第十六章

電勢

ElectricPotential本章主要內(nèi)容§16-1

靜電場的保守性§16-2

電勢差和電勢§16-3

電勢疊加原理§16-4

電勢梯度§16-5

電荷在外電場中的靜電勢能§16-6

電荷系的靜電能§16-7

靜電場的能量第十六章電勢電勢是靜電場中的重要物理量。通過研究靜電場力對電荷做功，發(fā)現(xiàn)靜電場力是保守力。

由于靜電場力是保守力，可以引入電勢和電勢能。和電場強度一樣，電勢也是描述靜電場分布規(guī)律的，它本身也是空間分布函數(shù)。第三章電勢§16-1靜電場的保守性

ConservativePropertyofElectrostaticField做功與路徑無關(guān)（或沿閉合路徑一周做功為零）的力，稱為保守力（如引力、彈性力）。靜電場力是不是保守力？靜電場力對檢驗電荷q0做功為考慮對單位正檢驗電荷做功：場強對路徑的線積分先考慮點電荷產(chǎn)生的場：積分結(jié)果只與檢驗電荷的起點和終點的位置有關(guān)，與積分路徑無關(guān)！§3-1靜電場的保守性再考慮點電荷系（或任意帶電體）產(chǎn)生的場：由場強疊加原理，有求和中每一項代表對應(yīng)點電荷單獨存在時產(chǎn)生的場的沿

P1

到

P2

的線積分——與積分路徑無關(guān)。因此總場的積分也與路徑無關(guān)。結(jié)論：靜電場力對電荷所做的功與路徑無關(guān)。即靜電場力是保守力，或稱靜電場為保守場。conservationfield§3-1靜電場的保守性或表示為：靜電場環(huán)路定理：靜電場的場強沿任意閉合路徑積分等于零。靜電場的電場線不可能閉合

換言之：電荷沿任意閉合路徑運動一周，靜電場力所做的功為零。§4-3保守力§16-2電勢和電勢差

ElectricPotentialandPotentialDifference

因為電勢是通過它的改變量來引入的，所以它具有零點的相對性。通常需選定某參考點

P0為電勢零點，則任意點

P

處的電勢為:由于

與積分路徑無關(guān)（只決定于起點

P1

和終點

P2

的位置），積分結(jié)果必定可以表示為某空間函數(shù)

j的改變量：定義

j為電勢，即從

P1

到

P2

沿任意路徑場強的線積分等于電勢的負(fù)增量。j1

-j2

U12為

P1

與

P2

兩點間的電勢差。電勢和電勢差原則上，電勢零點可以任意選取，但應(yīng)視問題的方便而定?！?-2電勢和電勢差通常電荷在有限區(qū)域時，將無限遠(yuǎn)點選為電勢零點，此時任一點

P(x,y,z)的電勢為說明：電勢是空間坐標(biāo)的函數(shù)：，如已知靜電場的場強分布，可以求出電勢分布——勢函數(shù)。電勢差與電場對檢驗電荷做功的關(guān)系：（重要）

點電荷的電勢為[

j()=0

]與場強不同，電勢是標(biāo)量。（以點電荷的電勢討論正負(fù)）§3-2電勢和電勢差[例1]求（1）均勻帶電球面；（2）均勻帶電球體，產(chǎn)生場的電勢分布。設(shè)總電量均為

q，球的半徑為

R

。解：（1）均勻帶電球面，由Guass

定理求得：（2）均勻帶電球體，由Guass

定理求得：查看

[例1]設(shè)電荷為均勻帶電的（1）球面；（2）球體?？傠姾蔀?/p>

Q，球的半徑為

R，求球內(nèi)外的場強分布。解：球?qū)ΨQ問題，場強沿徑向，且

E=E(r)。

(1)做半徑為r的同心球面為高斯面。

(2)設(shè)

r=3Q/4pR3

為體電荷密度，做半徑為r的同心球面為高斯面。返回討論：在

r=R處：對于帶電

球面，E不連續(xù)，j

連續(xù)

；對于帶電球體，

E連續(xù)，

j

連續(xù)。這一特性是普遍

的.

r>R處（球外區(qū)域）的場強

和電勢，都相當(dāng)于電荷集中于中心的點電荷所產(chǎn)生的場和勢。這是球?qū)ΨQ電荷的共性。[例2]求無限長均勻帶電直線的電場中的電勢分布。解：1）無限長帶電直線周圍的場強的大小為：根據(jù)高斯定理可知：方向垂直帶電直線且向外。2）無限長帶電直線周圍任一點P的電勢為：選距離帶電直線為r0的P0點為電勢零點(why)，則P點電勢為：P0r0PrKey：當(dāng)電荷的分布擴展到無限遠(yuǎn)時，電勢零點不能選在無限遠(yuǎn)處。P’§16-3電勢疊加原理

