本章內(nèi)容

3.1靜電場分析

3.2導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場分析

3.3恒定磁場分析

3.4靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定理

3.5鏡像法

3.6

分離變量法

靜態(tài)電磁場：場量不隨時間變化，包括：靜電場、恒定電場和恒定磁場

時變情況下，電場和磁場相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場靜態(tài)情況下，電場和磁場由各自的源激發(fā)，且相互獨(dú)立3.1靜電場分析

學(xué)習(xí)內(nèi)容

3.1.1靜電場的基本方程和邊界條件

3.1.2電位函數(shù)

3.1.3導(dǎo)體系統(tǒng)的電容

3.1.4靜電場的能量2.邊界條件微分形式：本構(gòu)關(guān)系：1.基本方程積分形式：或或3.1.1靜電場的基本方程和邊界條件若分界面上不存在面電荷，即，則即靜電場可以用一個標(biāo)量函數(shù)的梯度來表示，標(biāo)量函數(shù)稱為靜電場的電位函數(shù)或簡稱電位。1.電位函數(shù)的定義3.1.2電位函數(shù)由,及電場為矢量，對應(yīng)三個標(biāo)量函數(shù)，而電位φ為一標(biāo)量函數(shù)。顯然，計(jì)算電位更容易。借助電位求電場的方法，稱為輔助函數(shù)法。根據(jù)和標(biāo)量函數(shù)梯度性質(zhì)可知，電場線垂直于等位面，且總是指向電位下降最快的方向。2.電位的表達(dá)式對于連續(xù)的體分布電荷，由同理得，面電荷的電位：故得點(diǎn)電荷的電位：線電荷的電位：在均勻介質(zhì)中，有3.靜電位的微分方程在無源區(qū)域，標(biāo)量泊松方程拉普拉斯方程這些方程反映空間點(diǎn)上靜電場的特性。但是它們是微分方程，只適合于場函數(shù)連續(xù)可導(dǎo)的情形。對于有媒質(zhì)突變的問題，場函數(shù)不再是連續(xù)可導(dǎo)，因此場方程的微分形式不再適用。有時研究的問題是有界的，在邊界上，場方程的微分形式也不再適用。為此，需要尋找分界面和邊界上靜電場滿足的方程，稱之為靜電場的邊界條件。4.靜電位的邊界條件

設(shè)P1和P2是介質(zhì)分界面兩側(cè)緊貼界面的相鄰兩點(diǎn)，其電位分別為1和2。當(dāng)兩點(diǎn)間距離Δl→0時由和媒質(zhì)2媒質(zhì)1分界面上電位連續(xù)，電位法向?qū)?shù)不連續(xù)。導(dǎo)體表面上電位的邊界條件（理想電壁邊界條件）常數(shù)，

若介質(zhì)分界面上無自由電荷，即媒質(zhì)2媒質(zhì)1導(dǎo)體中靜電場始終為零，電位保持常數(shù)（等位體）。把導(dǎo)體看成介質(zhì)2。得到電壁的邊界條件孤立導(dǎo)體的電容可以看做該導(dǎo)體與電位參考點(diǎn)（無限遠(yuǎn)處或大地）之間的電容，定義為所帶電量q與其電位的比值，即1.電容

孤立導(dǎo)體的電容

兩個帶等量異號電荷（q）的導(dǎo)體組成的電容器，其電容為

電容的大小只與導(dǎo)體系統(tǒng)的幾何尺寸、形狀和及周圍電介質(zhì)的特性參數(shù)有關(guān)，而與導(dǎo)體的帶電量和電位無關(guān)。

3.1.3導(dǎo)體系統(tǒng)的電容

(1)假定兩導(dǎo)體上分別帶電荷+q和－q；

(2)計(jì)算兩導(dǎo)體間的電場強(qiáng)度E；

計(jì)算電容的步驟：

(4)求比值，即得出所求電容。

(3)由 ，求出兩導(dǎo)體間的電位差；

例3.1.4如圖所示的平行雙線傳輸線，導(dǎo)線半徑為a，兩導(dǎo)線的軸線距離為D，且D>>a，求傳輸線單位長度的電容。

解設(shè)兩導(dǎo)線單位長度帶電量分別為和。由于，故可近似地認(rèn)為電荷分別均勻分布在兩導(dǎo)線的表面上。應(yīng)用高斯定理和疊加原理，可得到兩導(dǎo)線之間的平面上任一點(diǎn)P的電場強(qiáng)度為兩導(dǎo)線間的電位差故單位長度的電容為

