1第三章基本立體視圖第一節(jié)基本立體的三視圖

第二節(jié)平面與立體相交第三節(jié)兩曲面立體相交基本立體的分類

2

基本立體可分為平面立體和曲面立體兩種，機械上經(jīng)常使用的平面立體有棱柱體和棱錐體，曲面立體有圓柱體、圓錐體、圓球體和圓環(huán)體。第一節(jié)基本立體的三視圖

3基本體的投影

基本體可看成是由基本二維面域（多邊形、直角三角形、圓等形成的面域）沿直線拉伸，或繞某一軸線旋轉(zhuǎn)形成的。若基本體表面僅由平面組成，稱這樣的基本體為平面基本體；若基本體表面有曲面，稱這樣的基本體為曲面基本體。4表面全部由平面圍成的立體，稱為平面立體。平面立體上相鄰表面的交線稱為棱線。棱線與棱線的交點為頂點。平面立體主要分為棱柱和棱錐兩種。一、平面立體的三視圖(一)、棱柱(二)、棱錐5１.棱柱的三視圖(一)、棱柱

棱柱體是由形狀相同的兩個平面圖形構(gòu)成形體的上、下底面，將上、下底面的對應(yīng)端點連線，構(gòu)成若干矩形側(cè)棱面。例如下圖所示的幾何體為正六棱柱體，其上、下底面為正六邊形，側(cè)面的六條棱線相互平行且垂直于底面。棱柱的組成及投影示意底面?zhèn)壤饷鎮(zhèn)壤饩€返回7繪制棱柱體的視圖時，應(yīng)先畫出反映棱柱幾何特征的特征視圖，棱柱體的特征視圖是反映上、下底面實形的視圖。因此，作圖時應(yīng)先畫出正六棱柱體的俯視圖abcdef，然后根據(jù)棱柱的高度，作出上、下底面的主視圖（兩條水平線）；再根據(jù)側(cè)面棱線的水平投影a、b、c、d等，作出六條側(cè)面棱線的主、左視圖；主、左視圖中棱線都是豎直線，主視圖中b和(f)，c和(e)重合，左視圖中f“

和(e”

)，a”和(d”

),b“

和(c”

)重合。

在圖示位置時，六棱柱的兩底面為水平面，在俯視圖中反映實形。前后兩側(cè)棱面是正平面，其余四個側(cè)棱面是鉛垂面，它們的水平投影都積聚成直線，與六邊形的邊重合。繪制棱柱的三視圖返回

aa

ab

b

(b)點的可見性規(guī)定：若點所在的平面的投影可見，點的投影也可見；若平面的投影積聚成直線，點的投影也可見。

由于棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面上取點與在平面上取點的方法相同。返回2.棱柱表面上的點10１.棱錐的三視圖一個多邊形底面?zhèn)壤饷鏋槿切嗡袀?cè)棱線交于一點（二）、棱錐（三棱錐）返回棱錐體的構(gòu)型要素是構(gòu)成下底面的平面圖形和棱錐頂點，平面圖形各端點與棱錐頂點的連線，構(gòu)成棱錐的側(cè)棱線和側(cè)面，側(cè)棱線和側(cè)面可能是一般位置，也可能是特殊位置。12

繪制棱錐體的視圖時，應(yīng)先畫出反映棱錐幾何特征的特征視圖，棱錐體的特征視圖是下底面的實形投影。因此，作圖時應(yīng)先畫出三棱錐體的俯視圖abc，然后根據(jù)棱錐頂點的長、寬、高三個方向的定位尺寸L2、Y2、H，畫出頂點的三視圖s、s’

、s”

，由頂點向底面各端點連線即完成三視圖。

（a）立體圖（b）三視圖

棱錐體的視圖s's"ascba"繪制棱錐的三視圖a'c'b'(c")b"