SuperpositionPrincipleofElectricPotential每一

ji

必須有共同的電勢零點方法2——

利用電勢疊加原理：把電荷系統(tǒng)分解為點電荷系，再把各點電荷的電勢疊加，即對點電荷系和連續(xù)帶電體分別有利用場強疊加原理可以導(dǎo)出：電勢疊加原理：在由電荷系產(chǎn)生的電場中，任一點的電勢等于各個帶電體單獨存在時在該點所產(chǎn)生電勢的代數(shù)和。電勢的計算電勢疊加原理方法1——

利用電勢的定義式：，已知場強分布，選方便的路徑積分；和§3-3電勢疊加原理和電勢的計算[例1]求電偶極子周圍的電勢分布。解：正、負(fù)點電荷在

P點單獨產(chǎn)生的電勢為：根據(jù)電勢疊加原理，P點的電勢為：[例2]求總電量為

q,半徑為

R,均勻帶電的細(xì)圓環(huán),在其軸線上任點的電勢。解：1)方法1:已知軸線上場強為:選取積分路徑為從

P沿

x軸到無限遠(yuǎn)(電勢零點)2)方法2:利用電勢疊加原理環(huán)心出(x=0)的電勢為[例3]兩個同心的均勻帶電球面，半徑分別為RA和RB，分別帶有電量qA和qB。求距球心距離為r1，r2，r3處的電勢。RARBr1r2r3P1P2P3qAqB解：1)方法1:利用電勢疊加原理。已知一個帶電球面的電勢分布為：2)方法2:利用電勢定義。略

GradientofElectricPotential§16-4電勢梯度

等勢面——電勢相等的點所組成的曲面。引入等勢面也是為了形象地描述靜電場的電勢分布。等勢面的性質(zhì)：

沿等勢面移動電荷，靜電場力做的功為零；(a)孤立點電荷(b)一對等量異號點電荷實例：

虛線——等勢面

實線——電場線1.等勢面§3-4電勢梯度證明：設(shè)檢驗電荷

q從等勢面上任意一點

a經(jīng)過元位移移動到點

b,靜電場力做的功為,

而，根據(jù)功的定義：即因此，電場強度與等勢面處處正交。電場線指向電勢降低的方向；

因沿電場線方向移動單位正電荷，電場力做正功。等勢面與電場線處處正交；

等勢面密的地方，場強數(shù)值大；反之，場強小。2.電勢梯度及其與場強的關(guān)系求導(dǎo)保守力場強勢能電勢積分結(jié)論：電場強度等于相聯(lián)系的電勢的梯度的負(fù)值：P1P2取極限得方向?qū)?shù)：§3-4電勢梯度§16-5電荷在外電場中的靜電勢能

ElectrostaticPotentialEnergy點電荷在已知場中的靜電勢能引入靜電勢能W（簡稱電勢能）：即電勢能為其中

P0

為勢能零點。保守力的功等于勢能增量的負(fù)值電勢是屬于靜電場的，而電勢能屬于已知電場和點電荷

q0

所共有。電勢的物理意義可以理解為：靜電場中單位正電荷所具有的電勢能，即

j=W/q0

。與路徑無關(guān)（保守場），靜電場力對電荷

q0

所做的功也與路徑無關(guān)（保守力）?！?-5靜電勢能[例1]求電偶極子（）在均勻電場中的電勢能。解：設(shè)無限遠(yuǎn)處為零勢能點，則

+q和

-q在A,B兩點的電勢為和，有[例2]電子與原子核距離為

r,電子帶電量為–e,原子核帶電量為

Ze。求電子在原子核電場中的電勢能。C解：設(shè)無限遠(yuǎn)處為零勢能點，有§16-6電荷系的靜電能

ElectrostaticEnergyofChargeSystem點電荷系的靜電能

將各個電荷從無窮遠(yuǎn)移到彼此鄰近的位置而形成電荷系，外力克服靜電場力所做的功，稱為這個電荷系的靜電相互作用能，簡稱靜電能或互能。對任意點電荷系統(tǒng)總靜電能為除qi

外其他所有電荷在

qi

位置上所產(chǎn)生的電勢靜電能的推導(dǎo)§3-5靜電勢能考慮兩個點電荷系統(tǒng)：q1

和

q2。移動電荷

q1

時，無靜電力作用，但

q1

就位后，在把

q2移到距

q1

距離為

r處的過程中，會受到

q1

產(chǎn)生電場的作用，克服此作用力外力需要做功：任意點電荷系統(tǒng)總靜電能的推導(dǎo)：q2移到q1產(chǎn)生電場中，克服此作用力外力需做功：先將q1移到r1處：所以帶電體系的相互作用能：W=A2=q2U12P1P2rq1和q2兩個點電荷相距的距離如果先將q2移來：A2＝0然后q1移到q2產(chǎn)生電場中，克服此作用力外力需做功：所以帶電體系的相互作用能：W’=A1=q1U21寫成對稱形式：對任意離散點電荷系統(tǒng)總靜電能為除qi

外其他所有電荷在

qi

位置上所產(chǎn)生的電勢P1P2rq1和q2兩個點電荷相距的距離Q–dq

Q對連續(xù)分布的帶電體，分割它為諸多