微分方程模型傳染病第一頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日May.05,2003adiseasethathasrockedAsianmarkets,ruinedthetouristtradeofanentireregion,nearlybankruptedairlinesandspreadpanicthroughsomeoftheworld'slargestcountries.第二頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日第三頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日問(wèn)題描述傳染病的傳播過(guò)程分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律預(yù)報(bào)傳染病高潮到來(lái)的時(shí)刻預(yù)防控制傳染病蔓延5.1傳染病模型三類人已感染者(Infective,病人)未感染者(Susceptible，易感染者)移出者(Removed，治愈免疫，隔離，死亡等)第四頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日已感染人數(shù)(病人)i(t)每個(gè)病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為Malthus模型假設(shè)若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加必須區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?短期預(yù)測(cè)模型第五頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日Logistic模型（SI模型）區(qū)分已感染者(infective)和未感染者(易感染者susceptible)假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康人的比例分別為2）每個(gè)病人每天有效接觸人數(shù)為,且使接觸的健康人致病建模~日接觸率AIDS等第六頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日1/2tmii010ttm~傳染病高潮到來(lái)時(shí)刻(日接觸率)tmLogistic模型所有人被感染??t=tm,di/dt最大感染無(wú)治愈模型Logistic模型第七頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日SIS模型傳染病無(wú)免疫性——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染增加假設(shè)傷風(fēng)、痢疾等3）病人每天治愈的比例為~日治愈率建模~日接觸率1/~感染期~一個(gè)感染期內(nèi)每個(gè)病人的有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù)。有治愈無(wú)免疫模型SusceptibleInfectiveSusceptible第八頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日SIS的解析解試試看：解析解怎樣求？dsolve('Dy=lemda*y*(1-y)-mu*y','y(0)=i0','t')第九頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日SIS模型i0i0接觸數(shù)=1~閾值感染期內(nèi)有效接觸感染的人數(shù)不超過(guò)病人數(shù)1-1/i0思考：Logistic模型(SI模型)如何看作SIS模型的特例？idi/dt01>10ti>11-1/i0t1di/dt<0第十頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日SIR模型傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱移出者肝炎、SARS等假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為2）病人的日接觸率,日治愈率,

接觸數(shù)=/建模需建立的兩個(gè)方程有治愈有免疫模型SusceptibleInfectiveRemoved第十一頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日SIR模型無(wú)法求出的解析解！??！在相平面上研究解的性質(zhì)思考：r(t)的方程？R0=λS/=S表示平均每個(gè)病人總傳播人數(shù)。R0<1,傳染病不蔓延第十二頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日SIR模型消去dt相軌線的定義域相軌線(有解析解)11si0D在D內(nèi)作相軌線的圖形，進(jìn)行分析第十三頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日si101DSIR模型相軌線及其分析傳染病蔓延傳染病不蔓延s(t)單調(diào)減相軌線的方向P1s0imP1:s0>1/

i(t)先升后降至0P2:s0<1/

i(t)單調(diào)降至01/~閾值P3P4P2S0第十四頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日SIR模型預(yù)防傳染病蔓延的手段(日接觸率)衛(wèi)生水平(日治愈率)醫(yī)療水平傳染病不蔓延的條件——s0<1/的估計(jì)降低s0提高r0>1-1/

提高閾值1/降低(=/),群體免疫第十五頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日疫情實(shí)證分析(Kermack,P143圖)1904—1905年，孟買及西北部各省和旁遮普邦發(fā)生瘟疫，平均每周死亡1.8萬(wàn)人。r-孟買死亡人數(shù)。第十六頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日SARS疫情的實(shí)證分析與Kermack同樣的方法王鐸,趙宵飛.SARS疫情的實(shí)證分析和預(yù)測(cè)[J].北京大學(xué)學(xué)報(bào)(醫(yī)學(xué)版),2003,5(S):72-74.第十七頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日一句話小結(jié)不同的領(lǐng)域可以共享相同或類似的數(shù)學(xué)模型，但所關(guān)注的問(wèn)題會(huì)有所不同；不能求得解析解的方程仍可用相軌線辦法分析解的性質(zhì)。第十八頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日進(jìn)一步的問(wèn)題考慮出生和死亡因素的傳染病模型考慮潛伏期的傳染病模型SEIR考慮被動(dòng)免疫的傳染病模型MSIR考慮隨機(jī)接觸率的傳染病模型SSIR參考第十九頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日補(bǔ)充習(xí)題理論證明P143第1~3行。在SIR模型中考慮出生與死亡的因素。假設(shè)全體人群以相同出生率生育嬰兒，且嬰兒為易感人群。死亡率與出生率相等，從而人群總數(shù)不變。試建立數(shù)學(xué)模型描述疾病的流行特征，并分析傳染病不蔓延的條件。第二十頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日房室系統(tǒng)的概念二房室模型的建立模型求解不同給藥方式分析參數(shù)估計(jì)技巧進(jìn)一步推廣5.4