棱錐處于圖示位置時，其底面ABC是水平面，在俯視圖上反映實形。側(cè)棱面SAC為側(cè)垂面，另兩個側(cè)棱面為一般位置平面。返回1"11'r'rIR第二點SABCb"s'a'Basc'b'(c")cs"bCASa"同樣采用平面上取點法。返回2.棱錐表面上的點sb"s'a'Bac'b'(c")cs"bCASa"1"1'I第二點yyEe’e返回16表面由曲面或曲面和平面所圍成立體，稱為曲面立體。常見曲面是回轉(zhuǎn)面，它是由一直線或曲線以一定直線為軸線回轉(zhuǎn)形成。由回轉(zhuǎn)曲面組成的立體，稱回轉(zhuǎn)體，如圓柱體、圓錐體、球體、圓環(huán)等。（一）、圓柱（二）、圓錐（三）、球（四）、圓環(huán)二、曲面立體的三視圖17幾何體上的曲面可以看成是動線的運動軌跡，動線稱為母線。曲面上任一位置的母線，稱為該曲面的素線。機械上經(jīng)常使用的四種曲面幾何體（圓柱面、圓錐面、圓球面和圓環(huán)面）均為母線繞固定軸線回轉(zhuǎn)所形成，這種曲面稱為回轉(zhuǎn)面。下圖中用粗實線畫出了這四種曲面的母線，用細點畫線畫出了回轉(zhuǎn)軸線。

機械上常用回轉(zhuǎn)面的母線和軸線AA1OO1

圓柱面上任一位置的母線稱為素線，可以說圓柱面上與軸線平行的任一直線稱為圓柱面的素線。(1)圓柱體的組成由圓柱面和兩底平面組成。

圓柱面是由直線AA1繞與它平行的軸線OO1旋轉(zhuǎn)而成。

這條運動的直線AA1稱為母線。母線上的各點繞軸線旋轉(zhuǎn)時，形成回轉(zhuǎn)面上垂直于軸線的緯圓。(2)圓柱面的形成返回(一)、圓柱主視轉(zhuǎn)向線

主視轉(zhuǎn)向輪廓線投影

側(cè)視轉(zhuǎn)向輪廓線投影側(cè)視轉(zhuǎn)向輪廓線圓柱面的集聚投影圓柱體的三面投影示意返回20圓柱的投影特征：圓柱面在某一投影面上有積聚性。1.圓柱的三視圖已知圓柱面上的點A和Ｂ的正面投影，求作它們的水平投影和側(cè)面投影。abb''a''返回2.圓柱表面上取點SAOO1

圓錐面上任一位置的母線稱為素線，可以說圓錐面上過錐頂?shù)娜我恢本€稱為圓錐面的素線。(1)圓錐體的組成由圓錐面和底面組成。

圓錐面是由直線AS繞與它相交的軸線OO1旋轉(zhuǎn)而成。

這條運動的直線AS稱為母線。母線上的各點繞軸線旋轉(zhuǎn)時，形成回轉(zhuǎn)面上垂直于軸線的緯圓。(2)圓錐體的形成返回(二)、圓錐主視轉(zhuǎn)向線

主視轉(zhuǎn)向輪廓線投影

側(cè)視轉(zhuǎn)向輪廓線投影側(cè)視轉(zhuǎn)向輪廓線圓錐體的三面投影示意返回s's''sa'已知圓錐面上的點A的正面投影，求作它們的水平投影和側(cè)面投影。素線法aa''返回2.圓錐表面上取點s's''sa'緯圓法aa''返回

球面上任一位置的母線圓稱為素線，可以說球面上任一以球心為圓心的圓是球面的素線。(1)球體的組成由球面組成。

球面是由圓繞與它的中心軸線OO1旋轉(zhuǎn)而成。

這條運動的圓線稱為母線。母線上的各點繞軸線旋轉(zhuǎn)時，形成回轉(zhuǎn)面上垂直于軸線的緯圓。(2)圓球面的形成OO1返回(三)、圓球體主視轉(zhuǎn)向線

主視轉(zhuǎn)向輪廓線投影

側(cè)視轉(zhuǎn)向輪廓線投影側(cè)視轉(zhuǎn)向輪廓線俯視轉(zhuǎn)向線俯視轉(zhuǎn)向輪廓線投影圓球體的三面投影示意返回已知圓球面上的點A的正面投影，求A的水平投影和側(cè)面投影。a''a'a返回1.圓錐表面上取點(1)圓環(huán)體的組成由圓環(huán)體組成。

