第5章靜定結構位移的計算一、變形與位移變形：結構形狀的改變。位移：結構上某點位置的移動和截面轉動。5.1

概述位移線位移角位移水平位移豎向位移二、產生位移的原因：荷載；（集中荷載、均布荷載、力偶）支座移動、轉動；溫度改變；制造誤差等。廣義荷載還有什么原因會使結構產生位移?

根據產生位移的原因，

位移可分為：

剛體位移變形體位移靜定多跨梁的支座A有一給定位移CA，

桿AC繞B點轉動，桿CD繞D點轉動。有位移無應變ABCD剛體位移變形體位移

簡支梁在載荷q作用下，各點產生線位移；同時梁內彎矩M產生的曲率k和應變e。（曲率半徑）有位移有應變三、計算位移的目的：1、剛度校核：考察結構在給定荷載作用下的位移是否滿足使用要求。2、超靜定結構內力計算的基礎；3、結構的制作、架設、養(yǎng)護等施工過程中也往往需要預先知道結構的變形情況，以便采取一定的施工措施。在工程上，吊車梁允許的撓度<1/600跨度；高層建筑的最大位移<1/1000高度。最大層間位移<1/800層高。四、計算位移的方法和基本假設（1）幾何法：（2）利用虛功原理：2.基本假設（1）小變形假設；（2）線彈性（3）理想聯(lián)結1.方法功=力×位移位移=功/力一、功的概念：功=力乘以在力的方向上所發(fā)生的位移。力力偶廣義力線位移角位移廣義位移一點的線位移兩點的相對線位移一個截面轉角兩個截面相對轉角5.2變形體虛功原理單位荷載法總之：作功的力和位移都是廣義的。二、實功、虛功、虛位移：實功：力在自身所引起的位移上所作的功。虛功：力在力的方向上、在別的因素所引起的位移上所作的功。一、功的概念：注意：位移采用雙腳標表示：第一個腳標表示位置，第二個腳標表示產生位移的原因。P1的實功：P1的虛功：Δ12：虛位移二、實功、虛功、虛位移：注意：（1）屬同一體系；（2）均為可能狀態(tài)。即位移應滿足變形協(xié)調條件；力狀態(tài)應滿足平衡條件。（3）位移狀態(tài)與力狀態(tài)完全無關；力狀態(tài)位移狀態(tài)二、實功、虛功、虛位移：實功和虛功的區(qū)別：（1）實功是力在自身所引起的位移上所做的功；虛功是力在其它原因所引起的位移上所做的功。虛功并不是不做功，而是強調做功的力與產生位移的原因無關這一特點。（2）實功是變力做功，計算式中有系數(shù)1/2；虛功是常力做功，計算式中沒有系數(shù)1/2。（3）實功恒為正，虛功可正可負。虛位移應滿足的條件：虛位移應當是微小的；虛位移必須是變形可能的，即位移函數(shù)是連續(xù)的。二、實功、虛功、虛位移：三、變形體虛功原理：變形體處于平衡的充分必要條件是：對于任何虛位移，外力所作的虛功（虛外功）總和等于內力在虛變形上所作的虛變形功。（1）受力狀態(tài)和變形狀態(tài)是相互獨立的，二者彼此無關。（2）第一狀態(tài)滿足靜力平衡（內力并不一定是真實的）第二狀態(tài)滿足虛位移變形協(xié)調條件說明：（4）剛體虛功原理是特殊情況，即內力虛功為零的情況。（3）變形體虛功原理是變形體力學的普遍原理。四、虛功原理的兩種實用形式1、虛位移原理特點：受力真實，位移虛設。用途：用以計算真實受力狀態(tài)下的未知力，與平衡方程等效。YBYAXAΔΔ/2由虛功原理：虛功方程

平衡方程（4）剛體虛功原理是特殊情況，即內力虛功為零的情況。2、虛力原理特點：位移真實，受力狀態(tài)虛設。用途：用以求解真實位移狀態(tài)中的待求位移。ΔΔCV四、虛功原理的兩種實用型式求ΔCV。（一）支座移動對靜定結構的影響剛體位移：有位移無應變變形體位移：有位移有應變五、靜定結構由支座移動引起的位移計算求K點的豎向位移（二）基本公式

