第十章數(shù)項級數(shù)§1級數(shù)問題的提出1．證明：若微分方程有多項式解，則必有．證明由多項式解得，.從而且，.將上述結(jié)果代入微分方程，得.比較系數(shù)得遞推公式如下：由此解得，因而．2．試確定系數(shù)，使?jié)M足勒讓德方程.解設(shè)，則，，故，，.將上述結(jié)果代入勒讓德方程，得.比較系數(shù)，得遞推公式如下：由此解得從而可以得到.其中取任何常數(shù)．§2數(shù)項級數(shù)的收斂性及其基本性質(zhì)1．求下列級數(shù)的和：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．解（1）由于，故，所以級數(shù)的和.（2）由于，故.所以級數(shù)的和.（3）．（4），因此欲求原級數(shù)的和，只需計算級數(shù)即可．對級數(shù)，設(shè)其部分和，則，故.從而，即，因此原級數(shù)．（5）由于級數(shù)的部分和，故，從中解得.又由于當(dāng)時，，故，因此．（6）級數(shù)的部分和，從而，從中解得.因此．2．討論下列級數(shù)的斂散性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．解（1）由于通項，故原級數(shù)發(fā)散．（2）由于，均收斂，故原級數(shù)收斂．（3）由于通項，故原級數(shù)發(fā)散．（4）由于，從而部分和，因而原級數(shù)收斂．（5）由于，從而時，，故原級數(shù)收斂．3．證明定理10.2．定理10.2若級數(shù),收斂，則級數(shù)也收斂，且.證明設(shè)，則由已知條件知，存在有限數(shù)，使得，設(shè)級數(shù)的部分和數(shù)列為，則，所以也收斂，且．4．設(shè)級數(shù)各項是正的，把級數(shù)的項經(jīng)過組合而得到新級數(shù)，即，其中，若收斂，證明原來的級數(shù)也收斂．證明設(shè)，則.由于收斂，故有界，即{}有界，即存在，使得，都有.又由于是正項級數(shù)，故，而且{}單調(diào)上升，由單調(diào)有界原理可知，原級數(shù)收斂．§3正項級數(shù)1．判別下列級數(shù)的收斂性：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）；；；；；；；；（9）；；（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）（19）；；；；；；；；；（20）．解（1）．由于，而發(fā)散，所以級數(shù)發(fā)散．（2）．對任意正整數(shù)，都成立關(guān)系式，而級數(shù)收斂，由比較判別法知，原級數(shù)收斂．（3）．由于，所以級數(shù)發(fā)散．（4）．由于，而收斂，故收斂．（5）．由于，故，而收斂，由比較判別法知，級數(shù)收斂．（6）（7）（8）（9）．由于，而發(fā)散，故．由于，故級數(shù)發(fā)散．收斂．．由于，故原級數(shù)收斂．．方法1因為，而和均收斂，故收斂．方法2由于對一切都成立，而收斂，故收斂．（10）．由于，而收斂，故原級數(shù)收斂．（11）．由于，因此，若收斂，則原級數(shù)收斂.考慮級數(shù)，由于，且收斂，故收斂，因而原級數(shù)收斂．（12）（13）（14）（15）（16）（17）．由于，而收斂，因而原級數(shù)收斂．．由于，而發(fā)散，因而原級數(shù)發(fā)散．．由于，由級數(shù)收斂的必要條件知，原級數(shù)發(fā)散．．由于，而收斂，故原級數(shù)收斂．．由于，而級數(shù)收斂，故原級數(shù)收斂．．由于，而級數(shù)收斂，故原級數(shù)收斂．（18）．由于極限，而對于級數(shù)，根據(jù)，故由根式判別法知，級數(shù)收斂，因而原級數(shù)收斂．（19）．對通項進行分子有理化可得，由于發(fā)散，故原級數(shù)發(fā)散．（20）．由于，而級數(shù)均收斂，因而原級數(shù)收斂．2．判別下列級數(shù)的斂散性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）．解（1）．由于，所以發(fā)散．（2）．由于，根據(jù)達朗貝爾判別法知，原級數(shù)收斂．（3）．由于，故收斂．（4）．由于，故發(fā)散．（5）．這個級數(shù)不能用達朗貝爾判別法和柯西判別法判別，也不能用拉阿比判別法判別，但由斯特林公式可知，因而，通項的極限不為0，由級數(shù)收斂的必要條件知原級數(shù)發(fā)散．（6）．因為，故收斂．（7）．由于，由柯西判別法知，原級數(shù)收斂．（8）．由于，因此，如果級數(shù)收斂，則原級數(shù)也收斂.考慮級數(shù)，由于，故它收斂，因而原級數(shù)也收斂．（9）．當(dāng)時，級數(shù)顯然收斂；當(dāng)時，由于因而收斂，因此原級數(shù)對一切收斂．（10）．級數(shù)的一般項，由于，因而原級數(shù)收斂．3．判別級數(shù)的斂散性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）（是任意實數(shù)）；（8）（是任意實數(shù)）．解（1）．當(dāng)時，故當(dāng)時，而收斂，由比較判別法知，原級數(shù)收斂．（2）．由于，且，故存在，當(dāng)時，從而，即當(dāng)時，，而級數(shù)收斂，故原級數(shù)收斂．（3）．方法1由于，該極限為型極限，由L＇hospital法則得，由Raabe判別法知，原級數(shù)發(fā)散．方法2由于，所以，而級數(shù)發(fā)散，由比較判別法知，原級數(shù)發(fā)散.（4）．由于，由Raabe判別法知，原級數(shù)收斂．一般地，對，當(dāng)時，對一切，成立，所以，從而發(fā)散；當(dāng)時，由于，由Raabe判別法知，級數(shù)收斂．（5）．由于，所以存在，當(dāng)時，有，即，從而，故，而收斂，故收斂．（6）．由于，所以存在，當(dāng)時，有，即，從而，故，而收斂，故收斂．（7）（是任意實數(shù)）．由于當(dāng)時，，所以若發(fā)散，則原級數(shù)必發(fā)散，而時發(fā)散，因而時，原級數(shù)發(fā)散．當(dāng)時，由于，因而，利用柯西積分判別法知，原級數(shù)收斂．（8）（是任意實數(shù)）．當(dāng)時，由于且收斂，故原級數(shù)收斂；當(dāng)時，由于，因而，由柯西積分判別法知，原級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時，由于，而就是前面時的級數(shù)，已證得它發(fā)散，因而原級數(shù)發(fā)散．4．利用Taylor公式估算無窮小量的階，從而判別下列級數(shù)的收斂性：（1）；（2）；（3）；（4）．解（1）．令，則，從而，因此.該極限為有限數(shù)，因而與是同階無窮小量，由于當(dāng)時收斂，時發(fā)散，因而原級數(shù)當(dāng)時收斂，時發(fā)散．（2）．由于，故，這是一個有限數(shù)，從而與是同階無窮小量，因此原級數(shù)與的收斂性一致，所以當(dāng)即時，原級數(shù)收斂，而當(dāng)即時，原級數(shù)發(fā)