安徽省桐城中學(xué)2022—2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末測試卷一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，且A=B，則（）A.－1 B.0 C.1 D.±1【答案】A【解析】【分析】由集合相等關(guān)系，即集合元素的互異性，得和的值.【詳解】因?yàn)?，又即，所以，則，又，所以，所以.故選：A.2.sin2010°的值是（）A. B.－ C. D.－【答案】B【解析】【分析】直接利用誘導(dǎo)公式化簡計(jì)算即可.【詳解】，故選：B3.已知，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，平方求得，再化簡，即可求解.【詳解】因?yàn)?，平方可得，可得，又?故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的基本關(guān)系式的化簡、求值，其中解答中熟練應(yīng)用三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行化簡、運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查運(yùn)算與求解能力.4.已知為凸多邊形的內(nèi)角，且，則這個(gè)多邊形是（）A.正六邊形 B.梯形C矩形 D.含銳角菱形【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)以及正弦的有界性可得，進(jìn)而可得，根據(jù)凸多邊形的內(nèi)角和即可求解.【詳解】,則,又為凸多邊形的內(nèi)角,則,則,進(jìn)而得,所以,所以,由凸多邊形的內(nèi)角和可得,解得,即這個(gè)多邊形是矩形.故選:C.5.將函數(shù)f（x）＝cos8x圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）,再將它的圖像向左平移φ（φ>0）個(gè)單位長度，得到了一個(gè)奇函數(shù)的圖像，則φ的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖像平移規(guī)則求出平移后的解析式，再利用奇偶性求出.【詳解】將x伸長2倍后的函數(shù)函數(shù)解析式為，再向左平移，得到，由題意，是奇函數(shù)，，的最小值是，的最小值是；故選：B.6.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P（cost，sint），A（2，0），當(dāng)t由變化到時(shí)，線段AP掃過的區(qū)域的面積等于（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依題意作圖，點(diǎn)P在單位圓上，考慮AP與單位圓相切的情況，求出AP掃過的圖形，再求出面積.【詳解】，點(diǎn)P在以原點(diǎn)為圓心的單位圓O上，起始點(diǎn)為圖中的，終點(diǎn)為，顯然，AP掃過的面積為圖中陰影面積，與等底同高，，所以AP掃過的面積就是扇形CDO的面積，OC與OD的夾角，扇形CDO的面積；故選：B.7.函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則a的值為（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】令，，根據(jù)輔助角公式，可得.又根據(jù)對稱性可得，.對為偶數(shù)以及為奇數(shù)討論，即可得出的值.詳解】由已知，令，，則.因?yàn)閳D像關(guān)于直線對稱，所以，所以.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，有，可得；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，有，又，此時(shí)無解.綜上所述，.故選：C.8.已知角的頂點(diǎn)都為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊都與x軸的非負(fù)半軸重合，且都為第一象限的角，終邊上分別有點(diǎn)，，且，則的最小值為（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分別求出終邊所在的直線的斜率，運(yùn)用正切二倍角公式求出a與b之間的關(guān)系，再運(yùn)用基本不等式求解.【詳解】角終邊所在直線的斜率為，角終邊所在的直線的斜率為，，，，由基本不等式得（當(dāng)時(shí)等號成立）；故選：D.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.設(shè)正實(shí)數(shù)a，b滿足，則（）．A.有最大值4 B.有最大值C.有最大值 D.有最小值【答案】BC【解析】【分析】由已知條件結(jié)合基本不等式逐一檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．【詳解】解：正實(shí)數(shù)，滿足，對A：，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)取等號，所以有最小值4，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對B：，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以有最大值，故選項(xiàng)B正確；對C：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，即有最大值，故選項(xiàng)C正確；對D：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以有最小值，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：BC.10.下列命題中正確的是（）A.命題：“”的否定是“”B.函數(shù)（且）恒過定點(diǎn)C.