第五章大數(shù)定律與中心極限定理第一節(jié)大數(shù)定律第二節(jié)中心極限定理習(xí)題第一節(jié)大數(shù)定律切比雪夫不等式或

由切比雪夫不等式可以看出，若越小，則事件{|X-E(X)|<}的概率越大，即隨機(jī)變量X集中在期望附近的可能性越大.證我們只就連續(xù)型隨機(jī)變量的情況來(lái)證明.當(dāng)方差已知時(shí)，切比雪夫不等式給出了隨機(jī)變量X與它的期望的偏差不小于的概率的估計(jì)式.如取

可見(jiàn)，對(duì)任給的分布，只要期望和方差存在，則X取值偏離E(X)超過(guò)3

的概率小于0.111.例1

已知正常男性成人血液中，每一毫升白細(xì)胞數(shù)平均是7300，均方差是700.利用切比雪夫不等式估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在5200~9400之間的概率.解：設(shè)每毫升白細(xì)胞數(shù)為X依題意，E(X)=7300,D(X)=7002所求為

P(5200X9400)P(5200X9400)=P(-2100X-E(X)2100)=P{|X-E(X)|2100}由切比雪夫不等式

P{|X-E(X)|2100}即估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在5200~9400之間的概率不小于8/9.

練習(xí)在每次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為0.75,利用切比雪夫不等式求：n需要多么大時(shí)，才能使得在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件A出現(xiàn)的頻率在0.74~0.76之間的概率至少為0.90?解：設(shè)X為n

次試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的次數(shù)，E(X)=0.75n,的最小的n.則X~B(n,0.75)所求為滿足D(X)=0.75×0.25n=0.1875n=P(-0.01n<X-0.75n<0.01n)=P{|X-E(X)|<0.01n}

P(0.74n<X<0.76n)可改寫(xiě)為在切比雪夫不等式中取n，則=P{|X-E(X)|<0.01n}解得依題意，取

即n取18750時(shí)，可以使得在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件A出現(xiàn)的頻率在0.74~0.76之間的概率至少為0.90.

大量隨機(jī)試驗(yàn)中大數(shù)定律的客觀背景例如：大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)頻率字母使用頻率生產(chǎn)過(guò)程中的廢品率定義（依概率收斂）性質(zhì)注意:大數(shù)定律定義：設(shè)X1,X2,…是一隨機(jī)變量序列,其數(shù)學(xué)期望E(Xn)存在,n=1,2,…,若則稱隨機(jī)變量序列{Xn}服從大數(shù)定律.注：大數(shù)定律是研究隨機(jī)變量序列算術(shù)平均的收斂性問(wèn)題.切比雪夫大數(shù)定律：設(shè)X1,X2,…是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，如果存在常數(shù)C，使得D(Xk)≤C

(k=1,2,…)，則對(duì)于任意正數(shù)ε有也就是：切比雪夫故證明：切比雪夫不等式問(wèn)題:伯努利

設(shè)NA是n重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，是事件A發(fā)生的頻率.

設(shè)NA是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)于任意正數(shù)ε>0，有

貝努利大數(shù)定律：或也就是：伯努利

貝努里大數(shù)定律表明，當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率NA/n與事件A發(fā)生的概率p有較大偏差的概率很小.這就是所謂的“頻率穩(wěn)定性”.證明:當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)，事件“頻率NA/n與概率p的偏差小于ε”概率趨于1。由實(shí)際推斷原理，實(shí)際上這個(gè)事件幾乎是必定要發(fā)生的。在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，就可以用事件的頻率來(lái)代替事件的概率。定理的理解:注：切比雪夫大數(shù)定律與貝努里大數(shù)定律都是通過(guò)切比雪夫不等式建立的，故需要條件

