模塊三立體的投影

·機器零件一般都是由一些基本幾何體、切割體（基本幾何體與平面截交）和相貫體（兩個立體相交）按一定方式組合而形成的，如圖3-1所示。任務一基本幾何體任務二切割體任務三相貫體任務一基本幾何體任務引出·要想繪制和閱讀零件圖應首先從構成零件的最基本元素——基本幾何體開始。任務描述·最基本的簡單立體稱之為基本幾何體。·基本幾何體可分為平面立體和曲面立體兩大類，表面都是平面的立體，稱為平面立體；表面由曲面或曲面與平面所圍成的立體，稱為曲面立體。相關知識

一、平面立體的投影·平面立體是各表面都是由平面圖形構成的實體，面與面的交線稱為棱線，棱線與棱線的交點稱為頂點。（一）棱柱

1．棱柱的投影·以求正六棱柱的投影為例，其在投影系中的位置如圖3-2（a）所示，其頂面和底面為平行于水平投影面的正六邊形，6個棱面均垂直于底面。

（1）水平投影。（2）正面投影。（3）側面投影。

·機件中各種形狀的棱柱較多，圖3-3所示都屬于棱柱。

2．棱柱表面上取點·在棱柱（平面立體）表面上取點，其原理和方法與前面介紹的在平面上取點相同?！ぁ纠?-1】如圖3-4（a）所示，已知正六棱柱表面上點M的正面投影和N點的水平投影，求其另兩面投影，并判別可見性。解：由于正棱柱的各個表面都相對于投影面處于特殊位置，所以棱柱表面上點的投影均可利用平面投影的積聚性來作圖。·如圖3-4（b）所示，已知M點的正面投影，先作出其水平投影，再作側面投影。（二）棱錐

1．棱錐的投影

（1）正面投影。（2）水平投影。（3）側面投影。

2．棱錐表面上取點·【例3-2】如圖3-6（a）所示，已知三棱錐表面上M、N兩點的正面投影，求其水平投影和側面投影，并判別可見性。解：首先確定給定點所在表面?！び蓤D3-6（a）可知，由于m′不可見，所以可以確定點M在棱面SBC上，棱面SBC是側垂面，其側面投影積聚為直線s″c″（b″），因此可先求出點M的側面投影m″,再根據m′和m″即可求出m。·點N處在一般位置的棱面SAC上，需要通過在平面上作輔助線的方法，求出N點的另兩面投影?！ぞ唧w作圖如圖3-6（b）所示?！び捎诶饷鍿BC的水平投影可見，側面投影有積聚性，所以m和m″均可見。·而棱面SAC的三面投影都可見，因此點N的三面投影也均可見。3．棱錐臺的投影

二、曲面立體的投影（一）圓柱

1．圓柱的投影

（1）正面投影。（2）水平投影。（3）側面投影。

2．圓柱表面上取點·【例3-3】如圖3-9（a）所示，已知圓柱表面上A、B、C、D點的一面投影，求出點的另兩面投影，并判別可見性。解：由圖3-9（a）可知，A點位于圓柱面上，過給定的a′作垂直于X軸的投影連線，該投影連線與圓柱面的水平投影（圓）有兩個交點，因a′不可見，知A點在圓柱的后半部分上，故可確定a是A點的水平投影。·作45°輔助線，根據寬相等，高平齊的投影原理，可求出a″，由a′知A點在圓柱面左半部分上，所以a″可見?！ぞ唧w作圖順序如圖3-9（b）所示?！じ鶕o定的b′點的位置進行判斷，B點位于圓柱面的右、前半部分上，故b位于水平投影圓的右、前半部分圓周上，B點位于右半圓柱面上，故b″不可見?！ぞ唧w作圖如圖3-9（b）所示。·根據給定的c″點的位置進行判斷，C點位于圓柱面的側面投影轉向輪廓線，可直接根據點的投影規(guī)律求出c、c′，如圖3-9（b）所示?！じ鶕o定的d的位置進行判斷，D點位于圓柱體的端面上，因d不可見，可判斷D點位于圓柱體的底面上，據此可求出d′、d″，如圖3-9（b）所示。（二）圓錐