虛設力的方法：1、虛設力P的作用點為預求位移的點；虛設力的方向與欲求位移的方向一致；2、虛設力P的大小等于單位1，并稱這樣的力為單位力。實際位移狀態(tài)虛設的力狀態(tài)Ri的正向與Ci的正向一致剛體虛功原理：T=0六、單位荷載法：假設一單位力作為力狀態(tài)，利用虛功原理求位移的方法叫單位荷載法。虛設力狀態(tài)必須另外畫一個圖。虛力狀態(tài)的建立：六、單位荷載法：虛力狀態(tài)的建立六、單位荷載法：總之：求線位移集中力相對線位移加方向相反的一對集中力角位移集中力偶相對角位移加方向相反的一對集中力偶六、單位荷載法：（三）支座移動引起靜定結構位移的計算步驟:求單位力作用下的支反力利用公式求位移根據擬求位移作單位力狀態(tài)P=11/21/2Δ=-(-1/2*

Δ)=Δ/2求ΔCV。ΔΔCV例：圖示多跨靜定梁支座Ｂ發(fā)生沉陷a，求Ｅ截面的豎向位移DEV和Ｄ鉸兩側截面的相對轉角。1YBYC（2）求單位力作用下的支反力（3）利用公式,求位移解：1、求Ｅ截面的豎向位移（1）根據擬求位移作單位力狀態(tài)YA例：圖示多跨靜定梁支座Ｂ發(fā)生沉陷a，求Ｅ截面的豎向位移DEV和Ｄ鉸兩側截面的相對轉角。YBYC（2）求單位力作用下的支反力（3）利用公式,求位移解：（1）根據擬求位移作單位力狀態(tài)2、Ｄ鉸兩側截面的相對轉角()YA其微段ds的變形情況如圖：（一）圖示剛架由于外因作用，產生變形和位移如圖。求D點處的水平位移Δ。du稱為相對軸向變形；dj

稱為相對轉角；dv稱為相對剪切變形。5.3結構位移計算的一般公式一、

結構位移計算的一般公式結構在P=1單獨作用下，產生支反力`R1

、R2

、R3；（二）為了應用變形體虛功原理，建立單位力狀態(tài)即在D點沿所求位移方向虛設單位力P=1。微段ds兩端面所受內力分別為`N、

`M、`Q。一、

結構位移計算的一般公式（三）對來說，C1

就是虛位移；作、的虛位移。同理，C2、C3可看（b）狀態(tài)的所有外力在（a）狀態(tài)的虛位移上所作的虛功為：一、

結構位移計算的一般公式（四）的變形所作的虛變形功為：（b）狀態(tài)微段上的內力沿（a）狀態(tài)微段上總虛變形功為：一、

結構位移計算的一般公式變形體處于平衡的必要充分條得：件是：對于任何虛位移，外力所作的虛功總和等于內力在虛變形上所作的虛變形功。由變形體虛功原理：即，上式稱為計算結構位移的一般公式。一、

結構位移計算的一般公式一般公式的普遍性表現(xiàn)在：2.結構類型：梁、剛架、桁架、拱、組合結構；靜定和超靜定結構；1.位移原因：荷載、溫度改變、支座移動等；3.材料性質：線性、非線性；4.變形類型：彎曲變形、拉(壓)變形、剪切變形；5.位移種類：線位移、角位移；相對線位移和相對

位移。5.4靜定結構在荷載作用下的位移計算一、公式推導：結構位移計算的一般公式：求C點的豎向位移Δ。無支座位移:du、dj和dv分別表示實際荷載所引起的桿件微段ds上的相對軸向變形、彎曲變形和剪切變形。一、公式推導：當結構為線彈性結構時：E為彈性模量；A、I分別為桿件截面積和慣性矩；G為剪切彈性模量；k為應力沿截面不均勻系數(shù)，其值與截面形狀有關。最后得到：一、公式推導：二、實用公式：（一）符號含義：結構在虛設單位力作用下的內力；（一）梁、剛架：結構在實際荷載作用下的內力；（二）公式中的第一項是彎曲變形對位移的影響，

