轉(zhuǎn)子平衡、臨界轉(zhuǎn)速及強(qiáng)度一、轉(zhuǎn)子剛性動(dòng)平衡葉輪機(jī)械轉(zhuǎn)子的質(zhì)量偏心來源于材質(zhì)的不均勻，加工、裝配誤差等，實(shí)際上很難消除。但如偏心量過大，則會(huì)使葉輪機(jī)械在運(yùn)轉(zhuǎn)中劇烈振動(dòng)。所以轉(zhuǎn)子在運(yùn)行前都是作平衡試驗(yàn)，力求偏心量盡量小，使得葉輪機(jī)械能平穩(wěn)運(yùn)行。對(duì)于一個(gè)完全平衡的轉(zhuǎn)子，理論上要求轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)時(shí)的離心慣性力的合力與合力偶都等于零。轉(zhuǎn)子對(duì)軸承只有自重引起的靜力作用。反之轉(zhuǎn)子即處于不平衡狀態(tài)。轉(zhuǎn)子偏心質(zhì)量可引起轉(zhuǎn)子的靜不平衡或動(dòng)不平衡。1.靜平衡問題當(dāng)偏心質(zhì)量全部處于一個(gè)平面內(nèi)，如薄圓盤，在旋轉(zhuǎn)時(shí)將產(chǎn)生離心慣性力F力在圓盤平面內(nèi)，并通過轉(zhuǎn)軸，所以只有一個(gè)合力，無合力偶，如圖4-1a這種不平衡可用靜力實(shí)驗(yàn)法來找，將轉(zhuǎn)子放到一對(duì)水平軌道上，輕輕滾動(dòng)，轉(zhuǎn)子總是在偏心質(zhì)量垂直向下的位置停下來。這時(shí)只要在輪子相反的方向加配重或在相同的方向鉆孔，去掉一些重量就可以達(dá)到目的。最后要使轉(zhuǎn)子在重力作用下能隨遇平衡。此時(shí)就稱轉(zhuǎn)子已達(dá)靜平衡了。圖4-12.動(dòng)平衡問題如圖4-2轉(zhuǎn)子，兩個(gè)薄圓盤各有一同樣大小的偏心質(zhì)量m，其偏心距e也相等。顯然此轉(zhuǎn)子是靜平衡的（ΣF=0）。但當(dāng)轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)時(shí)，就會(huì)有一合力偶，此合力偶最終作用到支承上，引起機(jī)組振動(dòng)。這就是所謂動(dòng)不平衡。轉(zhuǎn)子動(dòng)不平衡需用動(dòng)平衡機(jī)做試驗(yàn)才能檢驗(yàn)。薄圓盤裝斜了也可產(chǎn)生動(dòng)不平衡。在轉(zhuǎn)速較高的情況下,只要有很小的偏斜（約1°），就會(huì)引起超過靜反力百倍以上的反力?，F(xiàn)有如圖4-3所示長轉(zhuǎn)子，長度為l，半徑為R。在距左端l/3的平面內(nèi)垂直方向有偏心量，在中間平面內(nèi)水平方向有偏心量偏心質(zhì)量產(chǎn)生的離心慣性力總可以合成一通過旋轉(zhuǎn)軸并與之垂直的合力和一個(gè)合力偶，要平衡它們一般可選轉(zhuǎn)子的兩個(gè)端面和加配重或鉆削掉一些重量。重量的大小和方位很容易確定。設(shè)轉(zhuǎn)子以轉(zhuǎn)速ω旋轉(zhuǎn)，令將用同在垂直平面且又分別位于兩端面的平行力代替，則應(yīng)有同理，對(duì)有將幾何相加，可得現(xiàn)可在端面Ⅰ半徑R處，去掉質(zhì)量為，則方位為端面Ⅱ半徑R處鉆孔，去掉質(zhì)量為，則也可在相反的方向加配重，這樣轉(zhuǎn)子就可達(dá)到剛性動(dòng)平衡。如不垂直，則可將它們分解到垂直與水平方向，而后如上所算。二、轉(zhuǎn)子柔性動(dòng)平衡（高速動(dòng)平衡）由離心慣性力引起的動(dòng)撓度是和轉(zhuǎn)速有關(guān)的。因此，在低速時(shí)平衡（又稱剛性平衡）的轉(zhuǎn)子，到高速時(shí)又可能會(huì)失穩(wěn)而劇烈振動(dòng)。校正這種動(dòng)不平衡必須把離心慣性力引起的動(dòng)撓度影響考慮進(jìn)去，故稱為柔性動(dòng)平衡或高速動(dòng)平衡。圖4-4為一經(jīng)過低速動(dòng)平衡的轉(zhuǎn)子，不平衡重量為，配重為，轉(zhuǎn)子半徑為R。