熱門研究四猜想推理型中考試題的概括與展望熱門一、旋轉(zhuǎn)型試題.例1（2004河北課改）用兩個(gè)全等的等邊三角形（△ABC和△ACD）拼合成了菱形ABCD.把一個(gè)含60°角的三角尺與這個(gè)菱形疊合，使三角尺的極點(diǎn)與點(diǎn)A重合，夾60角的兩邊分別與AB,AC重合.將三角尺繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn).1）當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC,CD訂交于點(diǎn)E,F時(shí)（如圖1（1））,經(jīng)過(guò)察看或丈量BE,CF的長(zhǎng)度，你能得出什么結(jié)論？并證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC,CD的延伸線訂交于點(diǎn)E,F時(shí)（如圖1（2））,你在（1）中獲得的結(jié)論還成立嗎？簡(jiǎn)要說(shuō)明原因.簡(jiǎn)析：（

1）經(jīng)過(guò)察看或丈量，能夠得出

BE=CF，要證明線段相等這一結(jié)論，能夠想

到多種方法，但依據(jù)本題的條件與圖形特色，能夠看出

△ABE

繞點(diǎn)

A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

60

獲得ACF（或△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60獲得△ACE）,利用△ABE◎△ACF（或ADFACE）實(shí)現(xiàn)BE=CF較好.（2）同（1）.簡(jiǎn)解：（1）BE=CF.證明：在△ABE和△ACF中，.BAE.EAC二.CAF.EAC=60；,BAE"CAF.AB=AC,B—ACF=60〃,△ABEACF（ASA）.?BE二CF.2）BE=CF仍舊成立.說(shuō)理略.簡(jiǎn)評(píng)：本題經(jīng)過(guò)三角板的旋轉(zhuǎn)來(lái)結(jié)構(gòu)研究性問(wèn)題，

學(xué)生在研究過(guò)程中，

能夠表現(xiàn)出自己在從事察看、實(shí)驗(yàn)、數(shù)學(xué)表達(dá)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)方面的能力，本題關(guān)注了學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)

學(xué)對(duì)象的過(guò)程和方法

?本題經(jīng)過(guò)察看或丈量等實(shí)驗(yàn)操作，猜想出實(shí)驗(yàn)結(jié)果，再對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)

行推理證明，此后對(duì)操作的結(jié)果進(jìn)前進(jìn)一步猜想證明

.

本題用三角形全等進(jìn)行證明，

對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，比較常例，也簡(jiǎn)單做對(duì)

.例2(2006河北課改)如圖2(1),一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一同.現(xiàn)正方形ABCD保持不動(dòng)，將三角尺GEF繞斜邊EF的中點(diǎn)O(點(diǎn)O也是BD中點(diǎn))按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn).(1)如圖2(2),當(dāng)EF與AB訂交于點(diǎn)M,GF與BD訂交于點(diǎn)N時(shí)，經(jīng)過(guò)察看或測(cè)量BM,FN的長(zhǎng)度，猜想BM,FN知足的數(shù)目關(guān)系，并證明你的猜想；(2)若三角尺GEF旋轉(zhuǎn)到如圖2(3)所示的地點(diǎn)時(shí)，線段FE的延伸線與AB的延伸線訂交于點(diǎn)M，線段BD的延伸線與GF的延伸線訂交于點(diǎn)N,此時(shí)，(1)中的猜想還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不可立，請(qǐng)說(shuō)明原因.簡(jiǎn)析：這又是一道經(jīng)過(guò)察看和丈量進(jìn)行猜想，此后進(jìn)行推理證明猜想的試題?第(1)問(wèn)經(jīng)過(guò)丈量易獲得BM=FN

.要證明線段相等這一猜想，由本題條件與圖形特色，易證明含有線段FN的三角形和含有線段BM的兩個(gè)三角形全等，即證AOBMOFN,進(jìn)而獲得BM=FN.第(2)問(wèn)思想方法同(1).簡(jiǎn)解：(1)