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)镈若函數(shù)，則【答案】BCD【解析】【分析】A選項(xiàng)，全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，把任意改為存在，把結(jié)論否定；B選項(xiàng)，，從而得到函數(shù)恒過定點(diǎn)；C選項(xiàng)，利用同一對應(yīng)法則下，范圍一致得到，求出即為定義域；D選項(xiàng)，利用配方得到結(jié)合，得到答案.【詳解】A選項(xiàng)，“”的否定是“”，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，且，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)（且）恒過定點(diǎn)，B正確；C選項(xiàng)，由得：，故，解得：，C正確；D選項(xiàng)，，且，故，D正確.故選：BCD11.下列命題為真命題的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)，k∈Z對稱B.函數(shù)是最小正周期為π的周期函數(shù)C.設(shè)θ為第二象限角，則，且D.函數(shù)的最小值為－1【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)的圖象得對稱中心判斷A；由函數(shù)的圖象判斷B；由，則，，分為偶數(shù)，為奇數(shù)兩種情況檢驗(yàn)C；由，，，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷D；【詳解】解：根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故A正確；函數(shù)的圖象如下所示；故B錯(cuò)誤；設(shè)是第二象限角即，則，當(dāng)為偶數(shù)，，成立，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，故C錯(cuò)誤；函數(shù)，，，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，故D正確；故選：AD【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的性質(zhì)的判斷，解題的關(guān)鍵是要熟練掌握三角函數(shù)的性質(zhì)并能靈活應(yīng)用，其中B中的函數(shù)的周期的判斷的方法是根據(jù)函數(shù)的圖象，而不要利用周期定義，屬于中檔題．12.已知銳角滿足，設(shè)，則下列判斷正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】由條件判斷，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】因?yàn)?，為銳角，若，則，，則，同理，與矛盾，所以，A項(xiàng)正確；所以，所以，B項(xiàng)正確；同理可得，，所以，所以是減函數(shù)，所以，C正確；，D錯(cuò)誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】根據(jù)，通過假設(shè)得到矛盾，由此得，比較出，，得.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知，且，函數(shù)的圖象恒過點(diǎn)，若在冪函數(shù)圖像上，則＝__________．【答案】【解析】【分析】由，知，即時(shí)，，由此能求出點(diǎn)的坐標(biāo)．用待定系數(shù)法設(shè)出冪函數(shù)的解析式，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求出冪函數(shù)的解析式，即可求得答案.【詳解】，，即時(shí)，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是由題意令，圖象過點(diǎn)得解得：故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求冪函數(shù)值，解題關(guān)鍵是掌握判斷對數(shù)函數(shù)恒過定點(diǎn)的方法和冪函數(shù)的基礎(chǔ)知識，考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.14.若，則___.【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，，再根據(jù)利用兩角差的余弦公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及兩角差的余弦公式，屬于中檔題.15.函數(shù)（ω>0）的圖象在[0，1]上恰有兩個(gè)最大值點(diǎn)，則ω的取值范圍為__________【答案】≤ω<【解析】【分析】計(jì)算的取值范圍，根據(jù)正弦在此范圍內(nèi)恰有兩個(gè)最大值點(diǎn)，列出不等式，解出的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，且，所以，又因在上恰有兩個(gè)最大值點(diǎn)，所以，解得.故答案為：.16.設(shè)表示，兩者中較大的一個(gè)，已知定義在的函數(shù)，滿足關(guān)于的方程有個(gè)不同的解，則的取值范圍為_____【答案】【解析】【分析】由題意可得或，畫出的圖象，然后結(jié)合圖象求解即可.【詳解】由，得或，的圖象如圖所示，因?yàn)殛P(guān)于的方程有個(gè)不同的解，所以和與的圖象共有6個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，解得，所以的取值范圍為，故答案為：四、解答題（本大題共6小題，第17題10分，第18-22題每題12分，共70分，解答應(yīng)寫成文字說明、證明過程或演算步驟）17.