設(shè)轉(zhuǎn)速提高后轉(zhuǎn)子旋曲如圖4-4（b）所示，這時(shí)離心慣性力為由于已經(jīng)過靜平衡，所以代入上式有由上式知，當(dāng)轉(zhuǎn)速提高后由于動(dòng)撓度的影響，經(jīng)過低速動(dòng)平衡的轉(zhuǎn)子又出現(xiàn)了新的不平衡慣性力，使轉(zhuǎn)子產(chǎn)生振動(dòng)。如轉(zhuǎn)速進(jìn)一步提高，使轉(zhuǎn)子二階以至更高振型出現(xiàn)，那么由于振型的變化，將又有新的不平衡。對(duì)柔性轉(zhuǎn)子的平衡，常用的是振型平衡法。首先對(duì)轉(zhuǎn)子進(jìn)行低速平衡，以消除一些明顯的不平衡量，然后使轉(zhuǎn)速接近第一階臨界轉(zhuǎn)速，在轉(zhuǎn)子中部配量以消除一階振型時(shí)的不平衡量（設(shè)為對(duì)稱轉(zhuǎn)子）；再使轉(zhuǎn)速接近第二階臨界轉(zhuǎn)速，在二階振型的反節(jié)點(diǎn)處加配重以消除二階振型m不平衡量，這樣一直進(jìn)行到稍超過轉(zhuǎn)子的工作轉(zhuǎn)速。然后再對(duì)轉(zhuǎn)子進(jìn)行一次剛性動(dòng)平衡。(4-3)第二節(jié)轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速一、單圓盤轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速現(xiàn)考察一單圓盤無重量軸系統(tǒng)，如圖4-5所示，圓盤放置在中點(diǎn)。設(shè)轉(zhuǎn)子以勻角速度ω繞AO’B軸線旋轉(zhuǎn)，由于離心力的作用，使轉(zhuǎn)軸產(chǎn)生動(dòng)撓度，呈弓狀。由圖可見，軸中心的撓度為OO’。此弓狀平面又以一定角速度繞軸承連心線AOB旋轉(zhuǎn)，這兩種轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度并不一定相同。此種現(xiàn)象稱為轉(zhuǎn)軸的弓狀旋曲，或稱渦動(dòng)，進(jìn)動(dòng)。這里僅討論轉(zhuǎn)速相等的情況，即所謂同步正進(jìn)動(dòng)。同步正進(jìn)動(dòng)是工程中最為常見的。取o點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，O‘點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），則圓盤質(zhì)心C的坐標(biāo)為（x+ecosωt,y+esinωt），可得質(zhì)心C的運(yùn)動(dòng)方程為在轉(zhuǎn)子的加工及平衡過程中，使轉(zhuǎn)子的重心與其幾何軸線完全重合是很難做到的，總有殘余不平衡度。設(shè)圓盤的質(zhì)量為m，對(duì)稱安裝在軸上，盤的質(zhì)心c的偏心距為e，即O’C=e，O’為圓盤的幾何中心。軸承中心線穿過盤平面O點(diǎn)。圖4-5由質(zhì)量不平衡產(chǎn)生的對(duì)稱弓狀旋曲或式中k為轉(zhuǎn)軸的橫向彎曲剛度，c為阻尼其解為式中(4-4)(4-5)(4-6)O’(x,y)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)圓，其半徑即轉(zhuǎn)軸的動(dòng)撓度從以上兩式可見動(dòng)撓度R隨頻率比r的變化而變化。當(dāng)r值較小時(shí)（r<<1），線段O‘C=e比盤心位移段OO’=R導(dǎo)前的相位角,動(dòng)撓度R值亦較小。當(dāng)r=1，即時(shí)，，如在無阻尼情況下，此時(shí)動(dòng)撓度趨于無限大，實(shí)際上由于阻尼的作用，動(dòng)撓度為有限值。這個(gè)較大的動(dòng)撓度仍將會(huì)導(dǎo)致轉(zhuǎn)子的破壞，并使機(jī)組受到巨大的激振力而劇烈振動(dòng)。這時(shí)的轉(zhuǎn)速稱為臨界轉(zhuǎn)速，以表示，及臨界轉(zhuǎn)速在數(shù)值上等于轉(zhuǎn)子橫振動(dòng)的固有頻率，所以它的數(shù)值可以用計(jì)算轉(zhuǎn)子橫振動(dòng)固有頻率的方法來計(jì)算?；虍?dāng)r>1即時(shí)，，如r>>1,。