七、不等精度測量①在實際測量過程中，由于客觀條件的限制，測量條件是變動的，得到了不等精度測量。②對于精密科學(xué)實驗而言，為了得到極其準(zhǔn)確的測量結(jié)果，需要在不同的實驗室，用不同的測量方法和測量儀器，由不同的人進(jìn)行測量。如果這些測量結(jié)果是相互一致的。那么測量結(jié)果就是真正可以信賴的。這是人為地改變測量條件而進(jìn)行的不等精度測量。③對于某一個未知量，歷史上或近年來有許多(xǔduō)人進(jìn)行精心研究和精密測量，得到了不同的測量結(jié)果。我們就需要將這些測量結(jié)果進(jìn)行分析研究和綜合，以便得到一個最為滿意的準(zhǔn)確的測量結(jié)果。這也是不等精度測量。

第一節(jié)隨機(jī)誤差第一頁，共17頁。（一）權(quán)的概念在等精度測量中，各個測量值認(rèn)為同樣可靠，并取所有測得值的算術(shù)平均值作為最后的測量結(jié)果。在不等精度測量中，各個測量結(jié)果的可靠程度不一樣，因而不能簡單地取各測量結(jié)果地算術(shù)平均值作為最后的測量結(jié)果，應(yīng)讓可靠程度大的測量結(jié)果在最后測量結(jié)果中占有的比重大些，可靠程度小的占比重小些。各測量結(jié)果的可靠程度可用一數(shù)值來表示，這數(shù)值即稱為該測量結(jié)果的“權(quán)”，記為，可以理解為當(dāng)它與另一些測量結(jié)果比較時，對該測量結(jié)果所給予信賴程度。（二）權(quán)的確定方法最簡單的方法可按測量的次數(shù)來確定權(quán)，即測量條件和測量者水平皆相同，則重復(fù)測量次數(shù)愈多，其可靠程度也愈大，因此完全(wánquán)可由測量的次數(shù)來確定權(quán)的大小，即。假定同一被測量有m組不等精度的測量結(jié)果，這m組測量結(jié)果是從單次測量精度相同而測量次數(shù)不同的一系列測量值求得的算術(shù)平均值。因第一節(jié)隨機(jī)誤差第二頁，共17頁。（二）權(quán)的確定方法最簡單的方法可按測量的次數(shù)來確定權(quán)，即測量條件和測量者水平皆相同，則重復(fù)測量次數(shù)愈多，其可靠程度(chéngdù)也愈大，因此完全可由測量的次數(shù)來確定權(quán)的大小，即:

假定同一被測量有m組不等精度的測量結(jié)果，這m組測量結(jié)果是從單次測量精度相同而測量次數(shù)不同的一系列測量值求得的算術(shù)平均值。為單次測量精度皆相同，其標(biāo)準(zhǔn)差均為σ，則各組算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為：第三頁，共17頁。

(2-40)由此得下列等式因為，故上式又可寫成(2-41)或表示(biǎoshì)為(2-42)

例2-10對一級鋼卷尺的長度進(jìn)行了三組不等精度測量，其結(jié)果為第一節(jié)隨機(jī)誤差第四頁，共17頁。求各測量(cèliáng)結(jié)果的權(quán)。解：由式(2-42)得因此各組的權(quán)可取為第一節(jié)隨機(jī)誤差第五頁，共17頁。（三）加權(quán)算術(shù)平均值若對同一被測量進(jìn)行m組不等精度測量，得到m個測量結(jié)果為：設(shè)相應(yīng)(xiāngyīng)的測量次數(shù)為n1,n2,…,nm，即：

(2-43)根據(jù)等精度測量算術(shù)平均值原理，全部測量的算術(shù)平均值應(yīng)為：第一節(jié)隨機(jī)誤差第六頁，共17頁。將式(2-43)代入上式得：或簡寫(jiǎnxiě)為(2-44)當(dāng)各組的權(quán)相等，即時，加權(quán)算術(shù)平均值可簡化為：(2-45)