方差存在且有界辛欽大數(shù)定律：設(shè)X1,X2,…是相互獨(dú)立，服從同一分布的隨機(jī)變量序列，且具有數(shù)學(xué)期望E(Xk)=μ(k=1,2,…)。則對(duì)于任意正數(shù)ε有也就是：注：辛欽大數(shù)定律用于判斷具有數(shù)學(xué)期望的獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列是否服從大數(shù)定律，不要求方差存在。辛欽辛欽大數(shù)定律是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中參數(shù)估計(jì)的基礎(chǔ)，如：對(duì)某件物品的重量X進(jìn)行n次測(cè)量，由于誤差隨機(jī)存在，每次測(cè)量結(jié)果可視為一個(gè)隨機(jī)變量，記作X1,X2，…,Xn,則它們彼此獨(dú)立且服從統(tǒng)一分布。由辛欽大數(shù)定律知，當(dāng)n充分大時(shí)，可用這n次測(cè)量結(jié)果取值的算術(shù)平均值近似隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.1、辛欽大數(shù)定律為尋找隨機(jī)變量的期望值提供了一條實(shí)際可行的途徑，是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中參數(shù)估計(jì)的理論基礎(chǔ).注2、貝努里大數(shù)定律是辛欽定理的特殊情況.3、辛欽定理具有廣泛的適用性.

要估計(jì)某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量，要收割某些有代表性塊，例如n塊地.計(jì)算其平均畝產(chǎn)量，則當(dāng)n

較大時(shí)，可用它作為整個(gè)地區(qū)平均畝產(chǎn)量的一個(gè)估計(jì).例在一個(gè)罐子中,裝有10個(gè)編號(hào)為0-9的同樣的球，從罐中有放回地抽取若干次，每次抽一個(gè)，并記下號(hào)碼.

設(shè)，k=1,2,…問(wèn)對(duì)序列{Xk}能否應(yīng)用大數(shù)定律？即對(duì)任意的ε>0,解:k=1,2,…E(Xk)=0.1,

諸Xk

(0-1分布)獨(dú)立同分布，且期望存在，故能使用大數(shù)定律.三、小結(jié)大數(shù)定律

大數(shù)定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了隨機(jī)現(xiàn)象最根本的性質(zhì)之一：平均結(jié)果的穩(wěn)定性貝努里大數(shù)定律獨(dú)立隨機(jī)變量序列第二節(jié)

中心極限定理

中心極限定理的客觀背景在客觀實(shí)際中，許多隨機(jī)變量是由大量的相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的綜合影響所形成的。而其中每一個(gè)別因素所起的作用都是微小的。例如：炮彈射擊的落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差，就受著許多隨機(jī)因素（如瞄準(zhǔn)，空氣阻力，炮彈或炮身結(jié)構(gòu)等）綜合影響的。每個(gè)隨機(jī)因素的對(duì)彈著點(diǎn)（隨機(jī)變量和）所起的作用都是很小的。這樣的隨機(jī)變量往往近似地服從正態(tài)分布！下面演示不難看到中心極限定理的客觀背景例:20個(gè)0-1分布的和的分布X1~f(x)X1+X2~g(x)X1+X2+X3~h(x)幾個(gè)(0,1)上均勻分布的和的分布0123xfgh

由于無(wú)窮個(gè)隨機(jī)變量之和可能趨于∞，故我們不研究n個(gè)隨機(jī)變量之和本身而考慮它的標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量.

在概率論中，習(xí)慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做中心極限定理.一、中心極限定理定理1（獨(dú)立同分布情形下的中心極限定理）注3、在一般情況下，我們很難求出

的分布函數(shù)。但當(dāng)n很大時(shí)，可用正態(tài)分布來(lái)近似求解。定理2（德莫佛－拉普拉斯中心極限定理）

設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)n,p(0<p<1)(n=1,2,‥‥)的二項(xiàng)分布，則對(duì)任意x，有證由第4章知，NA可分解成n個(gè)相互獨(dú)立的服從0-1分布的隨機(jī)變量定理表明：二項(xiàng)分布的極限分布是正態(tài)分布，即證畢。定理3（李雅普諾夫中心極限定理）定理的理解:二、例題例1于是解:例2