BM=FN.證明：???△GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，ABD=.F=45,OB=OF.又???BOM二FON,.△OBMOFN..BM二FN.(2)BM二FN仍舊成立.證明：???△GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，..DBA—GFE=45,OB=OF...MBO=/NFO=135；.又???MOB=NOF,.△OBMOFN.???BM二FN.簡(jiǎn)評(píng)：本題作為幾何題，一悔悟去圖形復(fù)雜、推理繁瑣的特色，以較為一般、簡(jiǎn)單、動(dòng)向的圖形為背景，讓學(xué)生操作(旋轉(zhuǎn))圖形，經(jīng)過(guò)察看、實(shí)驗(yàn)、概括、類比等活動(dòng)商議圖形運(yùn)動(dòng)中的變量和不變量，并對(duì)自己的猜想進(jìn)一步追求憑證，給出證明，較好的考察了學(xué)生對(duì)幾何圖形的掌握水平?本題與例1解法近似，與例1不同樣的是，把30°,60°,90°的三角板換成一個(gè)等腰直角三角板，把菱形換成正方形，繞極點(diǎn)旋轉(zhuǎn)變?yōu)槔@三角形斜邊中點(diǎn)旋轉(zhuǎn).這兩個(gè)試題也提示學(xué)生與老師在學(xué)習(xí)與教課中，多注意三角板在幾何圖形中旋轉(zhuǎn)的題目，掌握找尋變化中的不變數(shù)目關(guān)系的思路和方法.熱門二、平移型試題例

3(2007

河北課改

)在△

ABC

中，AB=AC,CG_BA

交BA

的延伸線于點(diǎn)

G

.

一等腰直角三角尺按如圖

3(1)所示的地點(diǎn)擺放，該三角尺的直角極點(diǎn)為

F,

—條直角邊與

AC

邊在一條直線上，另一條直角邊恰巧經(jīng)過(guò)點(diǎn)

B

.(1)在圖3(1)中請(qǐng)你經(jīng)過(guò)察看、丈量BF與CG的長(zhǎng)度，猜想并寫出BF與CG知足的數(shù)目關(guān)系，此后證明你的猜想；(2)AC方向平移到圖3(2)所示的地點(diǎn)時(shí)，一條直角邊仍與直線上，另一條直角邊交BC邊于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE

丄

BA

于點(diǎn)

E.此時(shí)請(qǐng)你經(jīng)過(guò)察看、

當(dāng)三角尺沿AC邊在同一丈量DE、DF

與

CG

的長(zhǎng)度，猜想并寫出

DEDF

與

CG

之間知足的數(shù)目關(guān)系，此后證明

你的猜想；(3)當(dāng)三角尺在(2)的基礎(chǔ)上沿AC方向持續(xù)平移到圖3(3)所示的地點(diǎn)(點(diǎn)F在線段AC上，且點(diǎn)F與點(diǎn)C不重合)時(shí)，(2)中的猜想能否仍舊成立？(不用說(shuō)明原因)簡(jiǎn)析：(1)是課本一道習(xí)題的變形，加了三角尺這一背景?丈量BF,CG的長(zhǎng)度，可得BF=CG,既可經(jīng)過(guò)△FBA=△GCA獲得BF=CG,也可經(jīng)過(guò)△BCF=△CBG獲得BF=CG.(2)是課本這道習(xí)題經(jīng)典變形(即等腰三角形底邊上一點(diǎn)到兩腰的距離和等于一腰上的高)后加了三角尺這一背景.丈量DE、DF與CG的長(zhǎng)度，可得出DE?DF二CG這一數(shù)目關(guān)系?要證明這一數(shù)目關(guān)系，可用截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法?本題波及三條垂線，也可用等面積法；有直角三角形，也還能夠用銳角三角函數(shù)解決?由(2)易獲得(3)的結(jié)論.解：(1)BF=CG;證明：在△ABF和△ACG中，????F=?G=90：,■FAB=GAC,AB二AC,???△ABFACG(AAS),???BF=CG.(2)DEDF=CG;證明：方法一：過(guò)點(diǎn)D作DH丄CG于點(diǎn)H(如圖3(4)).?/DE_BA于點(diǎn)E,ZG=90°,DH丄CG,?四邊形EDHG為矩形，?DE=HG,DH//BG.GBC"HDC.???AB二AC，二FCG=GBC二HDC.又???F=/DHC-90,CD=DC,△FDC◎△HCD(AAS),???DF=CH.GHCH=DEDF=CG，即DEDF=CG.方法二：連結(jié)AD，利用SAABDSAACD二SAABC，獲得DEDF二CG?方法三：ED二BD[jsinB,DF二CDLsinFCD,CG二B[sinB,???B—FCD,?EDDF=(BDCD)[SinB=BC(inB,?DEDF=CG?(3)仍舊成立.簡(jiǎn)評(píng)：本題是把等腰三角形部分一道經(jīng)典題目加上三角尺平移這一背景，原題還有一問(wèn)，若點(diǎn)D在CB延伸線上，ED，DF，CG又有何關(guān)系(DF-DE二CG)?相信初三學(xué)生都做過(guò)本題，但不必定會(huì)做改編后的試題，這就要修業(yè)生能從復(fù)雜圖形中提煉出熟習(xí)的基本圖形，便于解決問(wèn)題，這也要討教師在教課中要著重把典型的例、習(xí)題進(jìn)行改編訓(xùn)練.本題(2)問(wèn)解法二，解法三與解法一不同樣點(diǎn)是：利用了面積不變與角的不變；同樣之處是：都抓住了平移過(guò)程中的不變關(guān)系.熱門三、非變換型圖形運(yùn)動(dòng)試題例4(2005河北課改)如圖4(1),4(2),四邊形ABCD是正方形，M是AB延伸線上一點(diǎn).直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，且直角極點(diǎn)E在AB邊上滑動(dòng)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A,B重合)，另一條直角邊與/CBM的均分線BF訂交于點(diǎn)F.如圖4(1),當(dāng)點(diǎn)E在AB邊的中點(diǎn)地點(diǎn)時(shí)：①經(jīng)過(guò)丈量

