎn)四邊形等參元類(lèi)似的位移模式與坐標(biāo)變換式：其形函數(shù)為：2、單元中應(yīng)變子塊矩陣根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)規(guī)則，有

[J]為雅可比矩陣，其表達(dá)式為：3、單元中應(yīng)力4、單元?jiǎng)偠染仃?60X60)5、等效結(jié)點(diǎn)荷載（1）體積力單位體積力（2）面力某面面力4.4空間軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的有限元法對(duì)空間軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，常采用圓柱坐標(biāo)系。r表示徑向坐標(biāo)，z表示軸向坐標(biāo)，任一對(duì)稱(chēng)面為rz面。在有限元分析時(shí)，可采用軸對(duì)稱(chēng)的環(huán)形單元進(jìn)行。環(huán)形單元可以是任何平面單元，本節(jié)以三角形單元為例。PLANE25(四邊形),PLANE83(八結(jié)點(diǎn)四邊形)PLANE25PLANE831、位移模式軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的環(huán)向位移恒等于零，徑向r位移與軸向z位移不等于零。對(duì)于圖示情形，依照平面問(wèn)題的三角形單元分析，取位移模式為代入結(jié)點(diǎn)位移后，可解出a1-a6，再代入上式，得

x>r,y>z其中形函數(shù)：；

單元中位移2、單元中應(yīng)變根據(jù)彈性力學(xué)理論，空間軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的幾何方程為將u,w表達(dá)式代入上式，整理后式中其中

[B]矩陣中含有變量r，z，因此它不是常數(shù)矩陣，即軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的三角形環(huán)形單元不是常應(yīng)變單元。3、單元中應(yīng)力根據(jù)彈性力學(xué)理論，空間軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為彈性矩陣:單元中任意一點(diǎn)的應(yīng)力：4、單元?jiǎng)偠染仃囉捎诒环e函數(shù)與θ無(wú)關(guān)，故在三角形截面的環(huán)單元的積分可簡(jiǎn)化為在三角形截面上的積分。故有：

單元?jiǎng)偠染仃嚨姆e分參照?qǐng)D示分區(qū)，按下式采用數(shù)值積分的方法進(jìn)行

當(dāng)單元較小時(shí)，可把各個(gè)單元中的r，z近似看作常數(shù)，并且分別等于各單元形心的坐標(biāo)，即這樣，就可把各個(gè)單元近似地當(dāng)做常應(yīng)變單元

單元?jiǎng)偠染仃嘯k]的分塊形式其中的近似子矩陣為5、等效結(jié)點(diǎn)荷載類(lèi)似平面問(wèn)題。對(duì)于作用于三角形環(huán)單元上的體積力、表面力的等效結(jié)點(diǎn)力為：體力面力：（1）均布表面力設(shè)單元ij邊上作用均布表面力，其集度為l當(dāng)ri=rj

時(shí)，靜力等效原則(2)三角形分布表面力沿單元ij邊作用了三角形分布的表面力，表面力在i點(diǎn)集度為

當(dāng)ri=rj

時(shí)，靜力等效原則。2/3集中在i點(diǎn)，1/3集中在j點(diǎn)。習(xí)題：1，44.5鋼筋混凝土單元(Solid65)1、solid65單元：ANSYSSolid65單元專(zhuān)為混凝土、巖石等抗壓能力遠(yuǎn)大于抗拉能力的非均勻材料開(kāi)發(fā)的單元，最多可以定義3種不同的加筋材料?；炷辆哂虚_(kāi)裂、壓碎、塑性和蠕變能力，加筋材料只能受拉壓，不能受剪切力。同時(shí)假定鋼筋和混凝土粘接良好，鋼筋在混凝土中的布置以不同方向的體積配筋率形式表示。這就是所謂的整體模型。當(dāng)然，就ANSYS而言，也可采用分離式模型：混凝土用Solid65單元，鋼筋用Link單元或Pipe單元，可以引入彈簧單元來(lái)模擬粘接和滑移。2、solid65單元使用方法Solid65單元的混凝土材料參數(shù)在“材料模型”中定義，而鋼筋參數(shù)（材料號(hào)、體積率、放置方向）在“實(shí)常數(shù)”中定義，當(dāng)加固材料的編號(hào)為0或等于單元材料號(hào)時(shí)，將忽略加固材料。鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)模擬：縱筋密集區(qū)采用帶筋的solid65單元，而無(wú)筋區(qū)采用無(wú)筋65單元?；炷敛牧隙x：1）線性行為：彈模和波松比；2）非線性行為：等強(qiáng)硬化模型、隨動(dòng)強(qiáng)化模型Drcker

Prager(DP)模型；定義破壞準(zhǔn)則參數(shù)9個(gè)。鋼筋：雙線性隨動(dòng)硬化模型?；炷疗茐臏?zhǔn)則參數(shù)（9個(gè)）Shrcf-OP:張開(kāi)裂縫的剪力傳遞系數(shù)；(0－1，一般梁0.5，深梁0.25,剪力墻0.125）ShrCf-Cl:閉合裂縫的剪力傳遞系數(shù)（0.9-1.0);UnTensSt:抗拉強(qiáng)度f(wàn)tUnCompSt:單軸抗壓強(qiáng)度f(wàn)c

；BiCompSt：雙軸抗壓強(qiáng)度；

HydroPrs：靜水壓力;BiCompSt：靜水壓力下雙軸抗壓強(qiáng)度；UnCompSt：靜水壓力下單軸抗壓強(qiáng)度；TenCrFac:拉應(yīng)力衰減因子。注：低靜水壓力只需前4項(xiàng)。4.6ANSYS算例分析算例1（第2章例2）：簡(jiǎn)支梁，梁高3m,跨度18m，厚度1m，承受均布荷載10N/m2。已知E=20GPa，μ=0.167，采用solid45塊體單元計(jì)算應(yīng)力和變形。18m3mxyANSYS分析單元：45號(hào)單元建模：先建長(zhǎng)方體9×3×1，映射劃分網(wǎng)格：長(zhǎng)邊12段，高度6段，厚度2段。約束：對(duì)稱(chēng)面面約束Ux，支點(diǎn)邊線約束Uy。荷載：頂面加壓力10。Solu:Post1:算例2（僅彈性分析）鋼筋混凝土矩形板在板中作用2mm位移荷載，采用整體模型分析板的受力、開(kāi)裂等情況。材料：（1）混凝土E=2.4E4MPa