圓環(huán)體是由圓繞偏離圓心的中心軸線旋轉(zhuǎn)而成。

這條運動的圓線稱為母線，圓環(huán)體上任一位置的母線圓稱為素線，母線上的各點繞軸線旋轉(zhuǎn)時，形成回轉(zhuǎn)面上垂直于軸線的緯圓。(2)圓環(huán)體的形成OO1返回動畫(四)、圓環(huán)體30圓環(huán)面的同心圓視圖中，最大圓是母線圓周上距旋轉(zhuǎn)軸最遠點旋轉(zhuǎn)所得，最小圓是母線圓周上距旋轉(zhuǎn)軸最近點旋轉(zhuǎn)所得，這兩個圓均可見，畫成粗實線；兩圓的中間用點畫線畫出的圓是母線圓圓心旋轉(zhuǎn)所得。兩個非圓視圖是以軸線對稱的兩個母線圓，和兩母線圓最高點連線與最低點連線所組成，兩母線圓的外半圓可見，應(yīng)畫實線，內(nèi)半圓不可見，應(yīng)畫虛線。1.圓環(huán)的三視圖31

在圓環(huán)面上取點也只能使用緯圓法。例

已知圓環(huán)面上點M的主視圖m’，

求點M的另外兩視圖。解：過m作水平直線，得緯線圓的正面投影，以緯線的正面投影長為直徑，在水平投影上畫圓即為過點M的緯線的水平投影。過m向下作垂線即可在緯圓的水平投影上求出m，再根據(jù)水平投影中的Y坐標，可求出點M的側(cè)面投影

。

圓環(huán)面的投影和環(huán)面上取點2.圓環(huán)表面上取點§4-1平面立體被截切

截切——用一個與立體相交的平面，截去立體的一部分。

截平面——用以截切立體的平面。

截交線——截平面與立體表面的交線。

截斷面——因截平面的截切，在立體上形成的平面。截斷面概念：截交線截平面一、平面與平面立體相交概念：第二節(jié)平面與立體相交截交線的性質(zhì)：截交線是一封閉的平面多邊形，它是截平面與立體表面的共有線。實質(zhì)：求兩平面的交線。求截交線的方法：

空間分析：分析截平面與立體的相對位置，確定截交線的形狀。分析截平面與投影面的相對位置。確定截交線的投影特性。

畫投影圖：求出平面立體上被截斷的各棱線與截平面的交點，然后順次連直線。求各棱線與截平面的交點的方法是棱線法。4?例1：求作四棱錐被截切后的水平投影和側(cè)面投影。分析：截平面為正垂面截交線的正面投影積聚為直線。截平面與四條棱線相交，從正面可直接找出交點。1'1"2"2'(4')3'3"作出各對應(yīng)點的投影，依次連接各點。

補全棱錐體的外形投影。4"132?

被截切后的投影圖：例2：正垂面截切六棱柱，完成截切后的三面投影。分析：由圖可知，截交線的正面投影積聚為一直線。水平投影，除頂面上的截交線外，其余各段截交線都積聚在六邊形上。1'12'（3'）234'（5'）451"2"3"4"5"6'（7'）676"7"完成后的投影圖例3：作四棱柱被截切后的投影。a'(b')baa"b"分析：四棱柱的上部被一個正垂面和一個側(cè)平面所截切，因四棱柱的四個棱面均垂直于水平面，截平面與棱線的交點均在棱面的投影上。此題還應(yīng)作出兩截平面的交線AB的投影。??BA