1．圓錐的投影

（1）正面投影。（2）水平投影。（3）側面投影。

2．圓錐表面上取點·【例3-4】如圖3-11所示，已知圓錐表面上M點的一面投影，求出點的另兩面投影，并判別可見性。解：

（1）用素線法作圖?！び蓤D3-11（a）可知，點M的正面投影m′給定，因為m′可見，所以M點應該在圓錐表面上的左前方?！み^m′在錐面上作素線SM的正面投影s′a′，再由s′a′作出水平投影sa和側面投影s″a″，最后根據直線上點的投影規(guī)律，作出m、m″。·因為點M在圓錐表面的左前方，所以m、m″均可見。（2）用緯圓法作圖。·由圖3-12（a）可知，點M的正面投影m′給定，因為m′可見，所以點M應該在圓錐表面上的右前方?！ぷ鲌D方法是：過點M在圓錐表面上作垂直于軸線的截面，得水平的輔助緯圓，此圓的正面投影積聚成一條直線，水平投影為圓，利用這個輔助緯圓，由m′作出m，再由m′、m作出（m″）?！ひ驗辄cM在圓錐表面的右前方，所以m可見，（m″）不可見。（三）圓球

1．圓球的投影

（1）正面投影。（2）水平投影。（3）側面投影。

2．圓球表面上取點·【例3-5】如圖3-14所示，已知圓球表面上K、M、N

3點的一面投影，求出點的另兩面投影，并判別可見性。解：由題給條件可見，點M的正面投影m′已知?！み^m′作球面上水平圓的正面投影，與球的正面投影的轉向輪廓線相交于1′、2′兩點，其長度等于水平圓的直徑，作出這個水平圓的水平投影，其水平投影反映實形。·然后根據點在這個水平圓上，由m′引鉛垂的投影連線，求出m，在側面投影上度量寬y1坐標，得出m″?！び捎邳cM在左上前四分之一球面上，所以m、m″都可見，如圖3-14（a）所示。·由圖3-14（b）中N點的水平投影n可知，點N在左上半球面上，且點N在球面的正面投影的轉向輪廓線上，根據點的投影規(guī)律，由n可直接作出n′和n″，而且n′和n″均可見?！膱D3-14（b）中K點的水平投影（k）可知，點K在右下后四分之一球面的一般位置上，過（k）作球面上正平圓的水平投影，與球水平投影的轉向輪廓線相交于兩點，其兩點之間的長度等于正平圓的直徑，作出這個正平圓的正面投影，其正面投影反映實形。·由（k）引鉛垂的投影連線，求出點K的正面投影（k′）?！と缓蟾鶕c的投影關系，在側面投影上度量寬y1坐標，求出K點的側面投影（k″）。·由于點K在右后下四分之一球面上，所以（k′）和（k″）均不可見。（四）圓環(huán)

1．圓環(huán)的投影

2．圓環(huán)表面上取點·【例3-6】如圖3-16（a）所示，已知圓環(huán)表面上A、B、C、D點的一面投影?！で蟪龈鼽c的另一面投影，并判別可見性。解：由圖3-16（a）可知，點A在上半個外環(huán)面上，過a′在圓環(huán)面上作一緯線，求出該緯線在水平投影面上的投影——緯圓，則點A的水平投影a在此緯圓上?！ひ騛′是可見的，故A點在前上半個外環(huán)面上，所以a可見。·具體作圖如圖3-16（b）所示。·其他各點均是特殊位置上的點，具體作圖可參見圖3-16（c）。（五）不完整立體的投影·圖3-17、圖3-18所示是工程上常見的幾種不完整曲面立體的投影。

三、基本幾何體的尺寸標注·圖3-19、圖3-20是常見基本幾何體的尺寸標注。任務二切割體任務引出·實際的機器零件有些部分并不是完整的基本幾何體，而是經過截切后的基本幾何體，稱為切割體，如圖3-21中的頂尖和撥叉軸就是由基本幾何體經平面切割而成的。任務描述·切割體是經過截切后的基本幾何體，求其投影的關鍵問題是求截平面與基本幾何體表面的交線——截交線。相關知識

