實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法

第一部分：概率論基礎(chǔ)第二章概率的基本概念第二章

概率的基本概念2.1概率和統(tǒng)計(jì)的關(guān)系2.1概率和統(tǒng)計(jì)的關(guān)系兩者是緊密相聯(lián)系的概率論：純數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，從一些公理和定義出發(fā)，用演繹法（deduction）建立理論；統(tǒng)計(jì)學(xué)：應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，用歸納法（induction）處理問(wèn)題。例如：擲硬幣的實(shí)驗(yàn):設(shè)p為擲硬幣時(shí)其正面朝上的概率，則其反面朝上的概率為1-p；如果預(yù)先知道p的值（=1/2），問(wèn)：在n次投擲中有r次正面朝上的概率是多少？概率論的問(wèn)題，回答——二項(xiàng)式分布：如果預(yù)先不知道p的值，(可能為1/2，可能為1/2多一點(diǎn)——兩個(gè)面不完全相同)，則需要通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)確定p的值：投擲n次，出現(xiàn)了r次正面朝上的情況，p=?統(tǒng)計(jì)學(xué)的問(wèn)題，回答：第二章

概率的基本概念2.2概率的定義2.2概率(Probability)的定義物理學(xué)家的定義：頻數(shù)極限設(shè)在某實(shí)驗(yàn)中觀測(cè)到了n個(gè)事例，其中種類為E的事例出現(xiàn)了r次，則某事例的種類為E的概率定義為：數(shù)學(xué)家的定義：利用集合理論（SetThoery）定義Ω是所有可能的事件Ei的一個(gè)集合，其中Ei是互斥的（即它們中的一個(gè)發(fā)生時(shí)，所有其它的事件都不發(fā)生），定義事件Ei發(fā)生的概率p(Ei)具有如下的性質(zhì)：如果p(E)=0,則表示事件E總不發(fā)生；如果p(E)=1,則表示事件E總發(fā)生；數(shù)學(xué)上采用集合空間上的概率測(cè)度來(lái)定義概率集合的概念怎樣同物理的概率定義對(duì)應(yīng)起來(lái)？集合測(cè)量值的全體元素

一組測(cè)量中的一次測(cè)量值子集符合特定條件的多次測(cè)量值(可能是相同的一些測(cè)量值）

概率

頻數(shù)2.2概率(Probability)的定義若隨機(jī)變量X只能取有限數(shù)目的值，則稱x為離散型隨機(jī)變量；其中，X的一個(gè)取值對(duì)應(yīng)著集合中的一個(gè)元素，X的一種可能值的全體對(duì)應(yīng)著集合中的一個(gè)子集.若pi為離散型隨機(jī)變量x取值為xi的概率：p(x=xi)=pi，則2.3隨機(jī)變量、樣本空間隨機(jī)變量：其值不能完全確定地預(yù)測(cè)的變量。樣本空間：隨機(jī)變量x的取值空間。離散型隨機(jī)變量：連續(xù)型隨機(jī)變量：若隨機(jī)變量x在有限取間內(nèi)的取值是連續(xù)的，則稱x為連續(xù)型的隨機(jī)變量。連續(xù)型隨機(jī)變量x的取值位于區(qū)間[x,x+dx]的概率定義為：其中，f(x)為概率密度函數(shù)p.d.f(probabilitydensityfunction),滿足歸一化條件第二章

概率的基本概念2.4概率的性質(zhì)2.4概率的性質(zhì)以集合理論為基礎(chǔ)介紹概率的一些運(yùn)算規(guī)則。一、集合（set）集合是指一些具有相同性質(zhì)的元素的全體。集合A的元素(element)：屬于集合A的某一元素；集合A的子集(subset)：如果集合B的任一元素又是集合A的元素，則稱B為A的子集；集合的補(bǔ)集（complement）：設(shè)A是樣本空間Ω中的任一組元素的集合，則A的補(bǔ)集定義為Ω中所有不屬于A的元素的集合，記為：A和B的并集(union)：屬于A或?qū)儆贐元素的集合，記為：2.4概率的性質(zhì)