藥物在體內(nèi)的分布與排除

（藥物動(dòng)力學(xué)之房室模型）第二十一頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日藥物進(jìn)入機(jī)體形成血藥濃度(單位體積血液的藥物量)血藥濃度需保持在一定范圍內(nèi)——給藥方案設(shè)計(jì)

藥物在體內(nèi)吸收、分布和排除過(guò)程——藥物動(dòng)力學(xué)

建立房室模型(CompartmentalModels)房室——機(jī)體的一部分，藥物在一個(gè)房室內(nèi)均勻分布(血藥濃度為常數(shù))，在房室間按一定規(guī)律轉(zhuǎn)移本節(jié)討論二室模型——中心室(心、肺、腎等)和周邊室(四肢、肌肉等)藥物動(dòng)力學(xué)之房室系統(tǒng)第二十二頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日第二十三頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日中心室周邊室給藥排除模型假設(shè)中心室(1)和周邊室(2),容積不變藥物在房室間轉(zhuǎn)移速率及向體外排除速率，與該室血藥濃度成正比藥物從體外進(jìn)入中心室，在二室間相互轉(zhuǎn)移,從中心室排出體外模型建立第二十四頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日復(fù)習(xí)：常系數(shù)齊次線性方程組通解(n=2)(1)兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)特征根,,(2)兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)特征根=,(3)兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)特征根i,第二十五頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日線性常系數(shù)非齊次方程對(duì)應(yīng)齊次方程通解模型建立可證明：特征方程有兩個(gè)不相等負(fù)根(習(xí)題5)第二十六頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日幾種常見(jiàn)的給藥方式1.快速靜脈注射t=0瞬時(shí)注射劑量D0的藥物進(jìn)入中心室,血藥濃度立即為D0/V1給藥速率f0(t)和初始條件第二十七頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日2.恒速靜脈滴注t>T,c1(t)和c2(t)按指數(shù)規(guī)律趨于零(解的公式？)藥物以速率k0進(jìn)入中心室0Tt￡￡t<T（充分大）,c1(t)C1,c2(t)C2第二十八頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日詳解方程非其次項(xiàng)是常數(shù)，所以設(shè)解非其次項(xiàng)也是常數(shù)，令方程的通解為代入方程，比較兩邊e-t,e-t以及常數(shù)項(xiàng)系數(shù)得到6式，刪去冗余兩式得由后兩式解得由前兩式得再利用初始條件c1(0)=0,c2(0)=0解得(可利用Matlab的符號(hào)工具箱)第二十九頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日t>T以后，靜脈注射停止第三十頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日吸收室中心室3.口服或肌肉注射相當(dāng)于藥物(劑量D0)先進(jìn)入吸收室，吸收后進(jìn)入中心室吸收室藥量x0(t)錯(cuò)！怎樣確定A,B,E?C2(t)的公式？第三十一頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日第三十二頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日參數(shù)估計(jì)技巧各種給藥方式下的c1(t),c2(t)取決于參數(shù)k12,k21,k13,V1,V2t=0快速靜脈注射D0,在ti(i=1,2,n)測(cè)得c1(ti)由較大的用最小二乘法定A,由較小的用最小二乘法定B,為什么不4個(gè)參數(shù)一起擬合？第三十三頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日進(jìn)入中心室的藥物全部排除參數(shù)估計(jì)技巧第三十四頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日房室模型建模小結(jié)分析各房室的關(guān)聯(lián)；建立線性微分方程組模型；寫出微分方程組的通解；用初始條件和代入方程求得特解；用觀測(cè)數(shù)據(jù)估計(jì)模型參數(shù)參數(shù)估計(jì)可用分解技巧，簡(jiǎn)化計(jì)算，使結(jié)果更可靠。第三十五頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日進(jìn)一步的問(wèn)題多房室系統(tǒng)模型非線性房室模型隨機(jī)房室模型房室模型在其他領(lǐng)域的應(yīng)用其他注射方式下的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題(思考：恒速靜脈滴注情形的參數(shù)估計(jì)技巧？)第三十六頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日參考閱讀周曉芳,陳小全,周魯,生理房室模型藥物動(dòng)力學(xué)的研究進(jìn)展,預(yù)防醫(yī)學(xué)情報(bào)雜志2002年06期陳增敬,關(guān)于血漿中放射性鈣C^47α濃度的計(jì)算公式,數(shù)理統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用概率，1995年10卷3期第三十七頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日補(bǔ)充習(xí)題3給出P155-156口服或肌肉注射情形下二房室模型的解。提示：