(4-7)(4-8)具有粘性阻尼的弓狀旋曲轉(zhuǎn)軸的振幅和相位的關(guān)系見下圖為了明顯，忽略系統(tǒng)的阻尼，當(dāng)r<1時(shí)，R為正的有限值，表示動(dòng)撓度與偏心距同向。當(dāng)r>1時(shí)，R為負(fù)值，表示動(dòng)撓度與偏心距反向。當(dāng)r→∞，R→e，這時(shí)軸繞圓盤質(zhì)心旋轉(zhuǎn)，質(zhì)心C與O點(diǎn)重合，稱為自動(dòng)定心。其幅值和相頻圖見圖4-7。圖4-6具有粘性阻尼同步正進(jìn)動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)軸的振幅和相位關(guān)系由于在轉(zhuǎn)子的同步正進(jìn)動(dòng)中，轉(zhuǎn)子繞AO’B軸線旋轉(zhuǎn)的角速度與弓狀平面繞軸承連心線AOB旋轉(zhuǎn)的角速度相等，所以圓盤相對(duì)弓狀平面并無旋轉(zhuǎn)。因此轉(zhuǎn)軸受拉伸的纖維始終受拉而受壓縮的總是受壓，并無交變應(yīng)力產(chǎn)生。此點(diǎn)和軸的橫向彎曲振動(dòng)是不同的，所以說弓狀旋曲的轉(zhuǎn)軸并無振動(dòng)。但轉(zhuǎn)子的離心慣性力卻對(duì)軸承產(chǎn)生一個(gè)交變力，并導(dǎo)致支承系統(tǒng)發(fā)生強(qiáng)迫振動(dòng)。這是在臨界轉(zhuǎn)速時(shí)感到劇烈振動(dòng)的原因。正因?yàn)檫@樣，工程上常把臨界轉(zhuǎn)速是支承發(fā)生劇烈振動(dòng)的現(xiàn)象和共振不加區(qū)分。實(shí)際上這是兩種不同的物理現(xiàn)象。圖4-7無阻尼時(shí)單盤轉(zhuǎn)子弓狀旋曲的幅頻圖(a)與相頻圖(b)式中y=f(x)為梁的撓度函數(shù)二、等直徑軸的臨界轉(zhuǎn)速1.振動(dòng)的微分方程及解求等直徑軸的臨界轉(zhuǎn)速，也就是求相應(yīng)等截面梁的橫振固有頻率。一般滑動(dòng)軸承都可視為鉸鏈支坐。這樣滑動(dòng)支承的軸便可作為簡支梁討論，如圖示：從材料力學(xué)中知梁某截面上參數(shù)間的靜力關(guān)系為轉(zhuǎn)角彎矩剪力分布力(4-9)(a)(b)(c)(d)圖4-8簡梁的撓度和轉(zhuǎn)角在系統(tǒng)自由振動(dòng)中，慣性力是作用在系統(tǒng)上的唯一載荷，慣性力的線集度m為單位長度梁質(zhì)量。從4-9(d)式中有(4-10)根據(jù)系統(tǒng)具有與時(shí)間無關(guān)的確定的振型之特性，可設(shè)上式的解為T(t)為簡諧函數(shù)故(4-11)代入4-10式，得式中或(4-12)(4-13)式4-12是四階常微分方程，它的解可取為，代入可得特征方程它的四個(gè)根為該式的解為又故通解形式為上式有A、B、C、D四個(gè)積分常數(shù)和兩個(gè)待定系數(shù)，但簡梁有四個(gè)端點(diǎn)條件，再加上兩個(gè)振動(dòng)初始條件，恰好可決定這六個(gè)常數(shù)。(4-14)2.固有頻率和主振型對(duì)于等截面簡支梁端點(diǎn)條件為由1）可得由3）可得得由2）可得由4）可得由上兩方程可得(4-15)此即簡支梁橫振動(dòng)的頻率方程，它的根為又相應(yīng)的主振型為(4-16)(4-17)對(duì)于兩端鉸支等直徑軸而言，據(jù)式4-16，各階臨界轉(zhuǎn)速有如下關(guān)系由以上可見，當(dāng)把軸看做是連續(xù)體時(shí)，其臨界轉(zhuǎn)速有無限多個(gè)。其基頻為。當(dāng)轉(zhuǎn)軸的工作轉(zhuǎn)速時(shí)，稱此軸為剛軸。當(dāng)轉(zhuǎn)軸的工作轉(zhuǎn)速，則稱為柔軸。一般柔軸的工作轉(zhuǎn)速多在與之間，且要求圖4-9等直徑軸及其1，2，3階振型主軸的扭矩為三、軸的強(qiáng)度計(jì)算對(duì)葉輪式機(jī)械主軸的要求主要是剛度，即要求準(zhǔn)確地計(jì)算出株洲的臨界轉(zhuǎn)速，確定合理的工作轉(zhuǎn)速，同時(shí)進(jìn)行盡可能精確的動(dòng)平衡。一般只要?jiǎng)偠群虾跻?，輕度總是足夠的。