例3.1.5同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為b，內(nèi)外導(dǎo)體間填充的介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)，求同軸線單位長度的電容。內(nèi)外導(dǎo)體間的電位差

解設(shè)同軸線的內(nèi)、外導(dǎo)體單位長度帶電量分別為和，應(yīng)用高斯定理可得到內(nèi)外導(dǎo)體間任一點(diǎn)的電場強(qiáng)度為故得同軸線單位長度的電容為同軸線

電量為q的帶電體具有的電場能量We

對于電荷體密度為ρ的體分布電荷，體積元dV中的電荷ρdV具有的電場能量為故體分布電荷的電場能量為對于面分布電荷，電場能量為對于線分布電荷，電場能量為3.1.4靜電場的能量

1.靜電場的能量對于多導(dǎo)體組成的帶電系統(tǒng)，電荷只分布在導(dǎo)體表面，則有——第i個導(dǎo)體所帶的電荷

——第i個導(dǎo)體的電位式中：2.電場能量密度上述能量公式給出了電荷系統(tǒng)的能量，雖然也是靜電能量，但從形式上沒有與靜電場直接聯(lián)系起來。

從場的觀點(diǎn)來看，靜電場的能量分布于電場所在的整個空間。孤立帶電體的能量

電場能量密度：

電場的總能量：積分區(qū)域?yàn)殡妶鏊诘恼麄€空間

對于線性、各向同性介質(zhì)，則有能量不滿足線性疊加原理由于體積V外的電荷密度ρ＝0，若將上式中的積分區(qū)域擴(kuò)大到整個場空間，結(jié)果仍然成立。只要電荷分布在有限區(qū)域內(nèi)，當(dāng)閉合面S無限擴(kuò)大時，則有無限遠(yuǎn)處電位為零。則

推證：ρρ＝0S【兩種公式的討論】

用電荷電位計(jì)算的能量的公式從表面上看，似乎電荷能量是集中在電荷里的，電荷是能量的承載者，沒有電荷的地方就沒有能量。這正是當(dāng)年超距作用的觀點(diǎn)。

用電場表示的能量公式告訴我們，只要有電場就有能量，即使所在的區(qū)域沒有電荷。這是場的觀點(diǎn)。

在靜電問題上，超距作用觀點(diǎn)與場觀點(diǎn)誰也說服不了誰。后來時變電磁場研究中發(fā)現(xiàn)了電磁波，場的觀點(diǎn)才占了上風(fēng)。

用電荷電位計(jì)算的能量公式只能計(jì)算整體空間的能量。而電場能量公式可以計(jì)算局部區(qū)域中的能量。就整體空間而言，兩個公式計(jì)算的結(jié)果一樣。3.2導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場分析

3.2.1恒定電場的基本方程和邊界條件

3.2.2恒定電場與靜電場的比擬

由J＝E可知，導(dǎo)體中若存在恒定電流，則必有維持該電流的電場，雖然導(dǎo)體中產(chǎn)生電場的電荷作定向運(yùn)動，但導(dǎo)體中的電荷分布是一種不隨時間變化的恒定分布，這種恒定分布電荷產(chǎn)生的電場稱為恒定電場。

恒定電場和靜電場都是有源無旋場，具有相同的性質(zhì)。3.2.1恒定電場的基本方程和邊界條件1.基本方程

恒定電場的基本方程為微分形式：積分形式：

恒定電場的基本場矢量是電流密度和電場強(qiáng)度

線性各向同性導(dǎo)電媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系

恒定電場的電位函數(shù)由2.恒定電場的邊界條件

場矢量的邊界條件即即

電位的邊界條件由和3.2.2恒定電場與靜電場的比擬

如果兩種場，在一定條件下，場方程有相同的形式，邊界形狀相同，邊界條件等效，則其解也必有相同的形式，求解這兩種場分布必然是同一個數(shù)學(xué)問題。只需求出一種場的解，就可以用對應(yīng)的物理量作替換而得到另一種場的解。這種求解場的方法稱為比擬法。恒定電場與靜電場的比擬基本方程靜電場（區(qū)域）本構(gòu)關(guān)系位函數(shù)邊界條件恒定電場（電源外）對應(yīng)物理量靜電場恒定電場

工程上，常在電容器兩極板之間、同軸電纜的芯線與外殼之間，填充不導(dǎo)電的材料作電絕緣。這些絕緣材料的電導(dǎo)率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于金屬材料的電導(dǎo)率，但畢竟不為零，因而當(dāng)在電極間加上電壓U時，必定會有微小的漏電流J存在。