第一節(jié)隨機(jī)誤差第七頁，共17頁。由上式求得得結(jié)果即為等精度的算術(shù)平均值，由此可見等精度測量是不等精度測量得特殊情況。為簡化(jiǎnhuà)計算，加權(quán)算術(shù)平均值可表示為：(2-46)

式中的為接近的任選參考值。第一節(jié)隨機(jī)誤差第八頁，共17頁。例2-11工作基準(zhǔn)米尺在連續(xù)三天內(nèi)與國家(guójiā)基準(zhǔn)器比較，得到工作基準(zhǔn)米尺的平均長度為999.9425mm(三次測量的)，999.9416mm(兩次測量的)，999.9419mm(五次測量的)，求最后測量結(jié)果。解：按測量次數(shù)來確定權(quán)：選，則有

第一節(jié)隨機(jī)誤差第九頁，共17頁。(四)單位權(quán)的概念由式（2-41）知，此式又可表示為(2-47)式中為某精度單次測量值的標(biāo)準(zhǔn)差。因此，具有同一方差的等精度單次測量值的權(quán)數(shù)為1。若已知，只要確定，根據(jù)（2-47）式就可求出各組的方差。由于測得值的方差的權(quán)數(shù)為1在此有特殊用途，故稱等于1的權(quán)為單位權(quán)，而為具有單位權(quán)的測得值方差，為具有單位權(quán)的測得值標(biāo)準(zhǔn)差。利用單位權(quán)化的思想，可以將某些不等權(quán)的測量問題(wèntí)化為等權(quán)測量問題(wèntí)來處理。單位權(quán)化的實質(zhì)，是使任何一個量值乘以自身權(quán)數(shù)的平方根，得到新的量值權(quán)數(shù)為1。第一節(jié)隨機(jī)誤差第十頁，共17頁。例如，將不等精確測量的各組測量結(jié)果皆乘以自身權(quán)數(shù)(quánshù)的平方根，此時得到的新值z的權(quán)數(shù)(quánshù)就為1。證明之：設(shè)取方差

第一節(jié)隨機(jī)誤差第十一頁，共17頁。以權(quán)數(shù)字表示上式中的方差，則

由此可知，單位權(quán)化以后得到的新值的權(quán)數(shù)為1，用這種方法可以把不等精度的各組測量(cèliáng)結(jié)果皆進(jìn)行了單位權(quán)化，使該測量(cèliáng)列轉(zhuǎn)化為等精度測量(cèliáng)列。不等精度測量(cèliáng)列，經(jīng)單位權(quán)化處理后，就可按等精度測量(cèliáng)列來處理。第一節(jié)隨機(jī)誤差第十二頁，共17頁。（五）加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差對同一個被測量進(jìn)行m組不等精度測量，得到m個測量結(jié)果(jiēguǒ)為：若已知單位權(quán)測得值的標(biāo)準(zhǔn)差σ，則由式（2-40）知

全部（m×n個）測得值的算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為：

第一節(jié)隨機(jī)誤差第十三頁，共17頁。比較上面(shàngmiɑn)兩式可得：(2-48)因為

代入式（2-48）得(2-49)第一節(jié)隨機(jī)誤差第十四頁，共17頁。當(dāng)各組測得的總權(quán)數(shù)為已知時，可由任一組的標(biāo)準(zhǔn)差和相應(yīng)的權(quán)，或者由單位權(quán)的標(biāo)準(zhǔn)差σ求得加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。當(dāng)各組測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差為未知時，則不能直接用式（2-49），而必須由各測量結(jié)果的殘余(cányú)誤差來計算加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。已知各組測量結(jié)果的殘余(cányú)誤差為：

第一節(jié)隨機(jī)誤差第十五頁，共17頁。將各組單位權(quán)化，則有：上式中各組新值已為等精度測量列的測量結(jié)果，相應(yīng)(xiāngyīng)的殘差也成為等精度測量列的殘余誤差，則可用等精度測量時的Bessel公式推導(dǎo)得到：(2-50)將式（2-50）代入式（2-49）得(2-51)第一節(jié)隨機(jī)誤差第十六頁，共17頁。