主軸常規(guī)的強(qiáng)度計(jì)算，仍按材料力學(xué)中的介紹，考慮彎矩及軸向力的聯(lián)合作用，并由選用的強(qiáng)度理論得出相應(yīng)的相當(dāng)應(yīng)力值。因扭矩所引起的剪應(yīng)力為式中為軸的抗扭截面橫量對(duì)外徑為d，內(nèi)徑為的空心軸在因轉(zhuǎn)子自重所引起的彎矩M和軸向力P共同作用下，主軸橫截面上所產(chǎn)生的正應(yīng)力為(4-18)(4-19)(4-20)軸除了對(duì)剛度和強(qiáng)度有較高的要求外，還有下列要求式中W為抗彎截面橫量。對(duì)實(shí)心與空心軸分別為如按第三強(qiáng)度理論，相當(dāng)應(yīng)力為強(qiáng)度條件為對(duì)于合金鋼，[σ]=100~130MPa。對(duì)于碳鋼[σ]<100MPa。軸要求較高的安全系數(shù)。1）良好的工藝性2）結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，保證在運(yùn)轉(zhuǎn)期內(nèi)有不變的機(jī)械性能3）有足夠的抗腐蝕能力(4-21)第三節(jié)傳遞矩陣法求系統(tǒng)固有頻率一、基本概念傳遞矩陣法可用計(jì)算系統(tǒng)各種振動(dòng)形式的固有頻率，諸如葉輪機(jī)械翼型葉片振動(dòng)問題，軸系的扭轉(zhuǎn)和橫振即臨界轉(zhuǎn)速問題。傳遞矩陣法是一種試湊方法。首先根據(jù)系統(tǒng)的性質(zhì)，確定截面上的一組特性參數(shù)，稱為狀態(tài)向量，然后根據(jù)時(shí)段截面的邊界條件，給定該截面狀態(tài)向量的一組參數(shù)值，選一個(gè)試驗(yàn)頻率，通過傳遞矩陣計(jì)算下一截面的狀態(tài)向量，直至末端截面。下面可以看到傳遞矩陣包含了系統(tǒng)的自由振動(dòng)微分方程，如所得到末端截面向量能滿足該截面的邊界條件時(shí)，則表示所選定的頻率就系統(tǒng)的固有頻率。傳遞矩陣法可用來求系統(tǒng)任意階固有頻率，且計(jì)算過程完全一樣。對(duì)于扭轉(zhuǎn)軸,n截面上的狀態(tài)向量為分別為n截面的扭轉(zhuǎn)角和扭矩。對(duì)于橫振動(dòng)的梁，n截面上的狀態(tài)向量為分別為n截面上的撓度，轉(zhuǎn)角，彎矩和剪力。各變量的符號(hào)規(guī)則規(guī)定如下：對(duì)于圖4-10(a)中的扭振系統(tǒng)，規(guī)定截面n的外法線與坐標(biāo)正向一致時(shí)為正面，如扭轉(zhuǎn)角與扭矩的矢量方向（按右手規(guī)則）與正面外法線方向一致時(shí)為正。對(duì)于圖b中的彎曲系統(tǒng)，撓度y，剪力Q向上為正，轉(zhuǎn)角θ與彎矩M逆鐘向?yàn)檎?。圖4-10狀態(tài)向量、廣義力與廣義位移二、傳遞矩陣法求軸系臨界轉(zhuǎn)速求軸系的臨界轉(zhuǎn)速即是求軸系橫振固有頻率。用傳遞矩陣法求軸系臨界轉(zhuǎn)速，一般稱為普勞爾(Prohl)法。圖4-11表示軸的一個(gè)典型段，它包含無質(zhì)量跨距與集中質(zhì)量。段的彎曲特性用跨距的場(chǎng)傳遞矩陣來描述，段的慣性效應(yīng)用集中質(zhì)量的點(diǎn)傳遞矩陣描述。第i跨距和集中質(zhì)量受力分析見上圖。段梁的彈性變形也示意出來。從分離體圖可得剪力和彎矩的平衡方程式如下：(4-22)圖4-11軸的傳遞矩陣的推導(dǎo)(a)跨的分離體簡圖(b)質(zhì)量分離體簡圖該梁段端面的位移y與θ可表示如下：(4-23)聯(lián)合22與23式得：用場(chǎng)傳遞矩陣表示為對(duì)集中質(zhì)量有可導(dǎo)出點(diǎn)傳遞矩陣如下：(4-24)(4-25)將24代入25式可得聯(lián)系狀態(tài)向量與的傳遞矩陣：(4-26)或簡寫為即為所求傳遞矩陣(4-27)使用遞推公式4-26，便可將梁的末端與始端狀態(tài)向量聯(lián)系起來(4-28)對(duì)于梁（軸）的問題，一般邊界條件是yθMQ簡支0θ0Q自由yθ00固定00MQ可見在梁的始端與末端都有兩個(gè)非零的邊界條件，哪個(gè)參數(shù)非零則取決于支座類型。在計(jì)算固有頻率即臨界轉(zhuǎn)速的計(jì)算過程中，逐次代入ω進(jìn)行試湊。