一、切割體及截交線的概念·如圖3-22所示?！と魏谓亟痪€都具有以下兩個基本性質：

（1）任何基本幾何體的截交線都是一個封閉的平面圖形。（2）截交線是截平面與基本幾何體表面的共有線。二、平面切割體的投影·【例3-7】正五棱柱被截切，如圖3-23（a）、（d）所示，求作正五棱柱被截切后的投影。解：正五棱柱是被正垂面截切，正垂面截過了正五棱柱的5條棱線，故截交線必為封閉的五邊形，各頂點為截平面與5條棱線的交點。·由于正垂面的截平面和正五棱柱各表面均為特殊位置平面，因此可利用積聚性直接作圖?！ぷ鲌D方法如圖3-23（b）所示。

（1）因五棱柱的5條棱線水平投影積聚，可直接在水平投影上得到截交線的5個頂點1、2、3、4、5，再在正面投影中找出1′、2′、3′、4′、5′，然后根據投影規(guī)律求出各交點的側面投影1″、2″、3″、4″、5″。

（2）依次連接各點的同面投影即得截交線的投影，連接時注意判別投影的可見性，可見投影用粗實線連接，不可見投影用虛線連接。

（3）整理輪廓線，擦掉被截掉部分的輪廓線，即完成切割體投影，如圖3-23（c）所示。·【例3-8】如圖3-24（a）所示，求斜三棱錐被截切后的投影。解：三棱錐被一正垂面截切，且截平面截過了三棱錐的3條棱線，故截交線必為封閉的三角形?！び捎诮仄矫鏋檎姑妫猛队暗姆e聚性可直接找到截交線的正面投影，之后運用點在直線上的投影特性求出截交線的其他投影。·作圖方法如圖3-24（b）所示。

（1）利用投影的積聚性在正面投影中找出截平面與三棱錐3條棱線交點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影1′、2′、3′，然后根據點在直線上的投影特性作出這3個點的水平投影1、2、3，側面投影1″、2″、3″。

（2）依次連接各點的同面投影即得截交線的投影，連接時注意判別投影的可見性，可見投影用粗實線連接，不可見投影用虛線連接。（3）整理輪廓線，擦掉被截掉部分的輪廓線，完成被截三棱錐的投影?！ぁ纠?-9】如圖3-25（a）所示，求正四棱柱開槽后的側面投影。解：正四棱柱開槽，可以看作是正四棱柱被3個截平面截切而成，如圖3-25（c）所示。·可分別求出各截平面上截交線的投影。·作圖方法如圖3-25（b）所示，這里需要注意的是，每個截平面與立體表面的交線都是封閉的多邊形，而多邊形的頂點除了截平面與各棱線的交點之外還包括平面與平面交線的端點。·如圖3-25（c）中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ點，它們也是多邊形截交線的頂點?！ぁ纠?-10】試求圖3-26所示四棱錐被二平面截切后的投影。解：（1）空間及投影分析。·四棱錐被二平面截切。截平面P為正垂面，與四棱錐的4個棱面的交線與例3-9相似?！そ仄矫鍽為水平面，與四棱錐底面平行，它與四棱錐的4個棱面的交線，同底面四邊形的對應邊相互平行，利用平行面的投影特性很容易求得?！ご送?，還應注意兩平面P、Q相交也會有交線，所以平面P和平面Q截出的截交線均為五邊形?！て矫鍼為正垂面，其截交線投影特性同例3-9的分析：平面Q為水平面，其截交線正面投影和側面投影皆具有積聚性，水平投影則反映截交線的實形。（2）作圖?！ぎ嫵鐾暾睦忮F的3個投影?！ぁ纠?-11】求圖3-27所示三棱錐臺開槽后的投影。解：圖3-27所示為三棱錐臺開槽后，其截交線的求畫方法與作圖過程。

三、曲面切割體的投影·曲面立體被截切后，截交線一般是封閉的平面曲線或平面曲線和直線圍成的平面圖形?！ぷ鲌D步驟如下。

（1）求作特殊點（2）求作一般點（3）順次光滑連接各點并判別可見性1．圓柱切割

·根據截平面與圓柱軸線位置不同，圓柱切割后其截交線有3種不同的形狀，如表3-1所示?！ぁ纠?-12】如圖3-28所示，求斜截圓柱的投影。解：截切圓柱的平面與圓柱的軸線傾斜，其截交線為橢圓。·由于截平面是正垂面，且圓柱的軸線垂直于H面，可知截交線的正面投影積聚為一直線，而水平投影是圓。·截交線的側面投影則可根據正面和水平投影求得。·作圖方法如圖3-28所示。