第二項是軸向變形的影響，第三項是剪切變形的影響。（二）桁架：一、公式推導：（三）拱的位移計算：對一般拱結構的位移計算不考慮剪切、軸向變形的影響，?。簩Ρ馄焦?、接近合理拱軸線的拱，應考慮軸向變形的影響：二、實用公式：（四）組合結構的位移計算：組合結構受力特點：1）梁式桿2）桁架桿位移計算公式：二、實用公式：（一）虛設相應的力狀態(tài)：線位移→集中力角位移→集中力偶（二）分別求出兩種狀態(tài)的內力（三）代入相應實用公式計算內力不同須分段來求。三、計算荷載作用下靜定結構位移步驟：（1）梁、剛架：（2）桁架：四、舉例：例1、求圖示結構中點C的豎向位移ΔCV。（EI=c）解：1.虛設相應的單位力狀態(tài)：3.分別求出兩種狀態(tài)下的內力，即求MP和`M:設以A點為坐標原點，取脫離體：2.求兩種狀態(tài)下的支反力：（一）梁、剛架的位移計算:4、代入公式求解：小結：1.符號：結果為正，說明位移方向與所設力方向一致；為負，則相反；2.列方程時，MP和`M的坐標應一致，內力方向假設應一致。3.積分時，當EI、荷載改變時，應分段積分；4.利用對稱性時，注意：必須兩種狀態(tài)均對稱。例2、試求圖示結構C端的水平位移ΔCH和角位移jc。（已知EI為常數(shù)）解：（1）虛設相應的單位力狀態(tài)：（2）分別求出兩種狀態(tài)的內力：分段：1.求ΔCH：分為AB、BC段：BC段：以C為原點：以B為原點：AB段：（3）代公式積分求值：（→）BC段：2.求jc。（1）虛設相應的單位力狀態(tài)：（2）分別求出兩種狀態(tài)的內力：分段：分為AB、BC段：BC段：以C為原點：例2、試求圖示結構C端的水平位移ΔCH和角位移jc。（已知EI為常數(shù)）AB段：（）以B為原點：（3）代入公式求解：BC段：（2）分別求出兩種狀態(tài)的內力：例、求圖示桁架2點的豎向位移Δ2V。（EA為已知）解：（1）虛設相應的單位力狀態(tài)：（2）由公式列表計算兩種狀態(tài)的內力：（二）桁架的位移計算:∴桿件號長度(m)1-261-352-352-452-563-464-55Σ單位荷載作用下結構的內力用截面法，截開1-2桿、2-3桿和3-4桿：用節(jié)點法，取1結點：由對稱性可得其余桿件軸力。實際荷載作用下結構的內力用截面法截開1-2桿、2-3桿和3-4桿：1結點：由對稱性可得其余桿件軸力。

5.5圖乘法一、問題的提出：梁和剛架：二、公式推導：現(xiàn)考察設AB桿段，由荷載所引起的

MP圖為曲線圖形，所引起的M圖為直線圖形?，F(xiàn)設單位彎矩圖的直線與基線交于O點，并設夾角為a。由單位力表示MP圖的面積ω對y軸的面積矩，它等于MP圖的面積ω乘以該圖形的形心到y(tǒng)軸的距離x0。y0表示`M圖中與MP圖的形心相對應的豎標。二、公式推導：三、公式應用條件：1、各構件是等截面直桿；2、各構件EI為常數(shù)；3、各構件MP、`M圖中至少有一個是直線圖形，而

y0則必須取自直線圖形。四、位移符號：ω與y0同側相乘為正，異側為負。五、幾種常見圖形的面積和形心的位置：ω=hl/2l/2l/2h二次拋物線ω=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次拋物線ω=hl/3二次拋物線ω=2hl/34l/5l/5hh三次拋物線ω=hl/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次拋物線ω=hl/(n+1)頂點頂點頂點頂點頂點六、圖乘法計算靜定結構位移的步驟：（一）建立相應的虛力狀態(tài)；（二）分別作出兩種狀態(tài)的M圖（即`M圖和MP圖）；（三）利用公式求位移。解：一、求jB。（一）建立相應的虛力狀態(tài)：（三）利用公式求位移：（二）分別作出`M、MP圖：二、求ΔCV：（一）建立相應的虛力狀態(tài)：（二）分別作出`M、MP圖：（三）利用公式求位移：()()規(guī)律1：當`M圖由若干直線組成時，應分段相乘。例1、求圖示簡支梁B端的轉角jB和跨中C點的豎向位移ΔCV。（已知EI為常數(shù)）一、求Δ