當(dāng)某個(gè)ω能同時(shí)滿足梁兩端的邊界條件，即為所求的臨界轉(zhuǎn)速。傳遞矩陣法在求系統(tǒng)的高階固有頻率時(shí)精確度會(huì)下降。解決的辦法是增加分段數(shù)和使用雙精度（在編程時(shí)）運(yùn)算。并把固有頻率截?cái)嘣谀骋浑A（即振型截?cái)喾ǎ?。不去求系統(tǒng)振動(dòng)過程中次要的，也不很可靠的高階固有頻率。實(shí)踐證明，在計(jì)算時(shí)分段數(shù)高于所求臨界階數(shù)的5~6倍即可。即分段數(shù)n≥K(5~6)。例題：如圖所示懸臂梁集中質(zhì)量系統(tǒng)的固有頻率。設(shè)梁的彎曲剛度解：所用遞推公式為始端截面即固定端的狀態(tài)向量為為固定端的未知彎矩與剪力。在傳遞矩陣中始端狀態(tài)向量中的非零參數(shù)均為未知數(shù)。由下式有由得梁自由端處彎矩，剪力必為零，即欲使線性齊次方程組有非零解，則的系數(shù)行列式必為零，即這就是系統(tǒng)的頻率方程式。對(duì)于已知數(shù)據(jù)，相應(yīng)的方程式為：或固有頻率為或用傳遞矩陣法求軸系臨界轉(zhuǎn)速問題，在理論上已解決。下面討論工程中常遇到的典型情況。1.單跨兩端鉸支，支坐為剛性支承集中質(zhì)量o和n分別放置在左右兩剛性鉸鏈支承上，軸為單跨。與固定端梁一樣，我們把支坐反力（動(dòng)反力）視為未知數(shù)。在下面的敘述中，為了簡便，將狀態(tài)變量左上角標(biāo)R省掉。于是始端狀態(tài)向量的初參數(shù)為按遞推公式有遞推公式是狀態(tài)變量的線性方程，而一般梁的邊界條件總有兩個(gè)為零的初參數(shù)。鉸支的非零初參數(shù)為，因此第i截面的狀態(tài)變量可表示為初參數(shù)的線性組合。選定一試算轉(zhuǎn)速ω后，可先令，而得到第一項(xiàng)計(jì)算值，如下式。圖4-12臨界轉(zhuǎn)速的搜索同樣可采用二分法。再令，而，得到第二次計(jì)算值則有遞推到末端截面，有據(jù)末端的邊界條件應(yīng)有上式有非零解的條件為此式即兩端剛性鉸支單跨梁的頻率方程由上式可得殘矩(4-29)(4-30)(4-31)(4-33)(4-32)2.兩端自由，中間支承為剛性支坐應(yīng)從起算，對(duì)于自由端有選定試算頻率ω后，利用點(diǎn)傳遞矩陣得然后按遞推公式計(jì)算。以上均用兩次法進(jìn)行。非零初參數(shù)為和，在算到左支承i時(shí)，因撓度、轉(zhuǎn)角和彎矩保持連續(xù)，有可得圖4-13(4-34)剪力Q1在i截面處發(fā)生突跳，突跳值為支反力，由于未知，故新參數(shù)為由以上兩式可見，經(jīng)過剛性支坐i后，將增加一個(gè)新參數(shù)而減少一初參數(shù)因此I,s支坐間某截面狀態(tài)變量就可表示為參數(shù)的線性組合。用兩次法來得到K截面的狀態(tài)變量：第一次取，按遞推公式可得第二次取，同樣可得則有同理，s支坐后各截面狀態(tài)向量應(yīng)表達(dá)為的線性組合(4-35)或?qū)懗筛鶕?jù)末端截面的邊界條件應(yīng)有上式有非零解的條件為此即兩端自由剛性鉸支梁的頻率方程，殘矩為(4-36)(4-37)(4-38)三、葉輪回轉(zhuǎn)力矩的計(jì)算在轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速的計(jì)算中，較粗略的做法是把葉輪作為集中質(zhì)量，因此只考慮葉輪的離心慣性力。當(dāng)要求計(jì)算更精確時(shí)，就必須將葉輪作為圓盤處理，因此不僅要計(jì)算葉輪的離心慣性力，還要計(jì)算其慣性力矩，即回轉(zhuǎn)力矩。當(dāng)葉輪處于軸的中點(diǎn)時(shí)，轉(zhuǎn)子的彎曲并不使葉輪發(fā)生偏轉(zhuǎn)，見圖4-14a。當(dāng)轉(zhuǎn)子旋曲時(shí)，葉輪上各點(diǎn)慣性力都在同一平面內(nèi)，并不產(chǎn)生慣性力矩，只需考慮其離心慣性力的作用，但當(dāng)葉輪靠近一端支坐，或在外伸段上時(shí)，轉(zhuǎn)軸的變形使葉輪產(chǎn)生傾側(cè)，見圖4-14b，在這種情況下，當(dāng)轉(zhuǎn)子旋曲時(shí)，葉輪在空間搖擺。