相似三角形知識(shí)點(diǎn)總結(jié)我愛思考2：中國(guó)最高的樓——

臺(tái)北101大樓怎樣測(cè)量這些非常高大物體的高度？目錄1、相似多邊形知識(shí)點(diǎn)回顧2、相似三角形的判定3、相似三角形的性質(zhì)4、相似三角形的預(yù)備定理相似多邊形的判定：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)多邊形為相似多邊形.兩個(gè)條件要同時(shí)具備溫馨回顧：總結(jié)

相似多邊形概念：（1）相似多邊形的特征：相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等.（2）相似多邊形的識(shí)別：如果兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)多邊形相似.（3）相似比：我們把相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比稱為相似比.總結(jié)

相似多邊形的性質(zhì)：（1）相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等．（2）相似多邊形的周長(zhǎng)比等于相似比．（3）相似多邊形的面積比等于相似比的平方．

問題情境在10倍的放大鏡下看到的三角形與原三角形相比:三角形的邊長(zhǎng),周長(zhǎng),面積,角,發(fā)生什么關(guān)系？我愛學(xué)習(xí)總結(jié)

相似三角形的概念：（1）相似三角形的定義：形狀相同的三角形是相似三角形.（2）相似三角形的表示方法：用“∽”表示，讀作相似于.如：△ABC和△DEF相似，可以寫成△ABC∽△DEF，也可以寫成△DEF∽△ABC，讀作△ABC相似于△DEF.定義判定方法全等三角形相似三角形回顧并思考三角、三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

三角對(duì)應(yīng)相等,三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似角邊角ASA角角邊AAS邊邊邊SSS邊角邊SAS斜邊與直角邊HL

判定三角形相似，是不是也有這么多種方法呢？總結(jié)

相似三角形的判定方法：（1）如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；（2）如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；（3）如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.（4）如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)三角形的斜邊和一條直角邊的比對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)直角三角形相似.（5）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；邊邊邊SSS已知：△ABC∽△A1B1C1.A1B1C1ABC求證：探究1證明：在線段（或它的延長(zhǎng)線）上截取，過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)E根據(jù)前面的定理可得.A1B1C1ABCDE∴又A1B1C1ABCDE∴∴∴（SSS）∵∴如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似。知識(shí)要點(diǎn)判定三角形相似的定理之一△ABC∽△A1B1C1.即：如果那么A1B1C1ABC三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似。邊邊邊SSS√求證：∠BAD=∠CAE。ADCEB∴ΔABC∽ΔADE∴∠BAC=∠DAE∴∠BAC－∠DAC=∠DAE－∠DAC即∠BAD=∠CAE練一練已知：解：∵邊角邊SAS探究2已知：△ABC∽△A1B1C1.A1B1C1ABC求證：∠B=∠B1.你能證明嗎？如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。知識(shí)要點(diǎn)判定三角形相似的定理之二兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且夾角相等，兩三角形相似。邊角邊SAS√A1B1C1ABC△ABC∽△A1B1C1.即：如果∠B=∠B1.那么角邊角ASA角角邊AAS角角AAA1B1C1ABC已知：△ABC∽△A1B1C1.求證：∠A=∠A1，∠B=∠B1.你能證明嗎？如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似。知識(shí)要點(diǎn)判定三角形相似的定理之三兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似。角角AAA1B1C1ABC△ABC∽△A1B1C1.即：如果那么√∠A=∠A1，∠B=∠B1.如果兩個(gè)三角形有一個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形一定相似嗎？一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定相似?！鰽CD∽△CBD∽△ABC練一練找出圖中所有的相似三角形?！半p垂直”三角形BDAC有三對(duì)相似三角形：△ACD∽△CBD△CBD∽△ABC△ACD∽△ABC相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比∵△ABC∽△A1B1C1∴∠B=∠B1又∵∠ADB=∠A1D1B1=900∴△ADB∽△A1D1B1（角角）A1B1C1ABCDD1證明：∴相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比∵△ABC∽△A1B1C1∴∠B=∠B1，∠BAC=∠B1A1C1∵AD，A1D1分別是∠BAC和∠B1A1C1的角平分線∴∠BAD=∠B1A1D1∴△ADB∽△A1D1B1（角角）A1B1C1ABCDD1證明：∴相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比A1B1C1ABCDD1探究4已知：△ABC∽△A1B1C1.求證：你能證明嗎？HLABCA1B1C1Rt△ABC和Rt△A1B1C1.如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。知識(shí)要點(diǎn)真命題HLABC△ABC∽△A1B1C1.即：如果那么√A1B1C1Rt△ABC和Rt△A1B1C1.

利用利用三角形相似可以解決一些不能

直接測(cè)量的物體的長(zhǎng)度的問題

學(xué)校操場(chǎng)上的國(guó)旗旗桿的高度我們無法直接測(cè)量，你能否借助平行的太陽光線來測(cè)量呢？

輕松一刻ＡＢＯＡ′Ｂ′Ｏ′6m1.2m1.6m

古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家泰勒斯利用相似三角形的原理，測(cè)量金字塔的高度。DEA(F)BO2m3m201m解：太陽光是平行線，因此∠BAO=∠EDF又∠AOB=∠DFE=90°∴△ABO∽△DEFBOEF=BO==134OAFDOA·EFFD=201×23AFEBO┐┐還可以有其他方法測(cè)量嗎？一題多解OBEF=OAAF△ABO∽△AEFOB=OA·EFAF平面鏡總結(jié)

