12.6力矩剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程一、力矩力:改變質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),質(zhì)點(diǎn)獲得加速度。力矩：改變剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài),剛體獲得角加速度。hAθ(力F在垂直于軸的平面內(nèi))1.力

對(duì)z軸的力矩2大小由右螺旋法則確定。hAθ矢量形式思考：一對(duì)作用力與反作用力的力矩和等于對(duì)少？方向

剛體內(nèi)作用力和反作用力的力矩互相抵消O42不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的力對(duì)定軸力矩的矢量形式A方向由右螺旋法則確定。5二、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程作用在上的外力，內(nèi)力zo在圓規(guī)跡切線方向兩邊乘以rk，并對(duì)整個(gè)剛體求和6其中稱(chēng)為合外力矩；

令，稱(chēng)為剛體對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。內(nèi)力矩之和為零；則或7剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積等于作用在剛體上所有外力對(duì)該軸力矩的代數(shù)和?！?jiǎng)傮w繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程，或轉(zhuǎn)動(dòng)定律。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度與它所受的合外力矩成正比,與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比。8

兩個(gè)定律在形式上對(duì)應(yīng),都是反映瞬時(shí)效應(yīng)的。

(2)m反映質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)慣性，J

則反映剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性。(1)轉(zhuǎn)動(dòng)定律與牛頓第二定律比較：討論9三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體質(zhì)量不連續(xù)分布剛體質(zhì)量連續(xù)分布確定轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的三個(gè)要素:(1)總質(zhì)量；(2)質(zhì)量分布；(3)轉(zhuǎn)軸的位置。

對(duì)質(zhì)量線分布的剛體：：質(zhì)量線密度

對(duì)質(zhì)量面分布的剛體：：質(zhì)量面密度

對(duì)質(zhì)量體分布的剛體：：質(zhì)量體密度：質(zhì)量元

質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量四.J的計(jì)算11

例1求長(zhǎng)為L(zhǎng)質(zhì)量為m

的均勻細(xì)棒對(duì)端點(diǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。ABLxdm解:取如圖坐標(biāo)，dm=dxJ

與剛體的總質(zhì)量有關(guān)（1）用定義式計(jì)算注意12J

與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)LOxdxMz

例2

求長(zhǎng)為L(zhǎng)質(zhì)量為m

的均勻細(xì)棒對(duì)中心垂線轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

對(duì)端點(diǎn)二者關(guān)系：注意13平行軸定理zLCMz'剛體繞任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；剛體繞通過(guò)質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；兩軸間垂直距離。14

例3

求圖所示剛體對(duì)經(jīng)過(guò)棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如何計(jì)算？(棒長(zhǎng)為L(zhǎng)、圓盤(pán)半徑為R）.(棒對(duì)邊緣軸)(圓盤(pán)對(duì)中心軸)(圓盤(pán)對(duì)棒邊緣軸)15例4

圓環(huán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。dlOmR16例5圓盤(pán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。ROmrdrJ

與質(zhì)量分布有關(guān)注意17（2）用平行軸定理、迭加法(3)實(shí)驗(yàn)法如三線扭擺法。J=J大–J

小J=J

大+J小OMR..18(1)飛輪的角加速度。四、轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用舉例求:例1一輕繩繞在半徑r=20cm

的飛輪邊緣，在繩端施以F=98N

的拉力，飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=0.5kg·m2,飛輪與轉(zhuǎn)軸間的摩擦不計(jì)。(2)如以重量P=98N的物體掛在繩端,試計(jì)算飛輪的角加速度。19解(1)(2)兩者區(qū)別?20例2一定滑輪質(zhì)量為m，半徑為r,不能伸長(zhǎng)的輕繩兩邊分別系m1

和

m2

的物體掛于滑輪上,m1>m2,繩與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。設(shè)輪軸光滑無(wú)摩擦,滑輪的初角速度為零。求:滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)角速度隨時(shí)間變化的規(guī)律。21解:以m1,m2,m

為研究對(duì)象,受力分析滑輪m：m1：m2：22例3一根長(zhǎng)為l、質(zhì)量為m

的均勻細(xì)直棒,其一端有一固定的光滑水平軸,因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。最初棒靜止在豎直位置,由于微小擾動(dòng),在重力作用下由靜止開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)。求:它由此下擺角時(shí)的角加速度和角速度。Pl/2Ol23解:

棒下擺為加速過(guò)程,外力矩為重力對(duì)O的力矩。重力作用在棒重心,當(dāng)棒處在下擺

角時(shí),重力