由于葉輪作空間運(yùn)動(dòng)時(shí)動(dòng)量矩矢量方向的改變，它必然受到轉(zhuǎn)軸作用于它的一個(gè)力矩，因此轉(zhuǎn)軸就受到一個(gè)反作用力矩，這就是圓盤的慣性力矩，通常稱為回轉(zhuǎn)力矩或陀螺力矩。圖4-14轉(zhuǎn)子弓狀旋曲因此圓盤沿這兩個(gè)方向的動(dòng)量矩分量為式中分別為圓盤相應(yīng)對(duì)稱軸的極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和對(duì)直徑的軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。再求出的垂直分量V和水平分量H(相對(duì)于oxy坐標(biāo))。由圖c有H分量中將二階微量略去。圖a所示為一單盤懸臂轉(zhuǎn)子。設(shè)轉(zhuǎn)軸的撓曲平面xoy以角速度ω繞水平軸ox轉(zhuǎn)動(dòng)。圓盤除了隨xoy平面一起轉(zhuǎn)動(dòng)外，一般而言，它還相對(duì)于撓曲平面還可以相對(duì)角速度ωr繞對(duì)稱軸o’x’轉(zhuǎn)動(dòng)。圖b表示圓盤的絕對(duì)角速度和各分量之間的關(guān)系。為了計(jì)算圓盤對(duì)質(zhì)心o’的動(dòng)量矩，把分解為沿對(duì)稱軸o’x’方向和盤直徑方向兩個(gè)分量，當(dāng)θ為小角時(shí)有圖4-15單盤懸臂轉(zhuǎn)子的回轉(zhuǎn)效應(yīng)故當(dāng)軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，水平分量H不改變大小和方向，而垂直分量V卻因隨同xoy平面以角速度ω旋轉(zhuǎn)而改變方向。根據(jù)動(dòng)量矩定理：質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于某一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩矢量末端的速度，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)同一點(diǎn)的主矩。垂直分量V的末端速度即為Vω，得圓盤受到轉(zhuǎn)軸的作用力矩因轉(zhuǎn)軸所受的反作用力矩就是回轉(zhuǎn)力矩。見圖4-16通常有可能發(fā)生以下兩種運(yùn)動(dòng)情況：1.同步正進(jìn)動(dòng)當(dāng)圓盤的絕對(duì)角速度垂直分量和撓曲平面的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω相等且方向相同時(shí)，稱為同步正進(jìn)動(dòng)。由該式得。圓盤和撓曲平面以相同的角速度ω一起旋轉(zhuǎn)?；剞D(zhuǎn)力矩對(duì)于薄圓盤，(4-39)圖4-16圓盤作用于轉(zhuǎn)軸的回轉(zhuǎn)力矩(4-40)圖4-16即為此種情況?？梢娫诠こ讨凶顬槌Ｒ姷耐秸M(jìn)動(dòng)中，圓盤的回轉(zhuǎn)力矩通常是減少軸的彎曲程度，因而相當(dāng)于增加軸的剛度，即提高了轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速。2.同步反進(jìn)動(dòng)當(dāng)和相等但轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反時(shí)，稱為同步反進(jìn)動(dòng)。即即有回轉(zhuǎn)力矩為同步反進(jìn)動(dòng)相當(dāng)于降低了軸的剛度，即降低了轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速。但這種情況工程中很少發(fā)生。(4-41)四、彈性支坐轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速的計(jì)算由于軸承中油膜具有彈性，軸承坐和基礎(chǔ)也有一定彈性。因此絕對(duì)剛性的支坐不存在。把支坐作為彈性支坐對(duì)待，即考慮支坐彈性以后，使整個(gè)轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)剛度下降，因此使轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速降低。