相似三角形的性質(zhì)：（1）相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等.（2）相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高的比相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線的比相等，對(duì)應(yīng)角的角平分線的比相等，都等于相似比.（3）相似三角形的周長(zhǎng)的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.理解ABCDEF相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比嗎?從而由等比性質(zhì)有相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比.思考已知：如圖，△ABC∽△A’B’C’，它們的相似比是K，AD、A’D’分別是高.求證：證明：∵△ABC∽△A’B’C’B’D’C’A’ABCD相似三角形的面積比等于相似比的平方.練一練：已知兩個(gè)三角形相似，請(qǐng)完成下列表格相似比周長(zhǎng)比面積比22421010100如圖，△ＡＢＣ中，ＤＥ??ＦＧ??ＢＣＡＤ＝ＤＦ＝ＦＢ，則Ｓ△ＡＤＥ:Ｓ四邊形ＤＦＧＥ:Ｓ四邊形ＦＢＣＧ=_________.1：3：5

已知:梯形ABCD中AD∥BC,AD=36cm,BC=60cm,延長(zhǎng)兩腰BA,CD交于點(diǎn)O,OF⊥BC,交AD于E,EF=32cm,則OF=_______.ABCDEOF80cm運(yùn)用

已知梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，若△AOD的面積為4cm2,△BOC的面積為9cm2,則梯形ABCD的面積為_________cm2ABCDO解:∴△AOD∽△COBS△AOD:S△COB=4:9∴OD:OB=2:3∴S△AOD:S△AOB=2:3∴S△AOB=6cm2∴梯形ＡＢＣＤ的面積為25cm2∵AD∥BC25總結(jié)

相似三角形判定的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交。所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。

平行于三角形一邊的直線與其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交。所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。DABCE∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC相似三角形判定的預(yù)備定理：

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段的比相等.ABCDEl1l2l3l4l5ABCDEl1l2l3l4l5L1L2L3L4L5L1L2L3L4L5ABCEDABCDE∵DE∥BCADAEACAB=∵∵DE∥BCADAEACAB=∵數(shù)學(xué)符號(hào)語言數(shù)學(xué)符號(hào)語言平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段的比相等

如圖，△ABC中，DE∥BC，GF∥AB，DE、GF交于點(diǎn)Ｏ，則圖中與△ABC相似的三角形共有多少個(gè)?請(qǐng)你寫出來.解：與△ABC相似的三角形有3個(gè):

△AＤＥ△ＧＦＣ△ＧＯＥABCDEFGO如圖，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC，（1）請(qǐng)找出圖中所有的相似三角形；（2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_____。ABCDEFGHI△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC1：4課堂小結(jié)1.相似圖形三角形的判定方法：定義預(yù)備定理判定定理一(三組對(duì)應(yīng)邊的比相等）判定定理二(兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角相等）判定定理三（兩角對(duì)應(yīng)相等）（三邊對(duì)應(yīng)成比例，三角相等）（SSS）（AA）（SAS）對(duì)應(yīng)角相等。對(duì)應(yīng)邊的比相等。對(duì)應(yīng)高的比等于相似比。對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比。對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比。2.相似三角形的性質(zhì)：（1）所有的等腰三角形都相似。（2）所有的等腰直角三角形都相似。（3）所有的等邊三角形都相似。（4）所有的直角三角形都相似。（5）有一個(gè)角是100°的兩個(gè)等腰三角形都相似。（6）有一個(gè)角是70°的兩個(gè)等腰三角形都相似。（7）若兩個(gè)三角形相似比為1，則它們必全等。（8）相似的兩個(gè)三角形一定大小不等。1.判斷下列說法是否正確？并說明理由?！獭痢獭痢獭痢獭岭S堂練習(xí)ABCDFE1、若BF=3,CF=2,AD=1.5,DF=6,你能求出線段AE的長(zhǎng)度嗎？2∴△BDF∽△BAC∵DF∥AC∴∴AC=10∴解：∵DE∥BC,DF∥AC∴四邊形DFCE為平行四邊形∴FC=DE=2，EC=DF=6321.566∴AE=AC-CE=10-6=4∴△BDM∽△BACABCMDE2、如圖：在△ABC中，點(diǎn)M是BC上任一點(diǎn)，MD∥AC，ME∥AB，若求的值。=

，BDABECAC25解：∵M(jìn)D∥AC，∴==

，BDBA25BMBC∴=CECACMCB

=

35MCBC又∵M(jìn)E∥AB，∴△CEM∽△CAB2份5份3份35=

1.鐵道口的欄桿短臂長(zhǎng)1m,長(zhǎng)臂長(zhǎng)16m,當(dāng)短臂端點(diǎn)下降0.5m時(shí),長(zhǎng)臂端點(diǎn)升高_(dá)__8___m。

OBDCA┏┛1m16m0.5m？迎考精煉

2.某一時(shí)刻樹的影長(zhǎng)為8米,同一時(shí)刻身高為1.5米的人的影長(zhǎng)為3米,則樹高為__4____。

3.△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上，這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是多少？NMQPEDCBA解：設(shè)正方形PQMN是符合要求的△ABC的高AD與PN相交于點(diǎn)E。設(shè)正方形PQMN的邊長(zhǎng)為x毫米。因?yàn)镻N∥BC，所以△APN∽△ABC所以AEAD=PNBC因此，得x=48（毫米）。80–x80=x120

4.小明在打網(wǎng)球時(shí)，使球恰好能打過網(wǎng)，而且落在離網(wǎng)5米的位置上，求球拍擊球的高度h.（設(shè)網(wǎng)球是直線運(yùn)動(dòng)）ADBCE┏┏0.8m5m10m？2.4m

5.在同一時(shí)刻物體的高度與它的影長(zhǎng)成正比例，在某一時(shí)刻，有人測(cè)得一高為1.8米的竹竿的影長(zhǎng)為3