完成后的投影圖§4-2平面與回轉(zhuǎn)體相交截交線的性質(zhì)：

截交線是截平面和回轉(zhuǎn)體表面的共有線，截交線上任意點都是它們的共有點。

截交線是封閉的平面圖形。

截交線的形狀，取決于回轉(zhuǎn)體表面的形狀及截平面相對于回轉(zhuǎn)體軸線的位置。求截交線的方法和步驟：

分析回轉(zhuǎn)體的表面性質(zhì)、截平面與投影面的相對位置、截平面與回轉(zhuǎn)體的相對位置，初步判斷截交線的形狀及其投影特性。

求出截交線上的點，首先找特殊點，然后補充一般點。

補全輪廓線，光滑地連接各點，得到截交線的投影。二、平面與回轉(zhuǎn)體表面相交截交線的性質(zhì)：求截交線的方法和步驟：

截平面與圓柱面截交線的形狀取決于截平面與圓柱軸線的相對位置。P

截平面與圓柱軸線平行，截交線為矩形一、平面與圓柱體相交PH（一）平面與圓柱體相交P截平面與圓柱軸線傾斜截交線為橢圓P截平面與圓柱軸線垂直截交線為圓PvPv

例1：求斜切圓柱體的投影，已知正面和水平面投影，完成側(cè)面投影。1'?2'?1??2?1"2"?3'(4')?4??34"??3"a?a'(b')?b??a"b"?c'(d')??c?d?c"d"?

作圖過程：求特殊點即找最高、最低、最左、最右、最前、最后點可確定出橢圓長、短軸的端點。求一般點從正面投影上選取A、B、C、D四點分別求出水平面和側(cè)面投影。

光滑地連接各點。例2：已知圓柱截斷體的正面和側(cè)面投影，求水平投影。分析：圓柱的軸線是側(cè)垂線，截斷體分別由側(cè)平面、正垂面、水平面截切圓柱體而成的。側(cè)平面與圓柱軸線垂直，截交線為圓弧，其正面投影為直線，側(cè)面投影為圓弧。正垂面與圓柱軸線傾斜，截交線為部分橢圓，正面投影為直線，側(cè)面投影與圓重合。水平面與圓柱軸線平行截交線為矩形，正面、側(cè)面投影均直線。1'

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')?a"b"??ab?1"

·2例3：求開槽圓柱的左視圖。分析：槽是由三個截平面形成的，左右對稱的兩個截平面是平行于圓柱軸線的側(cè)平面，它們與圓柱面的截交線均為兩條直素線，與上底面的截交線為正垂線。另一個截平面是垂直于圓柱軸線的水平面，它與圓柱面的截交線為兩段圓弧。三個截平面間產(chǎn)生了兩條交線，均為正垂線。1'（2'）

?1??3'（4'）?45'（6'）

?566"?5"??3"?1"?3?4"2"??Pvθα

截平面與錐體的截切位置和軸線傾角不同，截交線的形狀不同。截平面垂直于圓錐軸線，傾角為θ=90ο，截交線為圓形。Pvθ截平面與圓錐軸線傾斜，傾角θ>α截交線為橢圓。二、平面與圓錐體相交（二）平面與圓錐體相交θαPvPv截平面與圓錐軸線傾斜面，傾角θ=α截交線為拋物線。截平面過錐頂截交線為三角形。αPv截平面與圓錐軸線平行或傾角θ<α，截交線為雙曲線。?例1：已知圓錐體的正面投影和部分水平面投影，求斜切圓錐體的水平投影和側(cè)面投影。

圓錐體的軸線為鉛垂線，截平面與圓錐軸線的傾角大于圓錐母線與軸線的夾角，截交線為橢圓。截平面是正垂面，截交線的正面投影為直線。?

aa'?

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?b?

a"b"?c'(d')?c"??

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kl??k"?k'l'?

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?完成后的三視圖作圖：1.求特殊點最低點A，最高點B；圓錐體的前后素線與截交線的正面投影的交點c‘d’重影為一點，其余兩面投影根據(jù)投影關(guān)系，求出；截交線的最前點K和最后點L，正面投影重影于a'b'的中點。2.求一般點。3.光滑連接各點的同面投影。例2：已知頂尖被截切后的正面和側(cè)面投影，求作水平投影。分析：頂尖頭是由相連的圓錐體和圓柱體被兩個平面截切而成，軸線為側(cè)垂線，截平面分別為側(cè)平面和水平面。側(cè)平面與圓柱軸線垂直，與圓柱的截交線為圓弧，正面投影為直線，側(cè)面投影為圓弧的實形。水平面與圓柱的截交線為開口矩形，與圓錐的截交線為雙曲線，其正面和側(cè)面投影均為直線。a'??b'(c')?a

a"??b"

c"??b?cd'e'?d"e"

e??df'??f"?fg'h'??g"?h"?g

h?