1.支坐剛度的計(jì)算支坐彈性可認(rèn)為由兩部分構(gòu)成：軸承油膜彈性與軸承坐的彈性。油膜質(zhì)量很小，可認(rèn)為只有剛度，不計(jì)質(zhì)量。軸承坐則既有剛度又有參振質(zhì)量，見簡圖4-17a其中為支坐處集中質(zhì)量，分別為油膜剛度與軸承坐靜剛度，m為軸承坐的參振質(zhì)量現(xiàn)介紹系統(tǒng)的動(dòng)剛度的概念。如上一無阻尼質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，受到強(qiáng)迫力Fsinωt作用后產(chǎn)生受迫振動(dòng)，其振幅為圖4-17彈性支坐力模型定義激振力幅F與振幅X之比為該系統(tǒng)的動(dòng)剛度可見當(dāng)時(shí)，有，即外力為靜力時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)剛度便等于靜剛度。而當(dāng)時(shí)，，意味著受迫振動(dòng)振幅X無限增大?？梢妱?dòng)力系統(tǒng)的剛度應(yīng)用動(dòng)剛度來表示，它與激振力的頻率有關(guān)。如用軸承坐動(dòng)剛度來代替其靜剛度和參振質(zhì)量m，系統(tǒng)簡圖4-17a可用b表示，再求出與串連彈簧等效的彈簧剛度。即支坐的剛度，見c。對(duì)葉輪機(jī)械轉(zhuǎn)子，油膜剛度值一般可取。通常軸承坐靜剛度較油膜剛度大得多，因此支坐剛度主要取決于軸承油膜剛度。但無論軸承油膜剛度還是基礎(chǔ)動(dòng)剛度的數(shù)值，都很難取準(zhǔn)。(4-42)(4-43)2.計(jì)算特點(diǎn)圖4-19a為具有外伸端的簡支梁，為彈性支坐。設(shè)i支坐的撓度為，剛度為，則支反力為(b)為i支坐受力圖，為i支坐點(diǎn)上的集中質(zhì)量，于是為i點(diǎn)上之慣性力，分別為i點(diǎn)左右截面上的剪力，應(yīng)有可用始端截面參數(shù)表示。故在彈性支坐情況下，通過支坐后不再出現(xiàn)新參數(shù)，因此不必變換參數(shù)。這點(diǎn)是有異于剛性支坐的。這樣在轉(zhuǎn)子末端截面狀態(tài)向量任意初參數(shù)表示。根據(jù)末端邊界條件，可得具有外伸端的彈性簡支梁的頻率方程圖4-19(a)彈性支坐轉(zhuǎn)子力學(xué)模型(b)支坐點(diǎn)分析(4-44)(4-45)殘矩為碰到彈性支點(diǎn)時(shí)，剪力遞推應(yīng)按4-45式五、影響轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速因素的分析1.支坐彈性的影響由于支坐的彈性，使轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)的剛度下降，因此通常是降低轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速。現(xiàn)分析圖4-20(a)所示單盤轉(zhuǎn)子。并設(shè)A、B彈性支坐剛度相同。圓盤的豎直位移由兩部分組成，一是軸的彎曲變形，一是支坐變形。設(shè)軸的彎曲剛度為，支坐剛度為，則可將上述轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)簡化為單質(zhì)量彈簧系統(tǒng)。如圖25b。其中m為圓盤質(zhì)量和軸的折合質(zhì)量之和。K為系統(tǒng)的相當(dāng)剛度。按振動(dòng)理論有：(4-46)(4-47)圖4-20單盤轉(zhuǎn)子彈性支坐分析彈性支承系統(tǒng)的固有頻率可寫為而就是轉(zhuǎn)子在剛性支坐條件下的固有頻率，即剛之條件下的臨界轉(zhuǎn)速，以表示，上式可寫為從上式可看出，當(dāng)，即剛支情況下，。在一般情況下，在上面的談?wù)撝幸驳贸鐾瑯拥慕Y(jié)論。進(jìn)一步分析?？煽闯鲋ё鴱椥杂绊懙拇笮?，是取決于軸的剛度與支坐剛度值比值。當(dāng)軸的剛度比支坐剛度大時(shí)，支坐彈性對(duì)臨界轉(zhuǎn)速的影響就明顯；相反則不明顯。