2/4/20231第二節(jié)用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分1.計(jì)算型積分.2.計(jì)算型積分3.計(jì)算型積分某些實(shí)函數(shù)的積分難以直接計(jì)算，可設(shè)法化為復(fù)變閉合曲線積分，然后在利用留數(shù)定理計(jì)算積分值，這時(shí)計(jì)算某些實(shí)積分的有效途徑之一。

1、計(jì)算形如的積分例1解：思考題計(jì)算積分引理6.1：

2、計(jì)算形如的積分為互質(zhì)多項(xiàng)式,且滿足條件:(1)n-m≥2;

定理6.7

設(shè)為有理分式,其中0xa2aka1yza3a4xy..這里可補(bǔ)線(以原點(diǎn)為中心,R為半徑的在上半平面的半圓周)與一起構(gòu)成封閉曲線C,f(z)在C及其內(nèi)部除去有限孤立奇點(diǎn)外處處解析.取R適當(dāng)大,使f(z)所有的在上半平面內(nèi)的極點(diǎn)都包在這積分路線內(nèi).分析可先討論最后令即可.根據(jù)留數(shù)定理得:當(dāng)充分大時(shí),總可使例2解引理6.2（Jordan引理）：

3、計(jì)算形如的積分則(2)Q(x)≠0,xR;(3)m>0.(*)定理6.8

設(shè)，其中P(z)及Q(z)是互質(zhì)多項(xiàng)式且滿足條件(1)Q(z)的次數(shù)比P(z)的次數(shù)高；特別說(shuō)來(lái),將(*)分開(kāi)實(shí)虛部,就可以得到形如:例3解:192/4/20234.計(jì)算上連續(xù),且型積分Sr引理6.3

設(shè)f(z)在圓弧于Sr上一致成立,則有證因,于是有分析類(lèi)似于引理6.1.（小圓弧引理）例5計(jì)算積分分析

因在實(shí)軸上有一級(jí)極點(diǎn)應(yīng)使封閉路線不經(jīng)過(guò)奇點(diǎn),所以可取圖示路線:解封閉曲線C:由柯西-古薩定理得:

定理6.2.3（推廣的留數(shù)定理)例6假設(shè)已知泊松積分計(jì)算反常積分有時(shí)要用種種不同的方式來(lái)選擇積分路徑證明弗萊聶爾(Frensnel)積分公式證如圖路徑，令兩端實(shí)部與虛部分別相等，得2/4/202327第三節(jié)輻角原理及即應(yīng)用6.3.1對(duì)數(shù)留數(shù)6.3.2輻角原理6.3.3儒歇定理282/4/2023定義：形如的積分稱(chēng)為f(z)的對(duì)數(shù)留數(shù)。注:函數(shù)f(z)的零點(diǎn)和奇點(diǎn)都可能是的奇點(diǎn).6.3.1對(duì)數(shù)留數(shù)引理6.4(1)設(shè)a為f(z)的n級(jí)零點(diǎn),

(2)設(shè)b為f(z)的m級(jí)極點(diǎn)，則b則a必為函數(shù)的一級(jí)極點(diǎn),且必為函數(shù)

的一級(jí)極點(diǎn),且證312/4/2023

定理6.9

設(shè)C是一條圍線，f(z)滿足條件:(1)f(z)在C的內(nèi)部是亞純的;(2)f(z)在C上解析且不為零；則有式中N(f,C)與P(f,C)分別表示f(z)在C內(nèi)部的零點(diǎn)與極點(diǎn)的個(gè)數(shù).注意:m級(jí)的零點(diǎn)或極點(diǎn)算作m個(gè)零點(diǎn)或極點(diǎn).[證畢]由引理和留數(shù)定理，得例求

。

解

例求

。

解法二令

，則

為

的一級(jí)零點(diǎn),

.不一定為簡(jiǎn)單閉曲線,其可按正向或負(fù)向繞原點(diǎn)若干圈.

對(duì)數(shù)留數(shù)的幾何意義2.輻角原理單值函數(shù)等于零結(jié)論:(k總為整數(shù))對(duì)數(shù)留數(shù)的幾何意義是繞原點(diǎn)的回轉(zhuǎn)次數(shù)k由定理6.9及對(duì)數(shù)留數(shù)的幾何意義得可計(jì)算f(z)在C內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)此結(jié)果稱(chēng)為輻角原理392/4/2023如f(z)在圍線C上及C內(nèi)部均解析,且f(z)在C上不為零,則6.3.2輻角原理(2)

f(z)在C內(nèi)是亞純的(3)f(z)在C上連續(xù)且不為零,則設(shè)(1)C是一條圍線例1

,試驗(yàn)證輻角原理。

證

故輻角原理成立。

412/4/2023定理6.10(儒歇(Rouche)定理)6.3.3儒歇(Rouche)定理設(shè)C是一條圍線,函數(shù)f(z)及(z)滿足條件:

(1)它們?cè)贑的內(nèi)部均解析,且連續(xù)到C;(2)在C上,|f(z)|>|(z)|則f(z)與f(z)+(z)在C內(nèi)部有同樣多的零點(diǎn),即證在C內(nèi)部解析[證畢]例2:設(shè)n次多項(xiàng)式p(z)=a0zn+…+atzn-t+…+an(a0≠0）滿足條件：|at|>|a0|+…