化簡求值（1）（2）［2sin50°+sin10°（1+tan10°）］×【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)對數(shù)性質(zhì)計(jì)算；（2）運(yùn)用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和和差公式計(jì)算.【小問1詳解】；【小問2詳解】原式；綜上，（1）原式=1，（2）原式=.18.已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）若≤對任意的恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和輔助角公式將整理為，將整體對應(yīng)的單調(diào)增區(qū)間，求出的范圍即可；（2）將問題轉(zhuǎn)化為，通過還原將問題轉(zhuǎn)化為，；根據(jù)單調(diào)性求得，從而得到結(jié)果.【詳解】（1）由得：單調(diào)增區(qū)間為：（2）由得：當(dāng)時(shí)，令，則，又在單調(diào)遞增【點(diǎn)睛】本題考查的單調(diào)區(qū)間的求解、與三角函數(shù)有關(guān)的恒成立問題.解決恒成立問題的關(guān)鍵是通過分離變量的方式將問題轉(zhuǎn)化為變量與函數(shù)最值之間的關(guān)系，需要注意的是自變量的取值范圍.19.如圖，某市準(zhǔn)備在道路的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)比賽道，賽道的前一部分為曲線段，該曲線段是函數(shù)，時(shí)的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為，賽道的中部分為長千米的直線跑道，且，賽道的后一部分是以為圓心的一段圓弧．（1）求的值和的大??；（2）若要在圓弧賽道所對應(yīng)的扇形區(qū)域內(nèi)建一個(gè)“矩形草坪”，矩形的一邊在道路上，一個(gè)頂點(diǎn)在半徑上，另外一個(gè)頂點(diǎn)在圓弧上，且，求當(dāng)“矩形草坪”的面積取最大值時(shí)的值．【答案】（1），；（2）.【解析】【詳解】試題分析：（1）由題意可得，故，從而可得曲線段的解析式為，令x=0可得，根據(jù)，得,因此（2）結(jié)合題意可得當(dāng)“矩形草坪”的面積最大時(shí)，點(diǎn)在弧上，由條件可得“矩形草坪”的面積為，然后根據(jù)的范圍可得當(dāng)時(shí)，取得最大值．試題解析：(1)由條件得.∴.∴曲線段的解析式為.當(dāng)時(shí)，.又，∴,∴.(2)由(1)，可知.又易知當(dāng)“矩形草坪”的面積最大時(shí)，點(diǎn)在弧上，故.設(shè),,“矩形草坪”的面積為.∵，∴,故當(dāng)，即時(shí)，取得最大值．20.已知函數(shù)，將y=f（x）的圖象向左平移個(gè)單位后得到g（x）的圖象，且y=g（x）在區(qū)間內(nèi)的最小值為（1）求m的值；（2）在銳角三角形ABC中，若g（）=，求sinA+cosB的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】⑴根據(jù)二倍角公式化簡，利用平移規(guī)律得出的解析式，根據(jù)最小值列方程求出⑵根據(jù)條件求出，用表示出，化簡得出關(guān)于的函數(shù)，根據(jù)的范圍，正弦函數(shù)的性質(zhì)得出的范圍【詳解】⑴，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，解得⑵,，則，即是銳角三角形，則，解得，即的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)解析式的求解以及解三角形中的取值范圍問題，運(yùn)用輔助角公式、兩角和的正弦公式進(jìn)行化簡，需要注意角的取值范圍，有一定的計(jì)算量，屬于中檔題．21.已知函數(shù)，其中.如圖是函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，A為圖象的最高點(diǎn)，B，C為圖象與x軸的交點(diǎn)，為等邊三角形.將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋逗螅傧蛴移揭苽€(gè)單位，向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若不等式對任意恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將函數(shù)解析式化簡，由圖象得的解析式，進(jìn)而得的解析式；（2）換元令，，將條件轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，對m分類討論求得在上的最小值，可得m的取值范圍.【小問1詳解】.由題意可知，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為，因?yàn)闉榈冗吶切危裕春瘮?shù)的最小正周期，，所以，由題，.【小問2詳解】，由對任意恒成立，即，即對任意恒成立，令，，即在上恒成立.設(shè)，對稱軸，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，令，解得，所以；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，令，解得（舍）；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，令，解得.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.22.已知函數(shù)()為偶函數(shù).（1）求的值;（2）若函數(shù),，是否存在實(shí)數(shù)使得的最小值為0,若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.【答案】（1）（2）存在使得最小值為0.【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)，得，代入整理得，即對一切恒成立，即可求解的值；（2）由（1）知，，令，則，分類求得函數(shù)的單調(diào)性和最小值，即可得到