特別是當(dāng)后是這樣?？梢娭ё鴱椥缘挠绊憽２⒉粏渭?nèi)Q于支坐的剛度，還與轉(zhuǎn)子本身剛度有關(guān)。同一軸承系統(tǒng)，對(duì)不同轉(zhuǎn)子來說，對(duì)其臨界轉(zhuǎn)速的影響是不一樣的。當(dāng)支坐分別為剛性和彈性時(shí)，ALS-16000按壓縮機(jī)低壓缸和高壓缸轉(zhuǎn)子的一階臨界轉(zhuǎn)速如下：即(4-48)某二氧化碳升壓循環(huán)機(jī)轉(zhuǎn)子的一、二、三階臨界轉(zhuǎn)速計(jì)算結(jié)果列于表2.可以看到，支坐彈性對(duì)高階臨界轉(zhuǎn)速的影響要比低階大。這是因?yàn)楦唠A振型節(jié)點(diǎn)數(shù)多，相當(dāng)于軸的剛度增加，所以支坐彈性的影響增大。表1支坐彈性對(duì)氨壓縮機(jī)高、低壓缸轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速的影響表2支坐彈性對(duì)某二氧化碳升壓循環(huán)機(jī)轉(zhuǎn)子各階臨界轉(zhuǎn)速的影響此時(shí)在情況下，支坐總剛度。由4-48式可看出，這時(shí)隨著支坐剛度的降低，轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速非但不下降，反而要提高。這就是所謂負(fù)剛度的情況。這時(shí)支坐的振動(dòng)方向與轉(zhuǎn)子的振動(dòng)方向相反，相位差180°，見圖4-21.其中m‘代表轉(zhuǎn)子質(zhì)量，m為支坐的參振質(zhì)量，其振動(dòng)情況見圖4-22。將這種支承稱為撓性支坐。現(xiàn)分析一種支坐“負(fù)剛度”情況，由公式可看出支坐動(dòng)剛度與轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)速ω有關(guān)，令為支坐（包括軸承坐及基礎(chǔ)）的固有頻率可見當(dāng)時(shí)，則對(duì)支坐負(fù)剛度的撓性支坐，其臨界轉(zhuǎn)速一般接近于剛性支坐時(shí)的值，因此在計(jì)算臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，可不考慮支坐彈性的影響。圖4-21支座振動(dòng)與轉(zhuǎn)子振動(dòng)反相圖4-22支座負(fù)剛度情況轉(zhuǎn)子一階振型2.葉輪回轉(zhuǎn)力矩的影響同步正進(jìn)動(dòng)時(shí)，葉輪回轉(zhuǎn)力矩為對(duì)一般較薄的葉輪，有，因此回轉(zhuǎn)力矩的影響總是提高轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速。對(duì)于高階臨界轉(zhuǎn)速及葉輪安裝在懸臂端，回轉(zhuǎn)力矩的影響都比較大，應(yīng)予考慮。如某DH型雙軸四級(jí)離心式壓縮機(jī)的Ⅰ—Ⅱ級(jí)轉(zhuǎn)軸，結(jié)構(gòu)如圖4-23示，轉(zhuǎn)軸兩端懸臂都安裝有葉輪，回轉(zhuǎn)力矩的影響應(yīng)計(jì)入。表3列出計(jì)入和不計(jì)入回轉(zhuǎn)力矩情況下，一階與二階臨界轉(zhuǎn)速的計(jì)算結(jié)果。圖4-23某DH型離心式壓縮機(jī)Ⅰ-Ⅱ級(jí)轉(zhuǎn)子表3葉輪回轉(zhuǎn)力矩對(duì)某DH型離心式壓縮機(jī)轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速的影響當(dāng)葉輪較寬時(shí)，就可能出現(xiàn)，這時(shí)。這樣在同步正進(jìn)動(dòng)情況下，回轉(zhuǎn)力矩的影響亦使轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速降低。按三元流理論設(shè)計(jì)的葉輪一般較寬，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)上述情況。表4列出DA930-121離心式壓縮機(jī)各級(jí)葉輪值，其中一、二級(jí)葉輪便出現(xiàn)了的