:有兩個(gè)帶電粒子且至少有一個(gè)V0的事例的集合.例:PP相互作用事例的分類：p+p(2,4,6,…)個(gè)帶電粒子+(0,1,2,..)個(gè)V0粒子定義:A為至少有一個(gè)V0的事例的集合;B為具有兩個(gè)帶電粒子的事例的集合;:沒(méi)有V0的事例的集合:具有兩個(gè)以上帶電粒子的事例的集合:至少有一個(gè)V0,或有兩個(gè)帶電粒子,或至少有一個(gè)V0且有兩個(gè)帶電粒子的事例的集合;2.4概率的性質(zhì)二、概率的加法定律(Additionruleofprobability)定義:p(A):集合A中某一事件發(fā)生的概率;p(B):集合B中某一事件發(fā)生的概率;:屬于A或?qū)儆贐的某一事件發(fā)生的概率;:既屬于A又屬于B的某一事件發(fā)生的概率;加法定律:推廣到N個(gè)集合的情況:A1,A2,…AN,屬于至少其中一個(gè)集合Ai的某一事件發(fā)生的概率（用Venn圖來(lái)解釋）——約當(dāng)（Jordan）公式:其中:2.4概率的性質(zhì)三、條件概率(Conditionalprobability)定義：在事件A已經(jīng)產(chǎn)生的情況下，事件B產(chǎn)生的概率，記為：p(B|A)假設(shè)A和B是樣本空間的兩個(gè)子集，如果我們只對(duì)A中的元素感興趣，并將樣本空間重定義為子集A，在新的樣本空間A中子集B的概率稱為B相對(duì)于A的條件概率。意義：條件概率與A和B的交集的關(guān)系：P(B|A)由下式定義的Tracesfromabubblechamberthatwasusedfrom1964to1972forresearchintothesmallestconstituentsofmatter.Itwasinstalledin"DESY",Hamburg'sfirstringaccelerator.Insidethebubblechambertherewasatankfilledwithliquidhydrogen.Tinyparticlesflyingthroughthetankmakethehydrogenboil.Hydrogenvaporizesandformssmallbubblesalongthepathsoftheparticles.Thesetraceswerephotographed.Ananalysisofthepicturesyieldedinformationaboutthetypesoftheparticlesandtheirproperties.(Source:DESYHamburg)Blasemkammerbild.(Source:DESYHamburg)2.4概率的性質(zhì)K+pK0p++-A事件Ｂ事件條件概率的例子：K0p散射截面K0的產(chǎn)生：K++pK0+p事例數(shù)為NK0的探測(cè)：K0+-

事件B感興趣的相互作用：K0pK0p事件A求：事件A的概率p(A)只有在觀測(cè)到事件B的條件下才能確定事件A的產(chǎn)生既發(fā)生了K0p散射又探測(cè)到了K0衰變的概率K++pK0+pK0pK0p+-探測(cè)到的事例數(shù)N12.4概率的性質(zhì)p(B|A):在K0p散射發(fā)生的條件下K0衰變的概率其中：：探測(cè)效率Br(K0+-):K0+-的分支比：K0衰變的截面K0p散射截面：A和B的不相關(guān)性（Independence）可以理解為上面的Venn圖BAΩ一個(gè)推論：2.4概率的性質(zhì)不相關(guān)事件的概率加法定律互斥性（正交性）不等于不相關(guān)性（獨(dú)立性）對(duì)互斥事件：NANABNBNC＝0因?yàn)榈?.4概率的性質(zhì)2.4概率的性質(zhì)AB123五、概率運(yùn)算的幾個(gè)例子：例1：開(kāi)關(guān)網(wǎng)絡(luò)：每個(gè)開(kāi)關(guān)接通的概率，每個(gè)開(kāi)關(guān)的接通是互不相關(guān)的，求A、B兩端有電流通過(guò)的概率Ei：第i個(gè)開(kāi)關(guān)接通的事件：p(Ei)=，i=1,2,3有電流流過(guò)的事件：2和3同時(shí)接通或1接通：E1E2E3E00000010010001111001101111011111真值表——布爾代數(shù)我們感興趣的事件（布爾代數(shù)）：概率加法概率乘法其中包含在“多個(gè)事件不相關(guān)性”的定義中。2.4概率的性質(zhì)2.4概率的性質(zhì)例2：Cerenkov計(jì)數(shù)器的效率9只光電倍增管環(huán)繞契倫科夫計(jì)數(shù)器的軸線排列成一圈，當(dāng)有帶電粒子沿計(jì)數(shù)器軸線穿過(guò)時(shí)，每個(gè)光電倍增管都可探測(cè)到粒子所發(fā)出的契倫科夫光。設(shè)每只PMT的探測(cè)效率為=0.93，且每只PMT對(duì)契倫科夫光的探測(cè)是相互獨(dú)立的，求：契倫科夫計(jì)數(shù)器的效率P2.4概率的性質(zhì)d)至少探測(cè)到一個(gè)的概率：2.4概率的性質(zhì)六、邊緣概率（Marginalprobability)實(shí)驗(yàn)所獲取的事例通?？砂床煌臉?biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，如果忽略掉某些分類標(biāo)準(zhǔn)而只考慮在某一種分類標(biāo)準(zhǔn)下某事件出現(xiàn)的概率，則稱這種概率為邊緣概率例：粒子的單舉產(chǎn)額設(shè)實(shí)驗(yàn)事例按A、B兩種分類標(biāo)準(zhǔn)可分為：A1,A2,….AmB1,B2,….Bn，且則Ai的邊緣概率定義為同樣，Bi的邊緣概率定義為B1B2BnBn－1A2.4概率的性質(zhì)A4A3A2A1A108642B5B4B3B2B1B例：pp相互作用事例的分類p+p(2,4,6,…)個(gè)帶電粒子+(0,1,2,..)個(gè)V0粒子分類標(biāo)準(zhǔn)A:事例中有V0分類標(biāo)準(zhǔn)B:事例中帶電粒子的數(shù)目如果實(shí)驗(yàn)中已測(cè)出了概率，如：具有兩個(gè)帶電粒子且具有１個(gè)的概率則邊緣概率P(A1),即有一個(gè)而不管有幾個(gè)帶電粒子的事例的概率為第二章