漏電流與電壓之比為漏電導(dǎo)，即其倒數(shù)稱為絕緣電阻，即

漏電導(dǎo)(1)假定兩電極間的電流為I；計(jì)算兩電極間的電流密度矢量J；由J=E

得到E

;由，求出兩導(dǎo)體間的電位差；(5)求比值，即得出所求電導(dǎo)。

計(jì)算電導(dǎo)的方法一：

計(jì)算電導(dǎo)的方法二：(1)假定兩電極間的電位差為U；

(2)計(jì)算兩電極間的電位分布；

(3)由得到E;(4)由J=E得到J;(5)由 ，求出兩導(dǎo)體間電流；

(6)求比值，即得出所求電導(dǎo)。

計(jì)算電導(dǎo)的方法三：靜電比擬法：

例3.2.1求同軸電纜的絕緣電阻。設(shè)內(nèi)外的半徑分別為a、b，長度為l

，其間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為σ、介電常數(shù)為ε。解：直接用恒定電場的計(jì)算方法電導(dǎo)絕緣電阻則設(shè)由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體的電流為I。若已知兩電極之間的電容，即可求得兩電極間的電阻及電導(dǎo)。

例如，已知面積為S，間距為d的平板電容器的電容，若填充的非理想介質(zhì)的電導(dǎo)率為，則平板電容器極板間的漏電導(dǎo)為

又知單位長度內(nèi)同軸線的電容。那么，若同軸線的填充介質(zhì)具有的電導(dǎo)率為，則單位長度內(nèi)同軸線的漏電導(dǎo)3.3.1恒定磁場的基本方程和邊界條件3.3.2

矢量磁位和標(biāo)量磁位3.3.3

電感3.3.4

恒定磁場的能量

3.3恒定磁場分析1.基本方程2.邊界條件本構(gòu)關(guān)系：或若分界面上不存在面電流，即JS＝0，則微分形式:積分形式:或3.3.1恒定磁場的基本方程和邊界條件

矢量磁位的定義

磁矢位的任意性磁矢位不是惟一確定的，它加上任意一個標(biāo)量的梯度以后，仍然表示同一個磁場，即即恒定磁場可以用一個矢量函數(shù)的旋度來表示。

根據(jù)Helmhotz定理，為了唯一確定A

，除了給定它的旋度外，還應(yīng)該給定它的散度。在恒定磁場中通常規(guī)定，并稱為庫侖規(guī)范。1.矢量磁位矢量磁位或稱磁矢位

3.3.2矢量磁位和標(biāo)量磁位由和2.標(biāo)量磁位

一般情況下，恒定磁場只能引入磁矢位來描述，但在無傳導(dǎo)電流（J＝0）的空間中，則有即在無傳導(dǎo)電流（J＝0）的空間中，可以引入一個標(biāo)量位函數(shù)來描述磁場。

標(biāo)量磁位的引入標(biāo)量磁位或磁標(biāo)位在線性、各向同性的均勻媒質(zhì)中拉普拉斯方程

標(biāo)量磁位的邊界條件，3.3.3電感

磁通量Φ與電流I成正比。【磁鏈Ψ】：與回路電流交鏈的磁通總量。

式中，為的閉合曲線所交鏈的部分電流，I為回路的總電流。1.磁通與磁鏈對于N匝線圈，電流為I，則如果與總電流交鏈，則CI細(xì)回路iCIo粗回路

粗導(dǎo)線構(gòu)成的回路，磁鏈分為兩部分：一部分是粗導(dǎo)線包圍的、磁力線不穿過導(dǎo)體的外磁鏈o；另一部分是磁力線穿過導(dǎo)體、只與部分電流交鏈的內(nèi)磁鏈i。可以看出，磁通只是反映了通過面積的磁場通量，不能反映磁場與哪些電流交鏈。而磁鏈考慮了相交鏈的電流的貢獻(xiàn)。

設(shè)回路C中的電流為I

，所產(chǎn)生的磁場與回路C交鏈的磁鏈為，則磁鏈與回路C中的電流I

有正比關(guān)系，其比值稱為回路C的自感系數(shù)，簡稱自感?！庾愿?.自感——內(nèi)自感；粗導(dǎo)體回路的自感：L=Li+Lo

自感只與回路的幾何形狀、尺寸以及周圍的磁介質(zhì)有關(guān)，與電流無關(guān)。

自感的特點(diǎn)：

對兩個彼此鄰近的閉合回路C1和回路C2

，當(dāng)回路C1中通過電流I1時，不僅與回路C1交鏈的磁鏈與I1成正比，而且與回路C2交鏈的磁鏈12也與I1成正比，其比例系數(shù)稱為回路C1對回路C2的互感系數(shù)，簡稱互感。

