第三章集中量數(shù)如何能夠快速的了解一組數(shù)據(jù)？集中量數(shù)與差異量數(shù)集中量數(shù)表現(xiàn)的是數(shù)據(jù)的集中趨勢，指數(shù)據(jù)分布中大量數(shù)據(jù)向某方向集中的程度差異量數(shù)表現(xiàn)的是數(shù)據(jù)的離中趨勢，指數(shù)據(jù)分布中數(shù)據(jù)彼此分離的程度通過集中量數(shù)與差異量數(shù)可以描述或反映一組數(shù)據(jù)的全貌及其各種統(tǒng)計特征集中量數(shù)算數(shù)平均數(shù)中數(shù)眾數(shù)加權平均數(shù)幾何平均數(shù)調和平均數(shù)

（二）數(shù)據(jù)值大，利用估計平均數(shù)來簡化計算條件：如果數(shù)據(jù)數(shù)目及每個觀測數(shù)據(jù)值都很大時，利用估計平均數(shù)來簡化計算。具體方法是先設定一個估計平均數(shù)，用符號AM表示，從每一個數(shù)據(jù)中減去AM，計算出平均數(shù)后再加上估計平均數(shù)

三、特點（一）離均差的和等于0，即在一組數(shù)據(jù)中每個變量與平均數(shù)做差后，再求其總和等于0（二）在一組數(shù)據(jù)中，每一個數(shù)據(jù)都加上一個常數(shù)C，所得的平均數(shù)為原來的平均數(shù)加常數(shù)C（三）在一組數(shù)據(jù)中，每一個數(shù)都乘以一個常數(shù)C，所得的平均數(shù)為原來的平均數(shù)乘以常數(shù)C（四）離均差的平方和最小四、意義在大多數(shù)情況下，真值的漸近與最佳估計值五、優(yōu)缺點（一）優(yōu)點1、反應靈敏，觀測數(shù)據(jù)中任何一個數(shù)值或大或小的變化，在計算平均數(shù)時都能反映出來。2、計算嚴密，有確定的公式，只要是同一組觀測數(shù)據(jù)，計算的平均數(shù)都相同3、計算簡單，應用簡單的四則運算4、簡單明了，容易理解5、適合于進一步用代數(shù)方法演算。在求解其他統(tǒng)計特征值，如離均差、方差、標準差的計算時，都要應用平均數(shù)6、較少受抽樣變動的影響（觀測樣本的大小或個體的變化，對計算平均數(shù)影響很?。ǘ┤秉c1易受極端數(shù)據(jù)的影響舉例：一個重點班的50名水平相當?shù)膶W生，在通過一項教育測驗時，絕大多數(shù)學生得分較高，但個別人由于身體不適或情緒不良得到很低的分數(shù)，這時若用平均數(shù)代表全班學生的知識水平，則肯定偏低。處理方式：修剪平均數(shù)——從一組數(shù)據(jù)中去除一定百分比（5%）的最大值和最小值數(shù)據(jù)后，再計算算數(shù)平均數(shù)（見下頁例子）在中央電視臺舉辦的一次全國業(yè)余通俗歌手大賽中，假定11位裁判對某位歌手的評分按順序排列為：9.9，9.3，9.3，9.3，9.2，8.9，8.8，8.8，8.5，8.4，7.4例子：評委打分常用的計算最后得分的方式：去掉一個最高分，再去掉一個最低分，然后計算剩余9個評分的算術平均數(shù)。2、若出現(xiàn)模糊不清的數(shù)據(jù)時，無法計算平均數(shù)，這時一般采用中數(shù)作為該組數(shù)據(jù)的代表值3、數(shù)據(jù)不同質時也不宜使用算數(shù)平均數(shù)（數(shù)據(jù)同質：使用同一個觀測手段，采用同樣的觀測標準，能反映某一問題的同一方面特質的數(shù)據(jù)）六、計算和應用平均數(shù)的原則（一）同質性原則同質數(shù)據(jù)：使用同一觀測手段，采用相同的觀測標準，能反映某一問題的統(tǒng)一方面特質的數(shù)據(jù)。高考各科分數(shù)相加，計算平均分不能代表該生的水平（二）平均數(shù)與個體數(shù)值相結合的原則平均數(shù)作為整個總體的綜合特征，它能夠用一個抽象的代表數(shù)值反映客觀事物的一般水平。但一個總體是由若干個千差萬別的個別事物構成的，若要全面而正確的認識這些客觀事物，要結合個體數(shù)值予以參考（三）平均數(shù)與標準差、方差相結合原則平均數(shù)反映的是總體數(shù)據(jù)的集中趨勢，但平均數(shù)對于總體數(shù)據(jù)一般水平的代表性如何，要看各個數(shù)值之間差異的大小。數(shù)據(jù)差異大，平均數(shù)的代表性就小，差異小，平均數(shù)的代表性就大。第二節(jié)中數(shù)（median）一、定義中數(shù)又稱中位數(shù)，中值，符號為Md或Mdn,指的是按順序排列在一起的一組數(shù)據(jù)中居于中間位置的數(shù)，即在這組數(shù)據(jù)中，有一半的數(shù)據(jù)比它大，有一半的數(shù)據(jù)比它小。