CV:（一）建立相應的虛力狀態(tài)：（三）利用公式求位移：（二）分別作出`M、MP圖：二、求jc

：（一）建立相應的虛力狀態(tài)：（二）分別作出`M、MP圖：（三）利用公式求位移：()()解：例2、求圖示剛架C點的豎向位移Δ

CV和轉角jc

。

例3、求圖示剛架C點的水平位移ΔCH。（EI=C）解：（一）建立相應的虛力狀態(tài)：（二）分別作出兩種狀態(tài)的M圖：（三）利用公式求位移：解法一：解法二：()規(guī)律2：與`M圖相乘。規(guī)律3：當MP

圖的形心不便確定時，可將該圖形分解為幾個易于確定形心的部分后再分別當MP圖和`M圖均為直線圖形時，y0可取自任一圖形。Fl/2l/2C例4求圖示梁C點的撓度。MFFlCF=1l/2l/6l6EIFl123=FlEIC212=△5Fl/6EIFl4853=Fl65×??llEIyC22210?è?××==Dw例5、求圖示剛架C點的ΔCH、ΔCV和轉角jc

。

1、求ΔCH:（1）建立相應的虛力狀態(tài)：（3）利用公式求位移：（2）分別作出兩種狀態(tài)的M圖：解：()2、求ΔCV：（1）建立相應的虛力狀態(tài)：（3）利用公式求位移：（2）分別作出`M圖和MP圖：()解：3、求jc

：解：（1）建立相應的虛力狀態(tài)：（2）分別作出兩種狀態(tài)的M圖：（3）利用公式求位移：()例6：求Δ

BH和轉角jA

。（EI=C）

解：（1）建立相應的虛力狀態(tài)：（2）分別作出兩種狀態(tài)的M圖：（3）利用公式求位移：1、求Δ

BH

：()（1）建立相應的虛力狀態(tài)：（2）分別作出兩種狀態(tài)的M圖：（3）利用公式求位移：2、求jA

：()5.6靜定結構由其他因素所引起的位移計算一、支座移動所引起的位移：

支座移動和轉動不引起靜定結構的應力和應變，但要引起剛體位移。`

Ri表示單位荷載作用下的支座反力。注意：當`Ri與Ci方向一致時，`RiCi為正；反之為負。單位統(tǒng)一化為國標。公式本身自帶負號。例：已知圖示三鉸剛架右邊支座B的豎向位移為ΔBV

=6cm（↓），水平位移為ΔBH

=4cm（→），?=12m，h=8m。試求由此支座移動所引起的A端截面的角位移jA。解：一、建立相應的虛力狀態(tài)：二、求出（一）以整體為研究對象：()()（二）從鉸C處切開，以右邊為研究對象：()()三、代入公式計算：()二、溫度改變所引起的位移計算：溫度改變時，材料只膨脹或收縮，并不產生剪

應變。`N、`M表示單位荷載作用下的軸力、彎矩值。當溫度變化與單位力作用下引起的構件軸線的伸、縮性相同時，第一項取正號，否則取負號；

當溫度變化引起的構件伸長側與單位力產生的彎矩引起的構件受拉側相同時，第二項取正號，反之，取負號。圖示結構，當外側溫度升高了t1，內側溫度升高了t2時，求ΔCV。a表示材料的線膨脹系數(shù)，ω表示單位荷載作用下內力圖的面積6.7互等定理一、功的互等定理：第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)的位移上所作的虛功，等于第二狀態(tài)的外力在第一狀態(tài)的位移上所作的虛功。二、位移互等定理：

在第一個單位力的方向上由于第二個單位力所引起的位移，等于在第二個單位力的方向上由于第一個單位力所引起的位移。注意：位移廣義位移線位移角位移單位力廣義單位力單位集中力單位集中力偶位移互等定理是功的互等定理的一個特例。三、反力互等定理：主要應用于超靜定結構。支座1由于支座2的單位位移所引起的支座反力等于支座2由于支座1的單位位移所引起