球被平面截切，截交線均為圓。由于截平面位置不同，截交線的投影有二種情況：Ph

截平面為平行面，在所平行的投影面上的投影為截交線圓的實形。三、平面與球體相交（三）平面與圓球相交Pv

截平面為垂直面，在所垂直的投影面上，截交線的投影為直線。在其它投影面上截交線的投影為橢圓。例1：已知圓球體被截切后的正面投影，求作水平投影。a'b'?ba

??ef??cd?g'(h')??gh?分析：截平面為正垂面，截交線的正面投影為直線，水平投影為橢圓。作圖：1.求特殊點截交線的最低點A和最高點B也是最左點和最右點，還是截交線水平投影橢圓短軸的端點，水平投影a、b在其正面投影輪廓線的水平投影上。e'f'是截交線與球的水平投影輪廓線的正面投影的交點，其水平投影ef在球的水平投影輪廓線上。a'b'的中點c'd'是截交線的水平投影橢圓長軸端點的正面投影，其水平投影c、d投影在輔助緯圓上。2.求一般點選擇適當(dāng)位置作輔助水平面，與a'b'的交點g'、h'為截交線上兩個點的正面投影，其水平投影g、h投影在輔助緯圓上。e'(f')?c'(d')?例2：已知帶通槽半球的正面投影，完成水平和側(cè)面投影。分析：半球的通槽由三個平面構(gòu)成，一個水平面和兩個側(cè)平面截切圓球，它們與球面的截交線都是分別平行于投影面的圓弧。1、通槽的水平投影作圖：過槽底部作輔助水平面，水平投影為圓，并在圓周上截取與正面投影相對應(yīng)的前后兩段圓弧。2、通槽側(cè)面投影的作圖：兩側(cè)平面距球心等遠，兩圓弧的半徑相等，兩段圓弧的側(cè)面投影重合。作圖的關(guān)鍵是確定截交圓弧的半徑，可根據(jù)截平面位置確定?！锵嘭灳€性質(zhì)：

共有性——相貫線是兩立體表面的共有線。

表面性——相貫線位于兩立體的表面上。

封閉性——相貫線一般是封閉的空間曲線。兩回轉(zhuǎn)體的相交叫相貫，其表面產(chǎn)生的交線叫相貫線?！镒鲌D方法：找兩回轉(zhuǎn)體表面上的一系列共有點的投影。求共有點的方法有：積聚性法和輔助平面法。輔助平面法：根據(jù)三面共點原理，利用輔助平面求出兩回轉(zhuǎn)體表面上的共有點。第三節(jié)兩曲面立體相交相貫線的性質(zhì)：作圖方法：輔助平面法：★作圖步驟：

分析兩回轉(zhuǎn)體表面性質(zhì)，即兩回轉(zhuǎn)體相對位置和相交情況。求相貫線上的特殊點。求相貫線上的一般點。假想用輔助平面截切兩回轉(zhuǎn)體，分別得出兩回轉(zhuǎn)體表面的截交線，截交線的交點是相貫線上的點。★選擇輔助平面的原則：

使輔助平面與兩回轉(zhuǎn)體表面的截交線的投影是最簡單形狀（直線或圓）。一般選投影面平行面。作圖步驟：選擇輔助平面的原則：相交兩回轉(zhuǎn)體的相互位置不同可分為正交、偏交、斜交。例1：如圖示，求兩圓柱正交的相貫線。相貫線投影相貫線投影a'?b'?a"b"?a?b??c"d"??c'(d')?cd?1??21"(2")??1'?2'分析：兩圓柱體軸線垂直相交，其軸線分別為鉛垂線和側(cè)垂線，因此小圓柱的水平投影和大圓柱的側(cè)面投影都具有積聚性。相貫線的水平投影積聚在圓周上，側(cè)面投影積聚于圓周的一部分。一、兩圓柱相交作圖：求特殊點：