*三、向量的混合積第二節(jié)一、兩向量的數(shù)量積二、兩向量的向量積數(shù)量積向量積*混合積第七章341學(xué)習(xí)指導(dǎo)教學(xué)目的：

掌握向量的數(shù)量積、向量積的概念，熟練掌握數(shù)量積、向量積的運(yùn)算及性質(zhì)?；揪毩?xí)：會(huì)計(jì)算向量的數(shù)量積、向量積。342向量與數(shù)量是兩個(gè)不同的概念。向量的運(yùn)算是既有大?。＃┯钟蟹较虻倪\(yùn)算，這是與數(shù)的運(yùn)算（只有大?。┎幌嗤摹Ｒ⒁鈹?shù)量積、向量積、混合積的定義，不要將數(shù)的一些運(yùn)算規(guī)律隨意用到向量中．?dāng)?shù)的乘法只有一種，其結(jié)果還是數(shù)，而向量的乘法有多種，例如，數(shù)量積、混合積的結(jié)果是數(shù)，向量積的結(jié)果是向量。注意事項(xiàng)343一、兩向量的數(shù)量積設(shè)一物體在常力F作用下沿直線從點(diǎn)M1移動(dòng)到點(diǎn)M2.以s表示位移.數(shù)量積的物理背景

由物理學(xué)知道,力F所作的功為W|F||s|cos

,其中為F與s的夾角.啟示兩向量作這樣的運(yùn)算,結(jié)果是一個(gè)數(shù)量.344對(duì)于兩個(gè)向量a和b,它們的模|a|、|b|及它們的夾角的余弦的乘積稱為向量a和b的數(shù)量積,記作ab,即a·b|a||b|cos

.數(shù)量積的定義

根據(jù)數(shù)量積,力F所作的功W就是力F與位移s的數(shù)量積,即WFs.

345數(shù)量積與投影由于|b|cos|b|cos(a

^b),當(dāng)a0時(shí),|b|cos(a

^b)是向量b在向量a的方向上的投影,于是

a·b|a|Prjab.同理,當(dāng)b0時(shí),a·b|b|Prjba.所以,一、兩向量的數(shù)量積數(shù)量積也稱為“點(diǎn)積”、“內(nèi)積”。結(jié)論兩向量的數(shù)量積等于其中一個(gè)向量的模和另一個(gè)向量在這向量的方向上的投影的乘積。346關(guān)于數(shù)量積的說(shuō)明：證證347數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）交換律：（2）分配律：（3）若為數(shù)：若、為數(shù)：348例1試用向量證明三角形的余弦定理記則有從而由及即得設(shè)在中，要證證：349數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式設(shè)3410兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式：由此可知兩向量垂直的充要條件為3411

例2

已知三點(diǎn)M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2),求AMB.從M到A的向量記為a,從M到B的向量記為b,則AMB就是向量a與b的夾角.因?yàn)閍b1110011,b(2,1,2)(1,1,1)a(2,2,1)(1,1,1)(1,1,0),(1,0,1).

解

3412證3413從而,所求液體的質(zhì)量為

P=rAv·n.體積為

A|v|cosq=Av·n.這柱體的高為

|v|cosq,

解

單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)這區(qū)域的液體組成一個(gè)底面積為A、斜高為|v|的斜柱體.

例4

在流速為(常向量)v的液體內(nèi)有一個(gè)平面區(qū)域A,n為垂直于A的單位向量,計(jì)算單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)這區(qū)域流向n所指一方的液體的質(zhì)量P(液體的密度為r).3414實(shí)例二、兩向量向量積從給定點(diǎn)到力作用線任意點(diǎn)的向徑和力本身的矢積。

3415定義向量積的性質(zhì)：//向量積的運(yùn)算律：（1）交換性：（2）分配律：34163417——向量積的坐標(biāo)表達(dá)式3418向量積可用三階行列式表示//由向量積的坐標(biāo)表達(dá)式知：例如，3419補(bǔ)充：3420解例4設(shè)，，計(jì)算.3421解3422解根據(jù)向量積的定義，三角形ABC的面積為例5已知三角形ABC的頂點(diǎn)分別是A(1,2,3)、B(3,4,5)和C(2,4,7)，求三角形ABC的面積.由于因此于是3423解三角形ABC的面積為3424提示：

例6

設(shè)剛體以等角速度繞l軸旋轉(zhuǎn),計(jì)算剛體上一點(diǎn)M的線速度.剛體繞l軸旋轉(zhuǎn)時(shí),我們可以用在l軸上的一個(gè)向量w表示角速度,它的大小等于角速度的大小,它的方向由右手規(guī)則定出:即以右手握住l軸,當(dāng)右手的四個(gè)手指的轉(zhuǎn)向與剛體的旋轉(zhuǎn)方向一致時(shí),大姆指的指向就是w的方向.

解

軸上任取一點(diǎn)O作向量r,并以表示設(shè)點(diǎn)M到旋轉(zhuǎn)軸l的距離為a,再在lw與r的夾角,那么3425設(shè)線速度為v,那么由物理學(xué)可知|v||w|a|w||r|sin

;

a|r|sin

.v垂直于w與r,且v的指向是使w、r、v符合右手規(guī)則.因此有vwr.

例6

設(shè)剛體以等角速度繞l軸旋轉(zhuǎn),計(jì)算剛體上一點(diǎn)M的線速度.

解

軸上任取一點(diǎn)O作向量r,并以表示設(shè)點(diǎn)M到旋轉(zhuǎn)軸l的距離為a,再在lw與r的夾角,那么3426三、向量的混合積**定義設(shè)混合積的坐標(biāo)表達(dá)式3427（1）向量混合積的幾何意義：關(guān)于混合積的說(shuō)明：當(dāng)組成右手系時(shí)，為正；當(dāng)組成左手系時(shí)，為負(fù).3428解3429式中正負(fù)號(hào)的選擇必須和行列式的符號(hào)一致.3430（向量積為零；對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例；線性相關(guān)）；1、向量的數(shù)量積2、向量的向量積3、數(shù)量積的坐標(biāo)表示（結(jié)果是一個(gè)數(shù)量）；（結(jié)果是一個(gè)向量）；（對(duì)應(yīng)坐標(biāo)乘積之和）；四、小結(jié)4、向量積的坐標(biāo)表示（行列式）；5、向量垂直的充要條件（數(shù)量積為零；對(duì)應(yīng)坐標(biāo)乘積之和為零）；6、向量平行的充要條件7、向量積的幾何意義（其模為平行四邊形的面積）。8、*混合積及其幾何意義（其絕對(duì)值