1y=0+1x+Chapter本章Mechanicsof eInequality年，1756年，我們會得到參數的不同估計值.抽N次我們會得到N ExpectedValuesandVariancesoftheOLSEstimatorsOLSfromthepopulation.underasetofassumptions. 假定SLR.1（關于參數是線性的u的關系可寫y=0+1x+u其中01分別是總體的截距參數和斜率參 Assumewecanusearandomsampleofsizen,{(xi,yi):i=1,2,…,n},fromthepopulationmodel.Thuswecanwritethesamplemodelyi=0+1xi+ui假定我們從總體模型隨機抽取容量為n的樣本,{(xi,yi):i=1,2,…nyi01xiui SLR.3和SLR.3,零條件期望：AssumeE(u|x)=0andthusinarandomsampleE(ui|xi)=E(u|x0E(ui|xiSLR.4(SampleVariationintheIndependentVariable):Inthesample,theindependentvariablesx’sarenotallequaltothesameconstant.SLR.4自變量中的樣本變動):x 定理2.1OLS的無偏性UsingassumptionsSLR.1 throughSLR.4,wehavetheexpectedvalueoftheOLSestimatesof0,and1equalsthetruevaluesof0and1使用假定SLR.1到SLR.4，我們可以得到無論0, 11

xi

xyi2xix2 OLS的無偏性(繼續(xù)其中,分子可以寫成xixxix01xiui0xix1xixxix利用xixxxxxx 可得? xixxxi11 2 xix + xx i其中最后一個等號是由條件期望零值假定保證的 由于y 01xu10(1?)x1故E(?|X)E[(?)x]E(u|X) 10的OLS估計量是無 agivensamplewemaybe“near”or“far”fromthetrue Finance]

assumptionsfailsStudentMathPerformanceandtheSchoolLunchUsing409Michiganhighschooldatafor1992–1993,math10:mathscoreforthe10th 05- - 05

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S學生的數學成績和學校的免費午餐項 OLS估計量的抽樣 AssumeSLR.5Var(u|x)=s2 Homoskedasticy. .E(y|x)=0+x. ..E(y|x)=0+xVar(u|x)=E(u2|x)-E(u|x)=0,sos2=E(u2|x)=E(u2)=Cansay:E(y|x)=0+1xandVar(y|x)= 當Var(y|x)值和x相關時，我們稱誤差項具有異方 Varxixui1 xx Varxxu2xx2 2 xixVaruixx2 2xx xx22 xx OLSEstimators)2.2OLS估計量的抽樣方差SLR.1SLR.5下，我們有 Var1 2 (xx i 2 Var() (xx i VarianceofOLS varianceoftheslopeestimate誤差方差s2越大，斜率估計量的方差也越 shouldchoosethexi’stobeasspreadoutasxi的變動越大，斜率估計量的方差越小.因此我們應該選可能的分散開的xi VarianceofOLSdata,butrarelydowehavethisluxuryinthesocialsciences.varianceoftheslopeestimate.大的樣本容量能夠減 觀察到誤差uiWhatweobservearetheresiduals, theerrorvariance我們可以用殘差構成誤差方差的 uu

(1/ iiuiui

n)n estimatorforui. iyi? 01xiui? Then,anunbiasedestimatorof 那么，2的一個無偏 u?2SSR/n2n ?2Standarderrorofthe xifwesubstitute?forthenwe如果我們用替換，那么我們可得thestandarderrorof?1?的標