3.互感同理，回路C2對回路C1的互感為C1C2I1I2Ro

互感只與回路的幾何形狀、尺寸、兩回路的相對位置以及周圍磁介質(zhì)有關(guān)，而與電流無關(guān)。

滿足互易關(guān)系，即M12=M21

當(dāng)與回路交鏈的互感磁通與自感磁通具有相同的符號時，互感系數(shù)M為正值；反之，則互感系數(shù)M為負(fù)值。

互感的特點(diǎn)：3.3.4恒定磁場的能量1.磁場能量電流為I

的載流回路具有的磁場能量Wm

對于N個載流回路，則有對于體分布電流，則有2.能量密度

從場的觀點(diǎn)來看，磁場能量分布于磁場所在的整個空間。

磁場能量密度：

磁場的總能量：積分區(qū)域?yàn)殡妶鏊诘恼麄€空間

對于線性、各向同性介質(zhì)，則有若電流分布在有限區(qū)域內(nèi)，當(dāng)閉合面S無限擴(kuò)大時，則有

故

推證：S

例3.3.6同軸電纜的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a

，外導(dǎo)體的內(nèi)、外半徑分別為

b

和c

，如圖所示。導(dǎo)體中通有電流I

，試求同軸電纜中單位長度儲存的磁場能量與自感。

解：由安培環(huán)路定理，得三個區(qū)域單位長度內(nèi)的磁場能量分別為單位長度內(nèi)總的磁場能量為單位長度的總自感內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感內(nèi)外導(dǎo)體間的外自感外導(dǎo)體的內(nèi)自感3.4靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定理

邊值問題：在給定的邊界條件下，求解位函數(shù)的泊松方程或拉普拉斯方程

為了簡化計(jì)算，靜態(tài)場可以通過位函數(shù)獲得。

同時，位函數(shù)在邊界上須滿足一定邊界條件。

對于靜電場，位函數(shù)是電位，滿足

對于靜磁場，位函數(shù)是磁矢位，滿足3.4.1邊值問題的類型

已知場域邊界面上的位函數(shù)值，即

第一類邊值問題（狄里赫利問題）已知場域邊界面上的位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即

已知場域一部分邊界面上的位函數(shù)值，而其余邊界面上則已知位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即

第三類邊值問題（混合邊值問題）

第二類邊值問題（紐曼問題）

自然邊界條件（無界空間）源分布在有限區(qū)域。

分界面的銜接條件對于區(qū)域中包含兩個以上介質(zhì)的問題，邊值問題還要考慮介質(zhì)分界面上的邊界條件，稱為分界面的連接條件。如例：（第一類邊值問題）（第三類邊值問題）例：

在場域V的邊界面S上給定或的值，則泊松方程或Laplace方程在場域V

具有惟一值。3.4.2惟一性定理

惟一性定理的重要意義

給出了靜態(tài)場邊值問題具有惟一解的條件

為靜態(tài)場邊值問題的各種求解方法提供了理論依據(jù)

為求解結(jié)果的正確性提供了判據(jù)

惟一性定理的表述

唯一性定理給出了定解的充分必要條件，雖然沒有給出具體的求解方法，但對于求解有著重要的指導(dǎo)意義：一方面，我們在構(gòu)造求解方程時，可以依據(jù)唯一性定理設(shè)置必要的邊界條件；另一方面，如果我們利用某種方法獲得了解，則可以肯定解是唯一的。即使采用不同的方法獲得了不同形式的解，也可以肯定這些解是等價的。

3.5.1鏡像法的基本原理

3.5.2接地導(dǎo)體平面的鏡像

3.5鏡像法

前面只是學(xué)過一些簡單靜態(tài)場的計(jì)算方法：

媒質(zhì)均勻分布的空間中有限帶電體產(chǎn)生的電位－積分法

利用高斯定理計(jì)算具有對稱性的電位

實(shí)際中經(jīng)常遇到的問題都是帶有邊界的。因此，目前已經(jīng)學(xué)過的方法無能為力。

當(dāng)有電荷存在于導(dǎo)體或介質(zhì)表面附近時，導(dǎo)體和介質(zhì)表面會出現(xiàn)感應(yīng)電荷或極化電荷，而感應(yīng)電荷或極化電荷將影響場的分布。