2、一組數(shù)據(jù)中有重復數(shù)值時（1）重復數(shù)值沒有位于數(shù)列中間，不管數(shù)據(jù)總數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，求中數(shù)的方法與無重復數(shù)據(jù)時的求法一樣舉例：5,6,6,12,10,15,17（2）重復數(shù)值位于數(shù)列中間數(shù)據(jù)的個數(shù)為奇數(shù)時，中數(shù)所在位置為（N+1)/2A、由于該位置的數(shù)值為重復數(shù)目，所以將其視為占據(jù)了一個分數(shù)單位的全距，然后被重復幾次就劃分為幾份，求出中間位置數(shù)值所占的具體區(qū)間后，取區(qū)間的組中值即為該組數(shù)據(jù)的中數(shù)舉例：11,11,11,11,13,13,13,13,17,17,17B、數(shù)據(jù)個數(shù)為偶數(shù)時,N/2與（N+1）/2位置的數(shù)據(jù)相加除以2即為（N/2位置的組中值加上N+1/2位置的組中值）/2其實正好是N/2位置數(shù)據(jù)的組上限或者（N+1）/2位置數(shù)據(jù)的組下限舉例：11,11,11,11,13,13,13,17,17,18

舉例遺留問題：分組數(shù)據(jù)中N為偶數(shù)，如果N為奇數(shù)呢？其它教材上也沒考慮這個問題？三、優(yōu)缺點（一）優(yōu)點1計算簡單，容易理解2概念簡單明白（二）缺點1中數(shù)的計算不是每個數(shù)據(jù)都加入，所以其大小沒有考慮全體數(shù)據(jù)2反應不夠靈敏，極端值的變化對中數(shù)不產(chǎn)生影響3受抽樣影響大，不如平均數(shù)穩(wěn)定4計算時需要對數(shù)據(jù)先排列大小5中數(shù)乘以總數(shù)與數(shù)據(jù)的總和不相等6中數(shù)不能做進一步代數(shù)運算四、中數(shù)的應用（一）當一組觀測結果中出現(xiàn)極端數(shù)目時（二）當次數(shù)分布的兩端數(shù)據(jù)或個別數(shù)據(jù)不清楚時，只能取中數(shù)作為集中趨勢的代表值（三）當需要快速估計一組數(shù)據(jù)的代表值時第三節(jié)眾數(shù)（mode）一、定義眾數(shù)又稱為范數(shù)，密集數(shù)，常用符號M0表示，指在次數(shù)分布中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)的數(shù)值二、計算方法（一）直接觀察法1、未分組數(shù)據(jù)通過觀察找出出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)2、分組數(shù)據(jù)通過觀察找出次數(shù)最多的那個分組區(qū)間的組中值為眾數(shù)注意：分組數(shù)據(jù)的眾數(shù)受分組的影響。因為同一組數(shù)據(jù)，由于分組時組距大小不同，次數(shù)在各區(qū)間的分布會有所變動，因此眾數(shù)有可能不同