（1）求截交線的特殊點（2）求作一般點（3）依次光滑連接各點，即可得截交線的側面投影?！ぁ纠?-13】如圖3-29（a）所示，求切口圓柱的水平投影。解：從圖3-29（a）中可以看出，切口是由兩個與軸線平行的平面和一個與軸線垂直的平面截得的，前者與圓柱面的交線是直線，后者與圓柱面的交線是圓弧?！び捎趦蓚€與軸線平行的截平面為水平面，利用其正面投影和側面投影的積聚性可直接找到交線的正面投影和側面投影，如圖3-29（b）所示的a′b′、c′d′和a″b″、c″d″。·此外，由于另一個與軸線垂直的截平面為側平面，利用其投影的積聚性，可找到圓弧交線的正面投影b′e′f

′，而其側面投影b″e″f″則應落在圓周上。·作圖方法如圖3-29（b）所示。

（1）畫出整個圓柱的水平投影；（2）按投影關系畫出截交線的水平投影（3）整理輪廓線·【例3-14】求作圖3-30（a）所示圓柱切割后的投影。解：如圖3-30（a）所示，該圓柱被切去了Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ等4部分形體?！あ瘛ⅱ虿糠譃橛蓛善叫杏趫A柱軸線的平面和一垂直于圓柱軸線的平面切割圓柱而成，切口為矩形。·Ⅲ部分也為由兩平行于軸線的平面和一垂直于軸線的平面切割圓柱而成，即在圓柱右端開一個槽，切口也為矩形。·Ⅳ部分是在切割Ⅰ、Ⅱ部分的基礎上再挖去的一個小圓柱?！て渥鲌D過程如下。

（1）畫出整個圓柱的3個投影，并切去Ⅰ、Ⅱ部分，如圖3-30（b）所示。（2）畫切去Ⅲ部分后的投影，如圖3-30（c）所示。

（3）畫挖去Ⅳ部分，并完成全圖，如圖3-30（d）所示?！D3-31是用平行和垂直于軸線的截平面切割圓柱的示例。

2．圓錐切割·截平面切割圓錐時，根據截平面與圓錐軸線位置的不同，與圓錐面的交線有5種情況，如表3-2所示。·【例3-15】如圖3-32所示，圓錐被正平面截切，求作截交線的投影。解：因為正平面與圓錐的軸線平行，所以截交線是雙曲線。·雙曲線的水平投影積聚成一直線，而正面投影反映實形，利用緯線圓法做出C、D、E正面投影，注意E點是截交線的最高點，過E點的緯線圓與截平面相切，作圖方法如圖3-32（b）所示。·【例3-16】如圖3-33所示，求頂尖頭的水平投影。解：由于截平面P為側平面，并與圓柱的軸線垂直，所以它與圓柱的截交線為圓弧。·其正面投影和水平投影積聚成直線，側面投影反映圓弧實形并與圓柱側面投影重合；Q為水平面，同時與圓錐和圓柱的軸線平行，所以該平面與圓柱的截交線為矩形，與圓錐的截交線為雙曲線，其水平投影反映實形，正面投影和側面投影都積聚成直線。其作圖方法如圖3-33所示。

（1）求特殊點（2）求一般點（3）光滑連接各點

3．圓球切割·對于圓球來說，用任何方向的截平面切割，其截交線均為圓，圓的大小，由截平面與球心之間的距離而定，如表3-3所示?！D3-34所示為圓球被水平面Q和側平面P切割截交線的求法?！ぁ纠?-17】如圖3-35所示，根據半圓球開槽后的正面投影，求作水平投影和側面投影。解：

（1）空間分析。（2）作圖。①完成側平面P的投影，如圖3-34（b）所示。②完成水平面Q的投影，如圖3-34（c）所示。

四、切割體尺寸標注·常見切割體的尺寸注法如圖3-36所示。任務三