第三十八頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日補(bǔ)充習(xí)題4在北美的五大湖中，安大略湖處于伊利湖的下游，安大略湖不僅接受伊利湖來(lái)的水，還要接受非伊利湖流入的水，已知流入安大略的水有5/6是伊利湖流出的。試建模描述這兩個(gè)湖的污染情況。假設(shè)除去控制不了由伊利湖自安大略湖的流動(dòng)外，流入伊利湖和安大略湖的所有污染都暫時(shí)被停止了。試計(jì)算把安大略凈化到50%以及5%所需要的時(shí)間。

第三十九頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日人口模型介紹PDE建模人口預(yù)測(cè)人口控制與計(jì)劃生育幾個(gè)人口發(fā)展指數(shù)參考文獻(xiàn)5.6人口預(yù)測(cè)和控制

(偏微分方程模型)第四十頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日研究人口模型的意義人口控制人口系統(tǒng)工程社會(huì)保障壽險(xiǎn)精算種群生態(tài)學(xué)第四十一頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日人口模型概述宏觀模型:總?cè)丝?不考慮年齡，Malthus模型,Logistic模型(第一章)微觀模型：考慮年齡結(jié)構(gòu)1930's,Lotka積分方程模型1940's,Leslie差分方程模型(第七章)1960's,Verhulst偏微分方程模型1970's,Pollard隨機(jī)方程模型

第四十二頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日考慮年齡分布只考慮自然出生與死亡，不計(jì)遷移人口發(fā)展方程人口PDE建模和預(yù)測(cè)第四十三頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日人口發(fā)展方程一階偏微分方程為什么沒(méi)有考慮出生率？第四十四頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日人口預(yù)測(cè)~已知函數(shù)（人口調(diào)查）~出生率（控制人口手段）0tr解釋：從現(xiàn)在t=0看，10年以后年齡r小于t=10歲的人的密度由將來(lái)的出生率決定；年齡大于10歲的人的密度由現(xiàn)在的人口分布決定證明作為習(xí)題第四十五頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日出生率f(t)的模型~總和生育率（平均每個(gè)育齡婦女生育胎數(shù)）h~生育模式0第四十六頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日人口預(yù)測(cè)：發(fā)展方程+出生率模型第四十七頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日人口指數(shù)1）人口總數(shù)2）平均年齡3）平均壽命t時(shí)刻出生的人，死亡率按(r,t)計(jì)算的平均存活時(shí)間4）老齡化指數(shù)控制生育率控制N(t)不過(guò)大控制(t)不過(guò)高時(shí)刻存活的比例第四十八頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日補(bǔ)充習(xí)題5驗(yàn)證P164(7)式為P163方程(5)的解。第四十九頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日人口紅利制造中國(guó)30年經(jīng)濟(jì)奇跡人口問(wèn)題造成中國(guó)70年的貧窮第五十頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日胡鞍鋼：“一對(duì)夫婦一個(gè)孩兒”該結(jié)束了第五十一頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日“一對(duì)夫婦一個(gè)孩兒”該結(jié)束了

第五十二頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日調(diào)整人口生育政策勢(shì)在必行

少子化.婦女總和生育率的過(guò)快下降，明顯低于正常的人口生育更替水平。在1995年前后我國(guó)0至14歲少兒人口絕對(duì)數(shù)達(dá)到了最高峰，大約為3.34億人，2008年的時(shí)候減少到2.52億人。老齡化。根據(jù)聯(lián)合國(guó)人口署的預(yù)測(cè)，到2020年我國(guó)60歲以上人口將占到總?cè)丝诘?6.7%，2050年將進(jìn)一步上升到31.1%，大大高于屆時(shí)的世界平均水平(