概率的基本概念2.5貝葉斯(Bayes)定理2.5貝葉斯(Bayes)定理

定理：設(shè)樣本空間被分成了n個(gè)互斥的完備事件組Bi，即B1+B2+…+Bn=若A也是屬于的一個(gè)事件組，則有證明：利用概率運(yùn)算定律１.根據(jù)條件概率的定義２.根據(jù)邊緣概率的定義代入上式即得貝葉斯定理2.5貝葉斯(Bayes)定理貝葉斯定理給出了兩個(gè)條件概率p(Bi|A)和p(A|Bi)之間的關(guān)系貝葉斯定理的例子三個(gè)抽屜分別裝有金幣和銀幣B1:兩個(gè)金幣B2：一個(gè)金幣和一個(gè)銀幣B3:兩個(gè)銀幣隨機(jī)地選一個(gè)抽屜并從中取出一個(gè)錢幣，假定取出的是一個(gè)金幣，求同一抽屜中另一個(gè)錢幣是金幣的概率A:第一次取出金幣的事件，另一個(gè)錢幣也是金幣條件要求只能選取B1,即要求的是在A發(fā)生的條件下，選擇抽屜B1的概率：p(B1|A)在選定抽屜的情況下，取出一個(gè)金幣的概率P(A|B1)=1,p(A|B2)=0.5,p(A|B3)=0選擇某一抽屜的概率P(B1)=p(B2)=p(B3)=1/3由貝葉斯定理2.5貝葉斯(Bayes)定理即：如果第一次取出的是一枚金幣，則B1被選中的概率增加了一倍P(Bi):Bi被選中的先驗(yàn)概率（PriorProbability)P(Bi|A):Bi被選中的后驗(yàn)概率（PosteriorProbability)P(A|Bi):在Bi下，事件A的似然值（Likelyhood)參考書：《概率論引論》，汪仁官，北京大學(xué)出版社第二章習(xí)題（答案見(jiàn)上一頁(yè)所引書中）1．一盒中有五個(gè)球（三白二紅），現(xiàn)從中隨機(jī)取兩個(gè)。求兩個(gè)都是白球的概率。2．盒中有4個(gè)白球，6個(gè)紅球，現(xiàn)從中隨機(jī)取4個(gè)。求取到2個(gè)白2個(gè)紅的概率。3．?dāng)S六顆骰子，得到三對(duì)的概率是多少？4．n人中至少兩人有相同生日的概率是多少（假設(shè)一年365天）？當(dāng)n至少為多少時(shí)，這個(gè)概率大于0.5，即從n個(gè)人中找兩個(gè)人，生日相同的機(jī)會(huì)同擲硬幣接近？5．四張卡片分別標(biāo)著1，2，3，4，面朝下放在桌子上。一個(gè)自稱有透視能力的“人”將用他超感覺(jué)能力說(shuō)出卡片上的號(hào)數(shù)，如果他是冒充者而只是隨機(jī)地猜一下，他至少猜中一個(gè)的概率是多少？（四個(gè)全猜完在翻開(kāi)卡片檢查結(jié)果。）6．一均勻的正四面體，一面全染紅色（記為第一面），一面全然黃色（記為的第二面），一面全然藍(lán)色（記為的第三面），而剩下的一面（記為第四面）染紅、黃、藍(lán)三色（各占一部分），在桌上將此四面體任意擲一次，考察和桌面接觸的那一面上出現(xiàn)什么顏色。設(shè)A＝紅色出現(xiàn)，B＝黃色出現(xiàn)，C＝藍(lán)色出現(xiàn)。說(shuō)明A、B、C兩兩獨(dú)立，但不