DE,

EF

的長(zhǎng)度，猜想

DE

與

EF

知足的數(shù)目關(guān)系是

______________;②連結(jié)點(diǎn)

E與

AD

邊的中點(diǎn)

N,

猜想

NE

與

BF

知足的數(shù)目關(guān)系是

________________;③請(qǐng)證明你的上述兩個(gè)猜想

.(2)如圖

4(

2),

當(dāng)點(diǎn)

E在

AB

邊上的隨意地點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)你在

AD

邊上找到一點(diǎn)

N,

使得

NE=BF，進(jìn)而猜想此時(shí)

DE

與

EF

有怎樣的數(shù)目關(guān)系

.簡(jiǎn)析：本題第一問(wèn)為了降低難度，連結(jié)了

NE,

BF，同時(shí)也是示意經(jīng)過(guò)證明含有

DE,NE的△DNE與含有EF,BF的△EBF全等，證明DE二EF沿著第一問(wèn)的證明思路，能夠經(jīng)過(guò)全等三角形，做出符合條件的點(diǎn)，同時(shí)的數(shù)目關(guān)系便如數(shù)家珍了.

,

NE

二BF

這兩個(gè)猜想.DE

第二問(wèn)，與EF簡(jiǎn)解：

(1)①

DE

二

EF

?，②

NE

二

BF

.③證明：

???四邊形

ABCD

是正方形，點(diǎn)

N，E

分別為

AD，AB

的中點(diǎn)，二

DN=EB

.???BF均分/CBM，AN=AE，???.DNEEBF=90：45=135°.???.NDE?DEA=90：，.BEF.DEA=90：，NDE"BEF.?△DNEEBF.DE=EF，NE=BF.(2)在DA邊上截取DN=EB(或截取AN=AE)，連結(jié)NE，點(diǎn)N就使得NE=BF成立(圖略).此時(shí)，DE=EF.簡(jiǎn)評(píng)：本題的問(wèn)題由易到難，有條不紊，合適于各樣學(xué)習(xí)程度的學(xué)生

.題目考察了學(xué)生用運(yùn)動(dòng)的看法研究圖形中的數(shù)目關(guān)系的能力，讓學(xué)生經(jīng)歷了“問(wèn)題情境-----成立模型一一—解說(shuō)、應(yīng)用與拓展”的解決問(wèn)題的過(guò)程；本題也是一道經(jīng)典試題的變式和引申，把它改為了素來(lái)角三角形的兩直角邊，這就隱含了垂直關(guān)系

.例3,例4兩道試題的出現(xiàn)表現(xiàn)了經(jīng)典題目的價(jià)值，也再一次提示教師在教課中應(yīng)重視經(jīng)典題目的變形、改編、挖掘，實(shí)現(xiàn)貫通融會(huì)，一題多能的收效.熱門展望從近幾年河北省中考數(shù)學(xué)試卷中的幾何證明試題來(lái)看，預(yù)計(jì)

2008

年的幾何證明題很有

可能持續(xù)沿用將特別幾何圖形的變化作為背景，

利用平移、旋轉(zhuǎn)、翻折或綜合變換的形式呈

現(xiàn)問(wèn)題，綜合考察學(xué)生合情推理和演繹推理能力互訂交融的題目.模擬練習(xí)1.

