第一章行列式習題課★重點與難點

★主要內容★典型例題一、重點與難點1.重點行列式的計算：定義、性質、展開定理2.難點高階行列式的計算返回克拉默法則二、主要內容克拉默法則排列行列式其全逆排序列數(shù)及對換定義性質展開返回把個不同的元素排成一列，叫做這個元素的全排列（或排列）．個不同的元素的所有排列的種數(shù)用表示，且．１全排列逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列．在一個排列中，若數(shù)，則稱這兩個數(shù)組成一個逆序．一個排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù)．２逆序數(shù)分別計算出排列中每個元素前面比它大的數(shù)碼個數(shù)之和，即算出排列中每個元素的逆序數(shù)，每個元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù)．方法2方法1分別計算出排在前面比它大的數(shù)碼之和，即分別算出這個元素的逆序數(shù)，這個元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù)．３計算排列逆序數(shù)的方法定義在排列中，將任意兩個元素對調，其余元素不動，稱為一次對換．將相鄰兩個元素對調，叫做相鄰對換．定理一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性．推論奇排列調成標準排列的對換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列調成標準排列的對換次數(shù)為偶數(shù)．４對換５n階行列式的定義n階行列式也可以定義為或６n階行列式的性質性質1

行列式與它的轉置行列式相等(D=DT).性質2

互換行列式的兩行(ri?rj)或列(ci?cj),

行列式變號.推論如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.性質3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)k(ri×k

)

，等于用數(shù)k乘此行列式.推論

1.D的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D的外面;2.D中某一行（列）所有元素為零，則D=0;性質４

行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．性質5

若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和，則性質6

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對應的元素上去，行列式不變．D=１）余子式與代數(shù)余子式７行列式按行（列）展開在n階行列式中，把元素所在的第i

行和第j

列劃去后，留下來的n-1階行列式叫做元素的余子式，記作叫做元素的代數(shù)余子式．２）關于代數(shù)余子式的重要性質８克拉默法則克拉默法則的理論價值定理定理定理定理一、計算排列的逆序數(shù)二、計算（證明）行列式三、克拉默法則典型例題分別算出排列中每個元素前面比它大的數(shù)碼之和，即算出排列中每個元素的逆序數(shù)．解例１一、計算排列的逆序數(shù)于是排列的逆序數(shù)為

當時,為偶數(shù)，排列為偶排列；

當時,為奇數(shù)，排列為奇排列；二、計算（證明）行列式(一)低階行列式的計算：1、二階、三階行列式,可直接應用對角線法則.2、四階、五階行列式:⑴根據(jù)行列式的特點,利用行列式的性質,把它逐步化為上（下）三角行列式；⑵根據(jù)行列式按行（列）展開定理,降階求解．計算四階行列式解一：計算四階行列式解二：按第一列展開再按第三列展開再按第三列展開計算四階行列式解三：按第一行展開求解下列方程所以，方程組的解為(二)高階行列式的計算：n階行列式計算的方法有很多，主要是根據(jù)行列式的特點選擇不同的方法，下面主要通過典型例題介紹幾種常用的方法．

例２用行列式定義計算１用定義計算（證明）由定義在該和式中，只有解又t(n-1,n-2,

…

2,1,n)=所以解8(1)計算其中對角線上元素都是a，未寫出的元素都是0.由定義在該和式中，只有和又t(n,2,

…n-1,1)=2n-3所以

評注本例是從一般項入手，將行標按標準順序排列，討論列標的所有可能取到的值，并注意每一項的符號，這是用定義計算行列式的一般方法．例3寫出四階行列式中含有因子a11a23，且前面為負號的那項.由分析可知，包含因子a11a23的項為：解和因此所求為而2用化三角形行列式計算例4計算將第列都加到第一列，得注意到各行元素之和都相等,故解提取第一列的公因子，得將第一列的(-a1)倍加到第二列，將第一列的(-a2)倍加到第三列，……將第一列的(-an)倍加到第n+1列，得

評注本題利用行列式中元素的特點，運用行列式的性質，采用“化零”的方法，逐步將所給行列式化為三角形行列式．例5計算對于形如解可利用性質將其化為三角行列式來計算.……將第二列的倍加到第一列，將第三列的倍加到第一列，將最后一列的倍加到第一列，得例6

計算n階行列式解

每行都減去第一行，得3用拆成行列式之和計算例7

證明證明按第一列拆開=右邊4用降階法計算例8計算解對于形如即所謂兩條線的行列式，可利降階、用性質將其化為三角行列式來計算.按第一列展開，得計算解該題形如可直接展開降階，計算.法一：按第一列展開，得法二：8(1)計算其中對角線上元素都是a，未寫出的元素都是0.解該題形如可直接展開降階，計算.按第一列展開例9計算解

此行列式的最后一行雖然每個元素都非零，但他們對應的余子式均為上(下)三角行列式(塊)，于是，按最后一行展開．5用遞推法計算解8(1)計算按第二行展開，得其中對角線上元素都是a，未寫出的元素都是0.

本題是利用行列式的性質，將n階行列式Dn用n-1階行列式Dn-1表示出來，建立了Dn與Dn-1之間的遞推關系.如此繼續(xù)下去，可得評注法二(化三角)8(1)計算用遞推法計算解例10計算按第一列展開，得如此繼續(xù)下去，可得6用數(shù)學法歸納法計算解例11計算n=1時，則當n=2時，猜測下面用數(shù)學歸納法證明當n=1時，結論顯然成立.假設n=k時，結論成立，即則當n=k+1時，把Dk+2按第一列展開，得于是，對于任意的n，有評注7利用范德蒙行列式計算例12計算利用范德蒙行列式計算行列式，應根據(jù)范德蒙行列式的特點，將所給行列式化為范德蒙行列式，然后根據(jù)范德蒙行列式計算出結果。解

評注本題所給行列式各行（列）都是某元素的不同方冪，而其方冪次數(shù)或其排列與范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性質（如提取公因子、調換各行（列）的次序等，將此行列式化成范德蒙行列式．例13計算解與范德蒙行列式很接近，只需在第3行與第4行之間增加一行，再加一列，便可構成5階范德蒙行列式，令

D恰為f(x)中x3的余子式M45，即若將f(x)中按最后一列展開，可知x3的系數(shù)為A45根據(jù)范得蒙行列式的結果，可知x3的系數(shù)為：所以8有關代數(shù)余子式的計算解例14已知四階行列式，求由于第二列元素與第四列代數(shù)余子式乘積解P289已知四階行列式，求計算行列式的方法比較靈活，同一行列式可以有多種計算方法；有的