2、金氏插補法

三、眾數(shù)的優(yōu)缺點（一）優(yōu)點簡單明了，容易理解（二）缺點1、受分組影響，不穩(wěn)定2、受樣本變動影響3、計算時不需每一個數(shù)據(jù)都加入，因而較少受極端數(shù)據(jù)的影響4、反應不夠靈敏5、用觀察法得來的數(shù)據(jù)，不是經(jīng)過嚴格計算得來的，用公式所得眾數(shù)也只是一個估計值6、不能作進一步代數(shù)運算7、N乘以眾數(shù)，與數(shù)據(jù)總和不相等四、眾數(shù)的應用（一）當需要快速而粗略地尋求一組數(shù)據(jù)的代表值時（二）當一組數(shù)據(jù)出現(xiàn)不同質的情況時（三）當數(shù)據(jù)中有兩極端的數(shù)目時，除了用中數(shù)外，也可用眾數(shù)（四）當粗略估計次數(shù)分布的形態(tài)時，有時用平均數(shù)與眾數(shù)之差，作為表示次數(shù)分布是否偏態(tài)的指標（五）當一組數(shù)據(jù)中同時有兩個數(shù)值的次數(shù)都比較多時，也多用眾數(shù)來表示數(shù)據(jù)分布形態(tài)四、平均數(shù)、眾數(shù)與中數(shù)之間的關系（一）在正態(tài)分布中，三者相等（二）在偏態(tài)分布中，平均數(shù)永遠位于尾端。中數(shù)位于把分布下的面積分成兩等份的點值上，它在一邊的數(shù)據(jù)個數(shù)等于在它另一邊的數(shù)據(jù)個數(shù)，因此在描述偏態(tài)分布時，應報告平均數(shù)與中數(shù)，一般偏態(tài)情況下，Md離平均數(shù)較近，而離眾數(shù)較遠（三）正偏態(tài)分布中M>Md>Mo

負偏態(tài)分布中M<Md<Mo（四）只有平均數(shù)與各數(shù)據(jù)之差的總和為0，也只有各個變量與平均數(shù)之差的平方和最小老劉辦了個廠子，請了自己的弟弟和其他6個親戚做管理人員。還有5個領工和10工人。為了擴大生產(chǎn)，老劉去人才市場去找新工人。小胡來應聘，老劉說：“我們這里待遇不錯，每月平均工資為4500元?！毙『X得不錯，就去老劉的廠子里做工人。幾天之后，小胡就跑去質問老劉：“這里沒有一個工人的工資是高于1500元，平均工資怎么會有4500元？”而事實上老劉確實沒有算錯，這到底是怎么回事呢？例子：騙人的平均數(shù)老劉（廠長）工資：36000弟弟（副廠長）工資：150006個親戚（管理人員）工資：37505個領工：300010個工人：1500

年級一二三四90.5919294n236318215200求下列四個年級的總平均成績

然后再求lgMg的反對數(shù)

1、某校連續(xù)四年的畢業(yè)人數(shù)為980、1100、1200、1300人，問畢業(yè)生平均增長率是多少？若該校畢業(yè)生一直按此增長率變化，問再過五年后的畢業(yè)人數(shù)是多少？2、某校1950年的教育經(jīng)費是10萬元，1982年的教育經(jīng)費是121萬元，問該校教育經(jīng)費年增長率是多少？若一直按此增長率增加，請問1990年該校的教育經(jīng)費是多少？第六節(jié)調和平均數(shù)(harmomicmean)一、定義與公式調和平均數(shù)用MH表示，又稱倒數(shù)平均數(shù)二、應用求單位時間的平均速度1/Xi表示單位工作量所需要的時間N表示不同的被試人數(shù)，或同一人不同的工作批次數(shù)1、在一個