如圖

5(1),

四邊形

ABCD

是正方形，等腰直角三角尺

AMN

的非直角極點(diǎn)

A與正方形的極點(diǎn)A重合，斜邊

AN與正方形對(duì)角線重合

.(1)如圖5(2),三角尺繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，AM與BC交于點(diǎn)E,AN與CD交于點(diǎn)F，連結(jié)EF.NBAE+NDAF=_________'.②經(jīng)過(guò)丈量BE,EF,FD③請(qǐng)證明你的上述猜想

.

的長(zhǎng)度，猜想

BE

十

DF

與

EF

知足的數(shù)目關(guān)系是

______________;(2)如圖

5(3),

三角尺繞點(diǎn)

A持續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，

AM

與

BC

的延伸線交于點(diǎn)

E,

AN

與CD

的延伸線交于點(diǎn)

F，連結(jié)

EF.經(jīng)過(guò)丈量

BE,

EF,

FD

的長(zhǎng)度，猜想

BE,

DF

與

EF

知足的數(shù)目關(guān)系是______________________.2?如圖6,已知：Rt△ABC中，.C=90,AC二BC=2，將一塊三角尺的直角極點(diǎn)與斜邊AB的中點(diǎn)M重合，當(dāng)三角尺繞著點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，兩直角邊一直保持分別與邊BC,AC交于D,E兩點(diǎn)(D,E不與B,A重合).經(jīng)過(guò)察看或丈量MD與ME的長(zhǎng)度，猜想MD與ME知足的數(shù)目關(guān)系是_______;并證明你的猜想.求四邊形MDCE的面積；(3)當(dāng)三角尺繞著點(diǎn)

M

持續(xù)旋轉(zhuǎn)時(shí)，兩直角邊分別與邊

CB

,AC

的延伸線交于

D,

E

兩點(diǎn).經(jīng)過(guò)察看或丈量

MD

與

ME

的長(zhǎng)度，

猜想MD

與

ME

知足的數(shù)目關(guān)系是

___________________.(4)若只將原題目中的“

AC=BC=2

”改為“

BC=a

,

AC=b

(

a^b)”其余

都不變，請(qǐng)你研究：

MD

和

ME

還相等嗎？假如相等，請(qǐng)證明；假如不相等，懇求出

MD:ME

的值.3.

取一副三角板按圖

7(1)拼接，固定三角板

ADC，將三角板

ABC

繞點(diǎn)

A

依靠時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)大小為

:的角(0；：：：

:

<45

)獲得△

ABC

?，如圖

7(2)所示.

試問(wèn)：(1)當(dāng)〉為多少度時(shí)，能使得圖7(2)中AB//DC?(2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)至圖7(3)地點(diǎn)，此時(shí):又為多少度？圖7(3)中你能找出哪幾對(duì)相像三角形，并求此中一對(duì)的相像比；(3)連結(jié)BD,當(dāng)0「：：:<45時(shí)，探訪.DBC'.CA^BDC值的大小變化情況，并給出你的證明.4?已知四邊形MBN=60,

ABCD中，AB_AD,BC_CDMBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交

,ABAD,

二BC,■ABC=120DC(或它們的延伸線)于

,E

,(1)當(dāng)?MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE=CF時(shí)(如題圖8(1)),經(jīng)過(guò)察看或丈量與EF的長(zhǎng)度，猜想AE+CF與EF知足的數(shù)目關(guān)系是______________.(2)當(dāng).MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE=CF時(shí)，在圖8(2)狀況下，猜想AE,

AECFCF與EF的數(shù)目關(guān)系是

_______

，并請(qǐng)證明你的猜想；(3)在圖

8(

3)狀況下，猜想

AE,

CF

與

EF

的數(shù)目關(guān)系，請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明.5?有一個(gè)等腰直角三角尺ABC和一把足夠長(zhǎng)的直尺M(jìn)N，直尺M(jìn)N經(jīng)過(guò)直角極點(diǎn)C,且AD_MN于D,BE_MN于E；(1)當(dāng)直尺M(jìn)N繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖9(1)的地點(diǎn)時(shí)，經(jīng)過(guò)察看或丈量AD-BE與DE的長(zhǎng)度，猜想AD+BE與DE知足的數(shù)目關(guān)系是_________?并請(qǐng)證明你的猜想；(2)________________________________________當(dāng)直尺M(jìn)N繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖9(2)的位置時(shí)，經(jīng)過(guò)察看或丈量AD_BE與DE的長(zhǎng)度，猜想AD-EB與DE知足的數(shù)目關(guān)系是?并請(qǐng)證明你的猜想；(3)________________________________________當(dāng)直尺M(jìn)N繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖9(3)的地點(diǎn)時(shí)，經(jīng)過(guò)察看或丈量DE