設(shè)有一批電話機(jī)，其次品率為1/6，現(xiàn)從這批電話機(jī)中任意抽取300臺(tái)，試計(jì)算次品數(shù)在40~60間的概率.解：設(shè)NA為任意抽取300臺(tái)電話機(jī)中的次品數(shù)，則NA~B(300,1/6)又E(NA)=300*1/6=50;D(NA)=300*1/6*5/6=125/3，由中心極限定理知，故所求例3解四、小結(jié)中心極限定理注這一節(jié)我們介紹了中心極限定理

在后面的課程中，我們還將經(jīng)常用到中心極限定理.

中心極限定理是概率論中最著名的結(jié)果之一，它不僅提供了計(jì)算獨(dú)立隨機(jī)變量之和的近似概率的簡(jiǎn)單方法，而且有助于解釋為什么很多自然群體的經(jīng)驗(yàn)頻率呈現(xiàn)出鐘形曲線這一值得注意的事實(shí).習(xí)題例1

根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，某種電器元件的壽命服從均值為100的指數(shù)分布.現(xiàn)隨機(jī)地取16只，設(shè)它們的壽命是相互獨(dú)立的.求這16只元件的壽命的總和大于1920小時(shí)的概率.由題給條件知，諸Xi獨(dú)立，16只元件的壽命的總和為且E(Xi)=100,D(Xi)=10000依題意，所求為P(Y>1920)設(shè)第i只元件的壽命為Xi,i=1,2,…,16例1解答：E(Y)=1600,D(Y)=160000由中心極限定理,近似N(0,1)P(Y>1920)=1-P(Y1920)=1-(0.8)1-=1-0.7881=0.2119例2

在一個(gè)罐子中,裝有10個(gè)編號(hào)為0-9的同樣的球，從罐中有放回地抽取若干次，每次抽一個(gè)，并記下號(hào)碼.

設(shè)，k=1,2,…(1)至少應(yīng)取球多少次才能使“0”出現(xiàn)的頻率在0.09-0.11之間的概率至少是0.95?(2)用中心極限定理計(jì)算在100次抽取中,數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)在7和13之間的概率.（1)解：設(shè)應(yīng)取球n次，0出現(xiàn)頻率為由中心極限定理例2解答：欲使即查表得從中解得即至少應(yīng)取球3458次才能使“0”出現(xiàn)的頻率在0.09-0.11之間的概率至少是0.95.（2）解：在100次抽取中,數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)為由中心極限定理,即其中E(Xk)=0.1,D(Xk)=0.09即在100次抽取中，數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)在7和13之間的概率為0.6826.=0.6826例3

甲乙兩電影院在競(jìng)爭(zhēng)1000名觀眾，假設(shè)每位觀眾在選擇時(shí)隨機(jī)的，且彼此相互獨(dú)立，問(wèn)甲至少應(yīng)設(shè)多少個(gè)座位，才能使觀眾因無(wú)座位而離去的概率小于1％？例3解答

設(shè)X表示來(lái)甲電影院的人數(shù)，甲至少設(shè)N個(gè)座位。例4(供電問(wèn)題)某車間有200臺(tái)車床,在生產(chǎn)期間由于需要檢修、調(diào)換刀具、變換位置及調(diào)換工件等常需停車.設(shè)開(kāi)工率為0.6,并設(shè)每臺(tái)車床的工作是獨(dú)立的，且在開(kāi)工時(shí)需電力1千瓦.問(wèn)應(yīng)供應(yīng)多少瓦電力就能以99.9%的概率保證該車間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn)?

解：對(duì)每臺(tái)車床的觀察作為一次試驗(yàn)，每次試驗(yàn)是觀察該臺(tái)車床在某時(shí)刻是否工作,工作的概率0.6,共進(jìn)行200次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).用X表示在某時(shí)刻工作著的車床數(shù)，依題