非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代1.問題的提出

幾個實(shí)例

接地導(dǎo)體板附近有一個點(diǎn)電荷，如圖所示。qq′非均勻感應(yīng)電荷等效電荷3.5.1鏡像法的基本原理

接地導(dǎo)體球附近有一個點(diǎn)電荷，如圖。非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代等效電荷q非均勻感應(yīng)電荷q′

結(jié)論：所謂鏡像法是將不均勻電荷分布的作用等效為點(diǎn)電荷或線電荷的作用。

問題：這種等效電荷是否存在？這種等效是否合理？2.鏡像法的原理

以鏡像電荷代替邊界的影響，將原來具有邊界的非均勻空間變成無限大的均勻自由空間，從而使計(jì)算簡化。

根據(jù)惟一性定理，只要找出的解答滿足在同一泛定方程下問題所給定的邊界條件，那就是該問題的解答，并且是惟一的解答。鏡像法正是巧妙地應(yīng)用了這一基本原理、面向多種典型結(jié)構(gòu)的工程電磁場問題所構(gòu)成的一種有效的解析求解法。3.鏡像法的理論基礎(chǔ)——解的惟一性定理

鏡像電荷的個數(shù)、位置及其電量大小——“三要素”。4.鏡像法應(yīng)用的關(guān)鍵點(diǎn)5.確定鏡像電荷的兩條原則

鏡像電荷的確定

鏡像電荷必須位于所求解的場區(qū)域以外的空間中。

鏡像電荷的個數(shù)、位置及電荷量的大小以滿足所求解的場區(qū)域的邊界條件來確定。

只是一種“湊”的方法，僅對于某些特殊邊界以及特殊分布的電荷才有可能確定其鏡像電荷。6.鏡像法的局限性1.點(diǎn)電荷對無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像滿足原問題的邊界條件，所得的結(jié)果正確。3.5.2接地導(dǎo)體平面的鏡像電位函數(shù)（除q所在點(diǎn)外的區(qū)域）（導(dǎo)體板及下半空間）鏡像電荷（除q所在點(diǎn)外的區(qū)域）（導(dǎo)體板）q原問題有效區(qū)域q等效問題

原問題與等效問題，在上半平面問題相同。電位函數(shù)

可見，鏡像法的實(shí)質(zhì)是以一個處于鏡像位置的電荷代替邊界的影響，使整個空間變成均勻的介電常數(shù)為的空間，則空間任一點(diǎn)P的電位由q及其鏡像電荷q共同產(chǎn)生，即上半空間(z≥0）的電位函數(shù)q

導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷密度為導(dǎo)體平面上的總感應(yīng)電荷為鏡像電荷的電量應(yīng)該等于感應(yīng)電荷的總電量。2.點(diǎn)電荷對相交半無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像對于半無限大導(dǎo)體平面形成的劈形邊界,當(dāng)導(dǎo)體劈的夾角滿足（n為整數(shù)）時，也可采用鏡像法，鏡像電荷為2n-1個。分布在半徑為r0的圓上（r0為點(diǎn)電荷到角頂點(diǎn)的距離）。鏡像的角度為電荷量為為點(diǎn)電荷與劈的夾角。如果，則無法應(yīng)用鏡像原理。

如圖所示，兩個相互垂直相連的半無限大接地導(dǎo)體平板，點(diǎn)電荷q位于(d1,d2)處。

顯然，q1對平面2以及q2對平面1均不能滿足邊界條件。對于平面1，有鏡像電荷q1=－q，位于(－d1,d2)對于平面2，有鏡像電荷q2=－q，位于(d1,－d2)

只有在(－d1,－d2)處再設(shè)置一鏡像電荷q3=q，所有邊界條件才能得到滿足。電位函數(shù)d11qd22RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d13.6分離變量法

3.6.1

分離變量法的思想

3.6.2直角坐標(biāo)系中的分離變量法

將偏微分方程中含有n個自變量的待求函數(shù)表示成n個各自只含一個變量的函數(shù)的乘積，把偏微分方程分解成n個常微分方程，求出各常微分方程的通解后，把它們線性疊加起來，得到級數(shù)形式解，并利用給定的邊界條件確定待定常數(shù)。

分離變量法是求解邊值問題的一種經(jīng)典方法

分離變量法的理論依據(jù)是惟一性定